14.2 三角形全等的判定（第4课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步课件（人教版2024）

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“HL”判定定理，通过滑梯高度与水平长度关系、舞台背景直角三角形测量等生活情境导入，结合旧知回顾（ASA、SSS等），以问题链引导学生从一般三角形全等判定过渡到直角三角形特有“HL”定理探究，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境提出问题，通过画图操作、推理证明等数学思维活动探究“HL”定理，结合滑梯倾斜角关系、旗杆测量等实例，培养推理能力与应用意识。小结梳理HL定理要点，学生能提升逻辑推理与实际应用能力，教师可利用丰富例题和分层练习提高教学效率。

14.2 三角形全等的判定 （第4课时） 人教版 数学 八年级 上册 14.2 三角形全等的判定/ 导入新知 小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗? 14.2 三角形全等的判定/ 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量. (1)　你能帮他想个办法吗？ 根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角. 根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角. 导入新知 14.2 三角形全等的判定/ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”. 你相信这个结论吗？ （2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　 让我们来探究一下吧！ 斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等. 导入新知 14.2 三角形全等的判定/ 2. 能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等. 1. 探究直角三角形全等的判定方法. 素养目标 14.2 三角形全等的判定/ SSS SAS ASA AAS 旧知回顾 我们学过的判定三角形全等的方法. 探究新知 知识点 三角形全等的判定——“HL”定理 14.2 三角形全等的判定/ 如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____，_____，斜边是______. C B A AC BC AB 思考 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 探究新知 想一想 14.2 三角形全等的判定/ A B C B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 探究新知 问题 A′ 14.2 三角形全等的判定/ 如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明三角形全等 不存在SSA定理. A B C D E F 探究新知 想一想 14.2 三角形全等的判定/ 9 七彩城就梦想 如果这两个三角形都是直 角三角形，即∠B=∠E=90°， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 探究新知 想一想 14.2 三角形全等的判定/ 10 七彩城就梦想 任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 ° ， B′C′=BC ， A ′B ′=AB ，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 探究新知 14.2 三角形全等的判定/ 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90°. A B C M C′ N 探究新知 14.2 三角形全等的判定/ （2）在射线C′M上截取B′C′=BC. M C′ A B C N B′ M C′ 探究新知 画图思路 14.2 三角形全等的判定/ （3）以点B′为圆心，AB为半径作弧，交射线C′N于A′. M C′ A B C N B′ A′ 探究新知 画图思路 14.2 三角形全等的判定/ （4）连接A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 探究新知 画图思路 14.2 三角形全等的判定/ “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. AB=A′B′, BC=B′C′, 探究新知 14.2 三角形全等的判定/ 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等. （ ） HL AAS或ASA SAS AAS AAS 判一判 探究新知 14.2 三角形全等的判定/ 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D 都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 探究新知 利用“HL”定理判定直角三角形全等 素养考点 1 14.2 三角形全等的判定/ 如图，∠ACB =∠ADB=90 ° ，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 探究新知 变式 题 1 14.2 三角形全等的判定/ 如图，AC,BD相交于点P ， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C,D ， AD=BC.求证：AC=BD. HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 探究新知 变 式 题 2 14.2 三角形全等的判定/ 如图：AB⊥AD，CD⊥BC ， AB=CD ，判断AD和BC的位置关系. HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 探究新知 变 式 题 3 14.2 三角形全等的判定/ 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF. 证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°， ∵AB＝CB，AE＝CF , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． 巩固练习 14.2 三角形全等的判定/ 例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE. 探究新知 14.2 三角形全等的判定/ 探究新知 方法点拨 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 14.2 三角形全等的判定/ 如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足， AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB. 证明：AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF , AB＝DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴∠ABC＝∠DCB. 在△ABC和△DCB中， AB＝DC,∠ABC＝∠DCB, BC ＝CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC＝DB . 巩固练习 14.2 三角形全等的判定/ 例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF.(全等三角形对应角相等) ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 探究新知 利用直角三角形全等解决实际问题 素养考点 2 14.2 三角形全等的判定/ 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). 所以BD=CD. 解：BD=CD. 因为∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ACD中, AB=AC, AD=AD, 巩固练习 14.2 三角形全等的判定/ 1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC,DB相交于点O． 求证：OB=OC． 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）. ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 链接中考 14.2 三角形全等的判定/ 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°. ∵D为AC的中点，∴AD=DC， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF. ∴∠A=∠C.∴BA=BC. ∵AB=AC，∴AB=BC=AC. ∴△ABC是等边三角形． 2.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形． 链接中考 14.2 三角形全等的判定/ D 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 课堂检测 基础巩固题 14.2 三角形全等的判定/ 2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL 课堂检测 A 14.2 三角形全等的判定/ 4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 课堂检测 14.2 三角形全等的判定/ 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). A F C E D B ∴BF=DE. 能力提升题 课堂检测 14.2 三角形全等的判定/ 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 拓广探索题 课堂检测 14.2 三角形全等的判定/ (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 课堂检测 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 14.2 三角形全等的判定/ “斜边、直角边” 内容 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 课堂小结 14.2 三角形全等的判定/ 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 14.2 三角形全等的判定/ 伴你成长 $