专题04 期中真题百练通关（10大压轴题型）（期中专项训练）九年级数学上学期沪教版

专题04 期中真题百练通关（52题10大压轴题型） 题型一 一线三等角模型 题型六 相似三角形与折叠问题综合 题型二 手拉手模型 题型七 由相似得出函数关系 题型三 半角模型 题型八 相似三角形与函数综合 题型四 十字架模型 题型九 与相似三角形有关的探究问题 题型五 构造8字模型解题 题型十 三角函数综合 题型一 一线三等角模型（共7小题） 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，． (1)当矩形具有“条件0”，求此时点坐标； (2)当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值； (3)若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 4．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）． (1)当D点到达的中点时，________； (2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标． 5．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）如图1，已知正方形的边长为2，点E是边的动点，将三角板的直角顶点与点E重合，直角边分别与线段交于点F，与射线相交于点G，连接．    (1)求证∶ (2)点E为线段的中点 ①如图2，当点G在线段上运动时，（点G不与点D重合），设，四边形的周长是否随x的变化而变化？如果变化，试用含有x的代数式表示四边形的周长，如果不发生变化，请说明理由    ②如图3，连接，交于点P，交于点Q，当与相似时，求的值    6．（20-21九年级上·上海青浦·期中）在中，为边上一动点（点与点不重合），联结．过点作交边于点．        (1)如图，当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式并写出函数定义域； (3)把沿直线翻折得，联结，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 7．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 题型二 手拉手模型（共4小题） 8．（上海市青浦区五浦汇实验学校2024-2025学年九年级第一学期数学期中考试试卷）如图，，，，、交于点，求的度数． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 11．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 题型三 半角模型（共4小题） 12．（上海市闵行区六校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 14．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接； （2）求证：． 【问题拓展与应用】 （3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 题型四 十字架模型（共6小题） 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 18．（2024·安徽阜阳·一模）【数学模型】 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，求证：． 【模型迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点在边上，点，分别在边， 上，且，求的值． 【模型应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，求的值． 19．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域．   20．（22-23九年级上·上海静安·期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 21．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知四边形是矩形，，，E为边上一动点且不与B、C重合，连接 (1)如图1，过点E作交于点N若，求的长； (2)如图2，连接，当于F，求的面积的值 (3)如图3，交于点N将沿翻折，点C落在边上，求的长； 题型五 构造8字模型解题（共2小题） 22．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由． 23．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期末）如图： (1)（1）基本模型：如图1，在中，点为边上一点，点为边上一点，过点作交射线于，且，求与之间的数量关系； (2)模型应用：为等边三角形，点为边上一点，射线绕点逆时针旋转得到射线，射线与延长线交于，点为边上一点，线段与交于点，若，求，．之间的数量关系； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当，为中点时，将线段绕点旋转得到线段；线段与射线交于点；若到线段的距离为的长度，请直接写出的值． 题型六 相似三角形与折叠问题综合（共5小题） 24．（23-24九年级下·辽宁·阶段练习）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)操作判断：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． (2)迁移探究：如图，若，且，求正方形的边长． (3)拓展应用：如图，若，直接写出的值为______． 25．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图1，在边长为6的正方形中，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． (1)如图2，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则的值为_______．（直接写出结果，不必写出解答过程） (2)如图3，当点E运动到边的中点时，求的值． (3)请在备用图上利用尺规找到的三等分点（保留作图痕迹，不写作法），当点E运动到边的三等分点时，直接写出的值． 26．（24-25九年级上·江西抚州·期末）（1）如图①，在正方形中，点，，分别在边，，上，，请直接判断与的数量关系_____． （2）如图②，在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，求与之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 27．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 28．（23-24九年级上·山西运城·期中）综合与实践【模型探索】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，若，则与的数量关系为________．    【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕交于点M，交于点N，则线段的长度是_________ 【知识迁移】如图3，在矩形中，，点E在边上，点P，Q分别在边，上，且，则的值为________ 【综合应用】如图4，正方形的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，使点B落在点处，连接并延长交于点E．若，求的长度． 题型七 由相似得出函数关系（共5小题） 29．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知：直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)若点在轴负半轴上，，求点的坐标； (3)在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 30．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 31．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，，，，点是射线上一个动点，联结，作于点E，联结，过点E作垂线交线段于点F． (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，若，求的值； (3)若是等腰三角形，直接写出的值． 32．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在矩形中，，，点E是射线上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接、，分别交射线于点O、点P，连接、． (1)当点E在边上时， ①求证：； ②设，，求y关于x的函数解析式； (2)过点E作射线的垂线，垂足为点Q，当时，请直接写出的长． 33．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 题型八 相似三角形与函数综合（共6小题） 34．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 35．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2． (1)求一次函数的解析式． (2)点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标． (3)在（2）的条件下，连接，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由． 36．（24-25九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 37．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 38．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 39．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 题型九 与相似三角形有关的探究问题（共6小题） 40．（24-25九年级上·上海·期中）如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）． (1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． (2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长． (3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？ 41．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知，在中，，，，点、分别在边、上，且均不与顶点重合，（如图1所示），设，． (1)当点与点重合时（如图2所示），求线段的长； (2)在图1中当点不与点重合时，求关于的函数解析式及其定义域； (3)我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 43．（2024·江西南昌·模拟预测）【问题情景】 如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，的值为______； 【类比探究】 （2）如图2，当时，请求出的值并仅就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）若，，点P是的中点，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值． 