14.3 角的平分线（第1课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步课件（人教版2024）

该初中数学课件聚焦人教版八年级上册14.3角的平分线（第1课时），核心内容包括角平分线的尺规作图、性质定理及应用。课堂导入通过平分角仪器（AB=AD，BC=DC）的操作引发思考，衔接折纸、量角器等方法，过渡到尺规作图原理探究，形成从具体工具到抽象作图的学习支架。 其亮点在于以探究活动贯穿始终，通过仪器操作、尺规作图步骤（如已知∠AOB作平分线）培养几何直观，性质探究中“测量-猜想-验证（AAS证明）”发展推理意识，例题（如证明EB=FC）和中考题强化应用意识。结构化小结梳理知识要点，辅助线添加指导实用，学生能系统掌握知识，教师可直接用于教学提升效率。

14.3 角的平分线 （第1课时） 人教版 数学 八年级 上册 14.3 角的平分线/ 1 七彩城就梦想 A B D C E 下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？ 导入新知 14.3 角的平分线/ 3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题. 1. 学会角平分线的作法. 2. 探究并认知角平分线的性质. 素养目标 14.3 角的平分线/ 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 探究新知 知识点 1 角平分线的画法 问题1： 问题2： 14.3 角的平分线/ 提炼图形 探究新知 14.3 角的平分线/ 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 探究新知 问题3： 14.3 角的平分线/ 【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ A B O 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 提示 (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 探究新知 做一做 14.3 角的平分线/ A B M N C O 已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线. 半径小于 MN或等于 MN，可以吗？ 探究新知 14.3 角的平分线/ 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 探究新知 14.3 角的平分线/ 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上的任意一点. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 知识点 2 探究新知 14.3 角的平分线/ 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究新知 验证猜想 14.3 角的平分线/ 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究新知 归纳总结 14.3 角的平分线/ 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA， PE⊥OB， B A D O P E C 探究新知 14.3 角的平分线/ 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = ， ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 缺少“垂直距离”这一条件 缺少“角平分线”这一条件 探究新知 14.3 角的平分线/ 如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是(　　) A. OD>OE B．OD＝OE C. OD<OE D．不能确定 B 巩固练习 14.3 角的平分线/ 例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 探究新知 角平分线的性质的应用 素养考点 1 14.3 角的平分线/ 如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN. 证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等) 巩固练习 14.3 角的平分线/ 例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 4 提示：存在两条垂线段——直接 应用. 探究新知 利用角平分线的性质求线段的长度 素养考点 2 14.3 角的平分线/ A B C P 如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 提示：存在一条垂线段——构造应用. 巩固练习 14.3 角的平分线/ 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 探究新知 归纳总结 14.3 角的平分线/ （2024·江苏常州中考）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ） A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等 C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等 A 链接中考 14.3 角的平分线/ 2.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 课堂检测 基础巩固题 14.3 角的平分线/ 22 七彩城就梦想 3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） SSS ASA AAS 角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 课堂检测 14.3 角的平分线/ 4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　) A.PC＝PD B. OC＝OD C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝PC D 5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D F 课堂检测 14.3 角的平分线/ E D C B A 6 8 10 1. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED 的周长. 解：(1)DC=DE. 理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB–BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 能力提升题 C D 课堂检测 14.3 角的平分线/ 2.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF. 课堂检测 14.3 角的平分线/ 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离. ∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 拓广探索题 课堂检测 14.3 角的平分线/ 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 为证明线段相等提供了又一途径 14.3 角的平分线/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 14.3 角的平分线/ 伴你成长 $