14.2 三角形全等的判定（第4课时）-【七彩课堂】2025-2026学年八年级数学上册同步教案（人教版2024）

第十四章 全等三角形 14.2.三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全等的判定 一、教学目标 【知识与技能】 掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题. 【过程与方法】 经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系. 【情感、态度与价值观】 通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神. 二、课型 新授课 三、课时 第4课时，共4课时。 四、教学重难点 【教学重点】 掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL. 【教学难点】 熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等. 五、课前准备 教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。 学生：三角尺、直尺、圆规。 六、教学过程 （一）导入新课 小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?（出示课件2-4） （二）探索新知 1.师生互动，探究直角三角形全等的判定方法 教师问1：判定两个三角形全等的条件有哪些？（出示课件6） 学生回答：SSS，SAS，AAS，ASA. 教师提出问题：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？（出示课件7） 教师问2：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？（出示课件8） (让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答： 分析：1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了. 2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了. 教师问3：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？ 学生不能作肯定回答，经过小组讨论，只能作出猜测：可能全等. 教师讲解：现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示. 教师问4：如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？（出示课件9） 学生讨论并回答：证明三角形全等不存在SSA定理.所以一般的三角形不一定全等. 教师问5：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？（出示课件10） 我们完成下边的问题： 思考：任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等.(课件出示11-15，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图) 分析：画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点. 教师问6： Rt△ABC就是所求作的三角形吗？ 学生回答：是要求作的三角形. 教师问7：画好后，把Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗？ 学生动手做后回答：全等. 教师问8：这样你发现了什么结论？ 学生回答：有一条斜边和直角边相等的两个直角三角形全等. 教师板书：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 总结点拨：（出示课件16） “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， AB=A′B′， BC=B′C′, ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 警示注意：（1）一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法；二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个三角形是Rt△的条件. （2）“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 例1：如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD.（出示课件18） 师生共同解答如下： 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D 都是直角. 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， AB=BA, AC=BD . ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. 例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.（出示课件23） 师生共同解答如下： 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE. 总结点拨：（出示课件24） 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？（出示课件26） 师生共同解答如下： 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. （三）课堂练习（出示课件30-35） 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于 点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC________（填“全等”或“不全等”），根据_______________（用简写法）. 4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. 5. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE. 6. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 参考答案： 1.D 2.A 3. 全等 HL 4. 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 5. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE. 6. 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． （四）课堂小结 今天我们学了哪些内容: 1.直角三角形“HL”判定方法。 2.灵活选择三角形全等的判定方法来解决问题。 （五）课前预习 预习下节课（14.3）教材第48页到第50页的相关内容： 知道角平分线的性质。 七、课后作业 1、教材43页练习1，,2。 2、如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性. 八、板书设计： 九、教学反思： 本节课的教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定(除了定义外，已经学了四种方法：SAS、ASA、AAS、SSS)的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL”时，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验.这些在今后的教学中会争取改进. 学科网（北京）股份有限公司 $