44．（24-25九年级上·江苏南通·期末）综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动． 【问题探究】 如图①，为的角平分线，求证． 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论； 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论； 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题． 【问题解决】 (1)你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由； (2)如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长； (3)如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长． 45．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】 如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 题型十 三角函数综合（共7小题） 46．（21-22九年级上·上海静安·期中）在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝　 　，tan30°　 　． 发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值； 研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝　 　． （3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值． 47．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 48．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．   49．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 50．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 51．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 52．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 1．在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 2．在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 3．已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 4．上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 5．我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 6．如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 7．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 8．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点D，使，结连接． 2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．  2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．   （1） ． （2）设，那么 （用t的代数式表示，以下同）， ， （3） ． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【问题探究】 如图1，在中，，； 然后延长到点D，使，连接． （1）__________． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________． （3）__________． 【知识迁移】 如图2，在中，，．然后延长到点D，使，连接． 请用习题中求的方法求． 【拓展应用】 如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，连接、交于点P．求证：． 9．综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中真题百练通关（52题10大压轴题型） 题型一 一线三等角模型 题型六 相似三角形与折叠问题综合 题型二 手拉手模型 题型七 由相似得出函数关系 题型三 半角模型 题型八 相似三角形与函数综合 题型四 十字架模型 题型九 与相似三角形有关的探究问题 题型五 构造8字模型解题 题型十 三角函数综合 题型一 一线三等角模型（共7小题） 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，放置一个矩形，使矩形的一个顶点和坐标原点重合，点和点分别在第一和第四象限内，若点和点的纵坐标满足“”，则称矩形具有“条件”．如图，矩形中，，． (1)当矩形具有“条件0”，求此时点坐标； (2)当矩形具有“条件1”，求此时与轴正半轴所夹角的正弦值； (3)若矩形具有“条件”，当点在第一象限内，连接并延长交轴正半轴于点，连接，，若与相似，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，可证得，得，由题意可知，即，则，令，，由勾股定理即可求解； （2）由题意可得，即，则，设，则，由勾股定理可得，解得（舍去），即，再根据正弦的定义即可求解； （3）由题意可知，分别两种情况：当时，则，，当时，则，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴，则， 在矩形中，，，， 则，而， ∴， ∴， ∴，即：， 当矩形具有“条件0”时，即：， ∴，即， 则，令，， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（负值舍去）， ∴，， 则此时点的坐标为； （2）当矩形具有“条件1”时，即：， ∴，即，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：（舍去），即， ∴， 则此时与轴正半轴所夹角的正弦值为； （3）由题意可知：， 当时，则，， 此时，则， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 当时，则， 此时，则， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴； 综上，当与时，或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再把与的值代入得到关于的方程，求解即可； （2）由（1）知：，当时，代入即可； （3）根据题意可得的最大值是3，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，设的长为，的长为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴当， ∴； （3）解：∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点， ∴的最大值是3， 由（1）知：， 当时，即，有最大值， 当时，的最大值是， ∴， ∴． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，求函数关系式，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值． 3．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在等腰中，，分别是上的点，满足 (1)若，求证； (2)若，，求的长； (3)过作平行线交延长线于，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）先证明，得到，再由得到，根据三线合一即可求证； （）证明即可求解； （）由得到，由得到，，代入转化即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ∴； （3）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 4．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）． (1)当D点到达的中点时，________； (2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或或 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点F在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵A、B、C三点的坐标为、、， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴ ∵， 所以当时，有最大值，最大值为2 此时的值最小，最小值为6； （3）解：设，则． 如图，当点F在线段上时， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点F在的延长线上时，即为，连接，， 因为， 所以， 则, 即， 所以这种情况不符合条件， 当点F在的延长线上时，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（如图中的点）， 即或 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键． 5．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）如图1，已知正方形的边长为2，点E是边的动点，将三角板的直角顶点与点E重合，直角边分别与线段交于点F，与射线相交于点G，连接．    (1)求证∶ (2)点E为线段的中点 ①如图2，当点G在线段上运动时，（点G不与点D重合），设，四边形的周长是否随x的变化而变化？如果变化，试用含有x的代数式表示四边形的周长，如果不发生变化，请说明理由    ②如图3，连接，交于点P，交于点Q，当与相似时，求的值    【答案】(1)证明见解析 (2)①周长不变为6；②或1 【分析】（1）根据“一线三等角”基本模型可得，从而证明结论； （2）①过点F作于点H，根据，表示出的长，再利用勾股定理得出，表示出四边形的周长即可； ②分或两种情形，分别讨论即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴ ， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴ ， ∴， 过点F作于点H，    ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴四边形的周长不随x的变化而变化，它的值为6； ②如图，若， 则， ，    此时点G在射线上， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 在上取点K，使， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴； 如图，若， 则，，    ∵， 正方形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（20-21九年级上·上海青浦·期中）在中，为边上一动点（点与点不重合），联结．过点作交边于点．        (1)如图，当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式并写出函数定义域； (3)把沿直线翻折得，联结，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）证明，推出，可得，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，作于．证明，推出，由此构建关系式即可解决问题． （3）分两种情形：①当在右侧时，设交于，作于，利用勾股定理求出，证明，得到，求出，即可得到．②当在左侧时，交的延长线于，同法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）如图1中，作于．    在中，，，， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． （3）由题意可得：，则为钝角， 故只存在， 如图，当在右侧时，设交于，作于，    由折叠可知：， ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ； 如图，当在左侧时，交的延长线于， 同法可得，．    综上：的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 7．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 题型二 手拉手模型（共4小题） 8．（上海市青浦区五浦汇实验学校2024-2025学年九年级第一学期数学期中考试试卷）如图，，，，、交于点，求的度数． 【答案】 【分析】由勾股定理得，，，由，，可证，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期中）（1）如图①，在中，，，易得，则有______ （2）如图②，将图①中绕点A旋转一定的角度，连接和，求证：． （3）如图③，四边形中，，，，，，请在图③中构造图②的模型，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比； （2）根据得出，，进而得出，，即可求证； （3）过点作，作，连接，证明，得出比例线段，证明，得出比例线段，由勾股定理可求，的长，即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； ∴ 故答案为：； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作，作，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 10．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 11．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）◆模型展示◆ 如图1，把字形相似的两个三角形中的一个固定，另一个三角形绕其公共顶点旋转，在旋转的过程中生成一对新的相似三角形． ◆理解模型◆ （1）如图2，在中，，点在边上，，，连接，．则________，与的数量关系是________． （2）如图3，在和中，，，点在边上，与交于点，，求的值． ◆拓展应用◆ （3）如图4，点为正方形的边上的三等分点，以为边在上方作正方形，点为正方形的中心，若，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，合理分类讨论是解题的关键． （1）利用等边三角形的判定与性质证出，即可通过全等的性质解答； （2）连接，证出得到，证出得到，证出得到，通过边的比值关系转化求解即可； （3）连接，分类讨论和时两种情况，利用边的比值关系求出和的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和中， ∴ ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）连接，分两种情况： ①当时，如图③所示： ∵四边形是正方形， ∴，对角线与互相垂直平分， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； ②当时，如图④所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴； 综上所述，线段的长度为：或． 题型三 半角模型（共4小题） 12．（上海市闵行区六校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如图，已知在中，点E、F在边上． (1)如果是等边三角形，且，求证：； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论； （2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：证明： 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）过点A作于H，如图2所示： ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 14．（2022·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 15．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接； （2）求证：． 【问题拓展与应用】 （3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）元 【分析】（1）由于与可以看作绕点A旋转的关系，根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法； （2）先证明，得到，，结合，易知，再证明即可得到； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K，则， ，，利用F为中点，求出和，从而求出，再证明，得到，继而求出，最后用三角形面积公式求的面积和所需资金． 【详解】解：（1）根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法：延长到点G，使，连接； 故答案是：； （2）∵四边形为正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K    ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵点H是的中点，点为边的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴需投入的资金为：(元) 答：该公园种植郁金香需要投入元资金 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形和正确作出辅助线． 题型四 十字架模型（共6小题） 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）【数学模型】 （1）如图1，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，，垂足为点O，则 ． 【模型探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，与交于点O，且，请证明：； 【拓展应用】 （3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别在边、、上，连接与交于点O，其中，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，得出，根据，，得出即可； （2）证明，得出，根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）过点C作，交于点H，同（2）可得，即可得出， 证明，得出，设，则，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点C作，交于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同（2）可得， ∴， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形中，，，点、分别在边、上，，垂足为点，则　　　． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形中，点、分别在边、上，与交于点，且，请证明：； 【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地，为了居民出行方便计划在四边形中修两条小路，在边上取一点，连接与交于点，、即为规划的两条小路，其中，，，且，求两条小路长度的比，即求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（2）可得， 在上取一点P使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 18．（2024·安徽阜阳·一模）【数学模型】 （1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，求证：． 【模型迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点在边上，点，分别在边， 上，且，求的值． 【模型应用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，求的值． 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）过点作于点，首先证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案； （3）过作于点，交的延长线于点，连接，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，进而可得，易知，结合，易得，即可证明，由相似三角形的性质可得，设，则，设，则，结合勾股定理可解得，然后证明，结合相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如下图，过点作于点， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）过作于点，交的延长线于点，连接，如下图， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2) (3)，（） 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 20．（22-23九年级上·上海静安·期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或或1 【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果； （2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解； （3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 则， ； （2）：四边形的面积比是， ， ， 设，则， ∵，， ，且， ， ， 解得， ， ∴； （3）①时，过点作，垂足为点， 则，，延长交于点，   ， ， 当时，是等腰三角形； ②时，则，   ，， ， 则， 当时，是等腰三角形； ③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．   ，， ， ∴， ， ，即， ∴， 解得， 当时，是等腰三角形， 综上：的长度为或或1． 【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法． 21．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知四边形是矩形，，，E为边上一动点且不与B、C重合，连接 (1)如图1，过点E作交于点N若，求的长； (2)如图2，连接，当于F，求的面积的值 (3)如图3，交于点N将沿翻折，点C落在边上，求的长； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由，，得到，，即可得，然后根据相似比即可求得； （2）当，，即可求得，然后利用勾股定理在中求得，即可求得的面积 （3）过点作于，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：，， 证明，得出：，则，由，得，则，得到，设，，，，则，，得出，，由，即可得出结果 【详解】（1）∵四边形是矩形，，，且， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得： （2）∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ （3）过点作于，如图所示： 则四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：或， ∴或， 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形面积的计算等知识，综合性强、涉及面广、难度大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 题型五 构造8字模型解题（共2小题） 22．（23-24九年级下·甘肃武威·期中）【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）正方形边长为15 （3），理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，证明，可得出； （2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可． （3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图2，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15． （3）， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例，线段 垂直平分线的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期末）如图： (1)（1）基本模型：如图1，在中，点为边上一点，点为边上一点，过点作交射线于，且，求与之间的数量关系； (2)模型应用：为等边三角形，点为边上一点，射线绕点逆时针旋转得到射线，射线与延长线交于，点为边上一点，线段与交于点，若，求，．之间的数量关系； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当，为中点时，将线段绕点旋转得到线段；线段与射线交于点；若到线段的距离为的长度，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）作交的延长线于，证明，可得出，可证明，从而，进一步得出结果； （3）作于，连接，作于，不妨设，可表示出，，，，，从而得出点时的中点，根据，可以求得，然后解三角形，进而求得，进一步得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，， ， ， ； （2）解：如图1， 作交的延长线于， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）当线段绕点顺时针旋转得到线段时，作于，连接，作于，如图， 不妨设，则，，，， ， ， ， ， ， 设，， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， ， ， ； 当线段绕点逆时针旋转得到线段时， 同理可得：； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 题型六 相似三角形与折叠问题综合（共5小题） 24．（23-24九年级下·辽宁·阶段练习）折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． (1)操作判断： 在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形． (2)迁移探究： 如图，若，且，求正方形的边长． (3)拓展应用： 如图，若，直接写出的值为______． 【答案】(1)等边； (2)正方形的边长为； (3) 【分析】（1）由折叠可证 ，从而可证，再证，即可求解． （2）可证（），可得，再证，可求，即可求解； （3）设，则有，设，则，由，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ， 为的中点，， 为的中点，， ， ， 为等边三角形； 故答案为：等边； （2）解：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可得，，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， ，即正方形的边长为； （3）解：设， 若， ， ，， 设，则， ， ， ， 整理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形中的折叠综合问题，折叠的性质，正方形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理，面积转化法等，掌握相关的判定方法及性质，折叠问题的解法是解题的关键． 25．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图1，在边长为6的正方形中，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． (1)如图2，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则的值为_______．（直接写出结果，不必写出解答过程） (2)如图3，当点E运动到边的中点时，求的值． (3)请在备用图上利用尺规找到的三等分点（保留作图痕迹，不写作法），当点E运动到边的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，结合折叠的性质和正方形的性质易求，即可求解； （2）过点F作交于点M，交于点N，证明，推出，即可解答； （3）在下方作出射线，在射线上分别截取，连接，再作出，即可；同理（2）即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质得：则， ∴， ∴； （2）解：过点F作交于点M，交于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， ， ， ∵点E是的中点，， ∴， 设， 则， ， ∴， 解得：， ， ∴； （3）解：作图如下： 当点E与点P重合时，则， 同理得：， ， 设， 则， ， ∴， 解得：， ， ∴； 当点E与点Q重合时，则， ， 设， 则， ， ∴， 解得：， ， ∴； 综上，当点E运动到边的三等分点时，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形判定和性质，正切函数，折叠的性质等知识，作出辅助线构造相似三角形解决问题的关键． 26．（24-25九年级上·江西抚州·期末）（1）如图①，在正方形中，点，，分别在边，，上，，请直接判断与的数量关系_____． （2）如图②，在矩形中，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，求与之间的数量关系． （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，可知，即可获得答案； （2）过点作于点，易知四边形为矩形，可得，证明，由相似三角形的性质可得，结合、，即可获得答案； （3）首先求得，然后利用三角函数可得，设，则，由勾股定理可得，结合折叠的性质易知，则有，在中，由勾股定理可得，求解即可得，，，在结合题意求得，即可获得答案． 【详解】（1）与的数量关系为，理由如下： 如下图，过点作，交于点，    ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）过点作于点，如下图，    则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质，可得垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即； （3）∵，， ∴， ∵在中，， ∴， 设，则， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，综合性强，灵活运用相关知识是解题关键． 27．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当为的中点，，时，求的长； (3)如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）根据题意得出四边形是正方形，根据折叠的性质，设，则，，则，，在中，勾股定理可得，根据得出，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 设，则，， 在中， 即， ∴ ∴，即， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 28．（23-24九年级上·山西运城·期中）综合与实践 【模型探索】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，若，则与的数量关系为________．    【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕交于点M，交于点N，则线段的长度是_________ 【知识迁移】如图3，在矩形中，，点E在边上，点P，Q分别在边，上，且，则的值为________ 【综合应用】如图4，正方形的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，使点B落在点处，连接并延长交于点E．若，求的长度． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用证明即可． （2）过点M作，交于点G，连接，交于点H，利用证明即可． （3）过点Q作，证明计算即可． （4）根据（1）得到，，利用三角函数求得得长度即可． 【详解】（1）∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）过点M作，交于点G，连接，交于点H，交于点P． ∵正方形，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴． ∵边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处， ∴, ∴． 故答案为：． (3)过点Q作，证明 ∵矩形，， ∴，，矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∵， ∴, 故答案为：． (4) ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 题型七 由相似得出函数关系（共5小题） 29．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知：直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)若点在轴负半轴上，，求点的坐标； (3)在（）的条件下：将直线绕点旋转，求旋转后直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点； (3)旋转后直线的解析式为或． 【分析】（）将点的坐标代入得，即点，将点的坐标代入一次函数表达式得，即可求解； （）证明得到即可求解； （）设，则，则，则，得到点，即可求解；当直线逆时针旋转时和上述直线夹角为，利用相似三角形的判定与性质和待定系数法求出此时直线的表达式为，即可求解； 本题考查了一次函数，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，勾股定理，掌握知识点的应用是题解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴ ，即点， ∴将点代入一次函数表达式得：，则； （2）解：由（）得，， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴点， 由点得，， ∵直线和轴负半轴的夹角为， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴则， ∴点； （3）解：如图，设顺时针旋转交轴于点，过点作交于点， 设的表达式为，将点的坐标代入上式得，则， ∴直线的表达式为， 设交轴于点， 令，则， 则点，则， 由点的坐标得， ∵，， 设，则，则， 则， 解得：， 则，则点， 由（2）可知，， 由直线的表达式为，把，，代入解析式得， 解得：, 直线的表达式为， 由上可得点，，绕点逆时针旋转后如图，设直线与轴交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 综上，旋转后直线的解析式为或． 30．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1)点A到的距离为； (2)； (3)为等腰三角形时，或或． 【分析】此题是几何变换的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质和锐角三角函数，由相似三角形的性质建立方程是解本题的关键． （1）由得到，推出，即可求解； （2）由得到，再由，比例式表示出，，即可； （3）为等腰三角形时，分三种情况①，②，③利用，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2， 过点C作， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ， ∴， ∴为等腰三角形时，或或． 31．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，，，，点是射线上一个动点，联结，作于点E，联结，过点E作垂线交线段于点F． (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，若，求的值； (3)若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1)y关于x的函数解析式为；函数的定义域为 (2) (3)x的值为或或4 【分析】（1）先证明，得；再证明，得， 则有，即可求得y关于x的函数解析式；当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，由相似求得，从而求得函数的定义域； （2）由及三角形外角性质得，从而有，则有；由有，则得，由建立关于x的方程即可求得x的值； （3）由（1）知，则当是等腰三角形时，也是等腰三角形；就是等腰三角形的情况，分三种情况：①，则由（2）易求得x的值；②，则，由相似三角形的性质即可求解；③，则有，进而得，则，由（1）中函数关系式求得，此时P、E两点重合；综合起来即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 即y关于x的函数解析式为； 当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由于点F在线段上，则， ∴函数的定义域为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；由 ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ∵， ∴， 即； ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴； （3）解：由（1）知，则当是等腰三角形时，也是等腰三角形； 就是等腰三角形的情况，分三种情况： ①当时，如图， 则； ∵， ∴， ∴， 由（2）知，； 但，不合题意，故； ②当时，如图，则， 在中，由勾股定理得：； ∵， ∴，即； ∴， 即； ③当时，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵ ∴； 此时P、E两点重合； 综上，x的值为或或4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，求函数关系式，勾股定理，解直角三角形，涉及分类讨论思想的运用；证明三角形相似是解题的关键． 32．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在矩形中，，，点E是射线上的一点，点F是边延长线上的一点，且．连接、，分别交射线于点O、点P，连接、． (1)当点E在边上时， ①求证：； ②设，，求y关于x的函数解析式； (2)过点E作射线的垂线，垂足为点Q，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)；； 【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，得到，，即可得到，然后利用勾股定理求出，和长，再过点E作交于点G，得到，即可求出长，即可得到，进而求出，然后根据勾股定理解题即可； （3）先根据勾股定理求出长，过点E作交于点G，然后设，，得到，然后求出长，再分点P在线段上和点P在线段延长线上两种情况，根据解题即可． 【详解】（1）①证明：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作交于点G， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：， 过点E作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， 由②可得，， 设，，则，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点P在线段上时，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴或； 当点P在线段的延长线上时，如图， 同上可得，，即， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述，长为或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形行的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 33．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)的余切值为或； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【详解】（1）解：如图1， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 设则 ， 解得或， 经检验，，都是原方程的根， 或， 在中， 或； （2）如图2，由（1）得， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即； （3）当点在上时，如图，过点作，垂足为， ， ， 由（）可知，当时，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为 当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为， 由（）可得，， ， ，即， 解得：， ， ，即， 解得： 的面积为 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型八 相似三角形与函数综合（共6小题） 34．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点D 的坐标； （2）过点C作x轴的垂线，垂足为点G，再求出点A的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论； （3）分和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B点， 令中，，则 ∴， ∵一次函数的图像经过点B和点，则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵一次函数的图像与x轴交于点D， ∴当时，则， ∴， ∴点D则坐标为； （2）证明：过点C作x轴的垂线，垂足为点G， ∵点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于A点， 令，则中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知：， 如图，当点P与点C关于x轴对称时，，即且相似比为1， 此时，； 如图，当时，过点P作x轴的垂线，垂足为H， 当点P在x轴上时，， ∴， ∴不存在这种情况； ∴点P在x轴下方， ∵，， ∴， ∵点P在射线上，且位于x轴下方，直线解析式， 设点，则， ∴， ∴，即， ∴，即 ∴（舍去）或， 此时，； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和一次函数综合应用，解直角三角形，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 35．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点A、，反比例函数的图像也经过点A，且点A横坐标是2． (1)求一次函数的解析式． (2)点C是x轴正半轴上的一点，连接，，过点C作轴分别交反比例函数和一次函数的图像于点D、E，求点D、E的坐标． (3)在（2）的条件下，连接，一次函数的图像上是否存在一点F使得和相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，或 【分析】（1）由反比例函数解析式和A点横坐标，可求出A点纵坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作轴于点H．由和A点坐标可求出，，从而可求出，即．再将分别代入反比例函数解析式和一次函数解析式即可求出点D和点E坐标； （3）设．根据各点坐标可求出，，，．又因为和必相等，故可分类讨论：①当时，即此时，得出 ，代入数据，求出t的值，即得出此时F点坐标； ②当时，即此时，得出，代入数据，求出t的值，即得出此时F点坐标． 【详解】（1）∵反比例函数的图像经过点A，且点A横坐标是2， ∴，即． ∵一次函数的图像经过点A、， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）如图，过点A作轴于点H． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵． ∴，， ∴； （3）∵点F在一次函数的图像上， ∴可设． ∵， ∴，，，． ∵和中，和必相等， ∴可分类讨论：①当时，即此时，如图， ∴，即． ∵此时， ∴， 解得：， ∴； ②当时，即此时，如图， ∴，即． ∵此时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，存在一点F使得和相似，点F坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与几何的综合，相似三角形的判定和性质，两点的距离公式，解直角三角形等知识，综合性强，较难．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 36．（24-25九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可； （2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A， 令，可得，即， ∴， ∵． ∴， ∵直线与轴正半轴交于点， ∴ 将点代入直线，可得，解得， ∴直线的表达式为． （2）解：①如图：过点P作轴于点H， 设点，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得∶， 又∵点C在x轴的负半轴上， ∴点C的坐标为； ②如图：过点Q作轴， 设， ∵交线段于点， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，即为等腰三角形且为锐角三角形， ∵， ∴，即点与点对应， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点Q的横坐标为， ∵点Q在函数的图像上， ∴，即， ∴， ∵， ∴，整理可得∶，解得：或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 当时， ∴， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为：， 将代入可得：，解得：， ∴设直线的解析式为：， 联立，整理得：， ∴，解得：（不符合题意）或（不符合题意）， ∴这种情况不存在． 综上，． 37．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面直角坐标系中中，在反比例函数的图象上取点，连接，与的图象交于点，点纵坐标为过点作轴交函数的图象于点，连接、． (1)用含的代数式表示点坐标； (2)若与相似，求出此时的值． (3)过点作轴交函数的图象于点，连接，与交于点与面积的比值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个的比值． 【答案】(1) (2) (3)不变；比值为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定； （1）先求得，进而求得直线的解析式为，联立反比例函数与正比例函数，即可求解； （2）根据题意得出，，，则，进而根据相似三角形的性质可得 ，勾股定理建立方程，即可求解； （3）设点的坐标为则求出，，的坐标，从而得出，的长度，得出直线，直线的解析式，进而求出直线的解析式，然后求出点的坐标，将直线的解析式与反比例函数联立方程组，求出点的坐标，从而计算，，即可计算出比值． 【详解】（1）解：∵点纵坐标为，点在上， ∴点的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：（舍去）或 ∴； （2）∵轴，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 又∵点在上， ∴点的横坐标为 ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴ ∵轴 ∴ ， ∴当与相似，只有一种情况 ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） （3）解：设的坐标为， 由轴，可知点，点的横坐标相等， 则点的坐标为，的坐标为 ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入得， 所以直线的解析式为①， 设直线的解析式为，将点代入得， 所以直线的解析式为③， 设直线的坐标为，将，的坐标代入得， ，解得 , ∴， 联立①②，得，解得：， ， 将③与联立得，， 解得：，，则， 所以 38．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 39．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，． (1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标； (2)在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标； (3)点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可； （2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可； （3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 当时，，即点的坐标为， 轴，， 点的坐标为，代入抛物线得：， ， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：由（1）得，令，即， 解得：，， ，， ，，， 设点， ①当为的最长边时，得， ， 解得：， 点； ②当为的最长边时，得， ， ， 点； ③当为的最长边时，得， 解得：无解，所以这个点不存在， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：点在函数图象上，则设点， 二次函数对称轴为， ，， ， ， 或， 解得：，或，， 当时不符合题意， 故或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题． 题型九 与相似三角形有关的探究问题（共6小题） 40．（24-25九年级上·上海·期中）如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）． (1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． (2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长． (3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？ 【答案】(1)结论成立，见解析； (2)； (3)G在直线CD上时，结论还成立，理由见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，得到两组比例关系，再通过等量代换即可求解； （2）根据题意判断点G在直线CD上分两种情况，针对每一种情况，都要利用菱形的性质，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步利用平行线分线段成比例定理求得FH的值，再结合（1）中的结论可求得FG的长． （3）根据题干与（1）中的结论，证明当G在的延长线上时结论也成立即可得出结论． 【详解】（1）解：结论成立． 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ． （2）解：∵G在直线上， ∴分两种情况讨论如下： ∵四边形是菱形， ∴ ①点G在的延长线上时，， 如图，过B作于点Q， 由于四边形ABCD是菱形，， ， ， ∴， ， 又由， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴即， 解得． 由（1）知， ； ②点G在的延长线上时，，如图，过B作于Q， ∵四边形是菱形，， ． ， ∴， ． 又由， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ， ． （3）解：成立； 理由：由题干与小题（1）知点G在线段或的延长线上时都成立， 当G在的延长线上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ 成立． 结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立． 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识．添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键． 41．（22-23九年级上·上海闵行·期中）已知，在中，，，，点、分别在边、上，且均不与顶点重合，（如图1所示），设，． (1)当点与点重合时（如图2所示），求线段的长； (2)在图1中当点不与点重合时，求关于的函数解析式及其定义域； (3)我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点在边上，，如果四边形是等邻角四边形，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由点与点重合，可想到，过点作于，再结合的勾股定理和面积，即可求解的长，又在中可求解，最后利用等腰的性质即可求解的长； （2）由题意想到过点作于，则可知，即可知与之间的数量关系，再结合可知，即可知与的数量关系，最后由共线的数量关系即可求解与之间的函数关系； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）过点作于， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 结合可知的最小值为 （3）当时，如图， ， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ， ； 当时，即点与点重合， 由得， ， ； 综上所述，如果凸四边形是等邻角四边形，线段的长为或或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等邻角四边形、分类讨论等知识点，属于四边形的综合应用题，具有一定难度．解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质，理解等邻角四边形的定义，并注意数形结合以及分类思想的应用． 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2)一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，由旋转可得，，，即得，，得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，，即可得，即可求解； （2）延长交于点，可证，得到，，进而根据三角形内角和定理得到，即可求证； （3）过点作于点，由等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而由得到，即得到，再根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致，理由如下： 延长交于点，如图所示， ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示， 由旋转可知，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 43．（2024·江西南昌·模拟预测）【问题情景】 如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，的值为______； 【类比探究】 （2）如图2，当时，请求出的值并仅就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）若，，点P是的中点，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）可得出，从而得出 ，从而得出 ； （2）可得出，从而得出 ，从而得出 ； （3）当点在的延长线上时，可得出，从而，从而得出，可求得，进一步得出结果； 同样得出当点在上时的情形. 【详解】解：（1），理由如下： ， ， 同理可得，， ， ， ， ，即； （2）如图， ，理由如下： 过点作于点， ， ，， ∴， ∴，即， 同理可得，， ， ， ， ； （3）如图， ∵点是的中点， ， ， ， ， 当点在的延长线上时， 同理（2）可得， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时 (图中）此时， ， 综上所述： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是分类讨论． 44．（24-25九年级上·江苏南通·期末）综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动． 【问题探究】 如图①，为的角平分线，求证． 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论； 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论； 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题． 【问题解决】 (1)你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由； (2)如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长； (3)如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长． 【答案】(1)正确，见解析 (2)6 (3)1 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． (1)如图1，过点作，与的延长线交于点，利用相似三角形的性质证明即可； (2)证明，推出，延长求解可得结论； (3)如图③中，设，过点作交于点，证明，构建方程求解． 【详解】（1）解：正确， 理由：如图1，过点作，与的延长线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线； （2）解：为的角平分线， ，， 中，，，， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为6； （3）解：如图③，设，过点作交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为1． 45．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，，是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，试探究线段、、之间的数量关系． 【特殊化研究】如图1，当D是边中点时，请写出线段、、之间的数量关系是_____________；请写出证明过程． 【一般化探究】 如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段、、之间的数量关系，请写出结论并证明； 【结论推广】请通过类比、归纳、猜想，探究出线段、、之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）． 【答案】特殊化研究：，证明见解析； 一般化探究：，证明见解析； 结论推广：当在射线上时，，当在延长线上时， 【分析】殊化研究：连接，结合等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质和勾股定理求解，即可解题； 一般化探究：过点作于点，作于点，证明和为等腰直角三角形，结合勾股定理得到，，再证明，结合相似三角形性质设，，进而得到，证明四边形为矩形，结合矩形的性质证明，结合相似三角形性质求解，即可解题； 结论推广：根据题意分两种情况讨论，当在射线上时，以及当在延长线上时，解题方法与第二问类似． 【详解】解：特殊化研究： ，证明如下： 连接， D是边中点， 且在中，，， ，，， ， ， ， ， ， . ， ， ， ； 故答案为：； 一般化探究： ，证明如下： 过点作于点，作于点， ，， ， ，， 和为等腰直角三角形， ，，， 同理，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 结论推广： 当在射线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，， ， 设，， ，， ， ， 四边形为矩形， 再同理可证， ，即， ； 当在延长线上时， 过点作于点，作于点， 由第二问同理可证，， ， 设，， ，， ， ， 四边形为矩形， 再同理可证， ，即， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，矩形的性质和判定，勾股定理，正确画出图形，作出辅助线，并找出对边之间的关系是解题的关键． 题型十 三角函数综合（共7小题） 46．（21-22九年级上·上海静安·期中）在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝　 　，tan30°　 　． 发现结论：tanA　 　2tan∠A（填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠BAC的值； 研究思路：小明想构造包含∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan∠BAC＝　 　． （3）在△ABC中，∠A为锐角，tanA＝，∠B＝2∠A，AB＝3．求S△ABC的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可； （2）根据正切的定义，在中求∠D的正切值即可； （3）作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点，根据（2）的方法先求得的值，过点作于点，进而求得的值，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1） 故答案为： （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， DA＝AB， 故答案为： （3）如图，作的垂直平分线，交于点，连接，过点作的延长线于点， ， ， 在中，， AB＝3， ， 设，则， 解得 设，则， 在中 解得 如图，过点作于点， 设，则 解得 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，解直角三角形，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键． 47．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，点D在的平分线上，联结并延长，交边于点E． (1)点F在延长线上，， ①如图1，若平分，，求的值； ②如图2，若E是的中点，，求的值； (2)如图3，若，，，求的长． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①延长，交于点G，根据，点D在的平分线上，得到，结合，平分，得到，，得到，判定，从而得到． ②如图时间到了,申请延时,无人回复,请老师审核时,单独联系吧谢谢 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F，证明，由此得到，，根据已知，求得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）①延长，交于点G， 因为，点D在的平分线上， 所以， 因为，平分， 所以，， 所以， 所以， 所以． ②如图 （2）延长，交于点G，过点E作，垂足为F， 因为，点D在的平分线上， 所以， 所以， 所以，， 因为，， 所以． 设，则， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得（舍去）， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 解得（舍去）， 所以． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角函数，熟练掌握等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，三角形相似和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 48．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求的余切值； (2)如果点为直线上第一象限内的点，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在点，使与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据余切值的定义，即可求得． （2）画出图，根据相似三角形的性质即可求得． （3） 根据的角所对边的关系，从而分类讨论找出两个符合条件的点，利用相似即可求得坐标． 【详解】（1）解：根据题意得直线与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． ，． 在中，，． （2）解：过点作轴交轴于点，则． ． ，． ，，． ．点的坐标为．    （3）解：如图所示： ，． ，．又， 满足题意的点在的延长线上，且 设点()，则． ，，． (ⅰ)当时，，即， 则． 解得． 点的坐标为． (ⅱ)当时，，即． 解得． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或．    【点睛】本题考查余切值、一次函数综合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键 49．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为__________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和，和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为__________． 【分析】观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，从而解决此类问题，比如连接格点，可得，则，连接，那么就变换到中． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为__________． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可； （2）由平行线的性质可得，即有，再在中，由求解可获答案； （3）取格点，连接，由平行线的性质可得，由图易知为等腰直角三角形，即有，由即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点， 由图可知点在格点上，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2； （3）如下图，取格点，连接， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题． 50．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 【答案】（1）①是，②或；（2）证明见解析；（3）或；（4）或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角想外角性质和三角形和差关系即可求解； （3）根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可； （4）过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明，可得，进而分情况讨论求解；当时和时，分别求出的长即可； 【详解】解：（1）①若，， 则， 是“准直角三角形” ②已知是“准直角三角形”， 且， 若， 则 则； 若, ， 则 故的度数为或 （2）在中，，是的角平分线， ， ， 是“准直角三角形” （3）当时，如图，过点作于， 在中，，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或 （4）过点作于，，交的延长线于， 设， ，， ， ， ，， ， ， ， 当， ， ， 由（3）得：， 设，，则， ，则 则； 当时， ， ， ， ， ， 故的长为或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 51．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键． （1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可； （2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可； （3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据正对定义可得： 当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形， 底边腰长， 故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图： 在中，， 令，则，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴， ，， ． 52．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【答案】【认识研究对象】；【探索研究方法】①证明见解析；②证明见解析；【尝试问题解决】 【分析】本题考查黄金分割，相似图形的应用，锐角三角函数的定义，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征． 【认识研究对象】由“类黄金三角形”的定义得出，代入数据计算即可； 【探索研究方法】①在直角和中，由锐角三角函数的定义式得，利用比例的性质证明即可； ②由“类黄金三角形”的定义和锐角三角函数的定义式得到，即可证明； 【尝试问题解决】作的角平分线交于，先证，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】【认识研究对象】解：，是“类黄金三角形”， ， ，， ， ． 【探索研究方法】证明：①，， ， ． ②是“类黄金三角形”，且， ， ， ， ， ， ， ， 是边的黄金分割点． 【尝试问题解决】解：如图，作的角平分线交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 【答案】(1)①见详解；② (2)的值为1 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明； ②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得； （2）分两种情况，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ， ， ， ， ②如图， 解得或（舍去）， （2）如图2，点在的延长线上， 联结，作交的延长线于点，则 ∴， ∵， 在和中， ， 在和中， 如图3，点在线段上， 与不相似， 不存在的情况， 综上所述，的值为1． 3．已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明． （2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解． （3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴, 即． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， 即， 整理得：； ∵， ∴， ∴． （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴, ∴， 即， 在中，， 即， 又∵， ∴， 故， 则， 整理得：， 在中，， 即，， ， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， 故， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 则和是正方形的对角线， ∴ 故． 当时，点A在上，即不存在， 故不存在这种情况． 【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过列出等式，求出是解题的关键． 4．上数学综合实践课上，在学习了图形的相似后，老师组织同学们以“探究相似基本模型”为主题的数学活动．对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图①，在中，，，垂足为D．这是我们比较熟悉的一个相似基本模型． （1）易知：在和中，由，∠ ，证得，可得出 ；进而得到． （2）如图②，F为线段上一点，作射线，并在射线上取点E，连接，使． ①此时可证，进而得出 ； ②猜想是 三角形，直接利用（1）和（2）的①问中所得结论证明你的猜想． （二）探索应用 如图③，是直角三角形，，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接并延长至点E，且使． （3）线段绕点A顺时针旋转一周的过程中，若，线段长度的最小值为 ． 【答案】（1），或（，）；；（2）①；②直角，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，熟练掌握相关知是解题的关键． （1）由题易得，再根据，得到，所以，进而得到； （2）①根据相似三角形的性质直接得解即可； ②由前述两问可得到，进而可证出，从而得解； （3）证，得到，当最大时，最小，而，当且仅当三点共线时取等，进而得解． 【详解】解：（1）由题易知，或， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，或（，）；； （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②为直角三角形，证明如下， 证明：由（1）得， 由（2）①得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 由题可知，点D在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等， 此时， 故答案为：． 5．我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题． (1)等腰直角三角形和等腰直角三角形如图1放置，，点M、N分别为的中点，则_________； (2)将图1的等腰直角三角形绕点C逆时针旋转至如图2所示的位置，那么的值是否发生改变？说明理由； (3)正方形和正方形如图3放置，其中正方形的边长是正方形边长的一半，连结，请直接写出与之间的数量关系以及直线与直线所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)不改变，理由见解析 (3)（或）， 【分析】（1）连接，过点D作于点F，证明C，M，N三点共线．四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可． （2），M为中点，，，，证明，即可求解． （3）连接，延长交于点H，四边形和四边形为正方形，则，，，，，证明，即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点D作于点F， ∵与都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵M为中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴C，M，N三点共线． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， ∴， ∴； 连接， ∵，M为中点， ∴CM⊥AB，，， ∴， ∴， ∵，N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会发生改变． （2）延长交于点H，连接， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，，，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用． 6．如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 (1)当是的中点时，求证：； (2)当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； (3)延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，PF的长度不变， (3)能相似， 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．在直角梯形中，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与梯形的边相交于点G． (1)如图1，如果点G与A重合，当时，求的长； (2)如图2，如果点G在边上，联结，当，且时，求的值； (3)当F是中点，且时，求的长． 【答案】(1)4 (2) (3)的长为5或 【分析】（1）过点作于点，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理求得，利用勾股定理求得，利用角平分线的定义和平行线的性质得到，则； （2）过点作于点，利用(1)的结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；②当点在上时，连接，延长交于点，利用勾股定理求得，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ∵， 为等腰直角三角形， （3）①当点在上时，如图， 由（1）知：， ∵是中点， 在和中， ， ， ∴， ∴； ②当点在上时，连接，延长，交于点，如图， 由（1）知：， ∵是中点， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为5或． 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线． 8．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点D，使，结连接． 2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．  2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．   （1） ． （2）设，那么 （用t的代数式表示，以下同）， ， （3） ． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【问题探究】 如图1，在中，，； 然后延长到点D，使，连接． （1）__________． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________． （3）__________． 【知识迁移】 如图2，在中，，．然后延长到点D，使，连接． 请用习题中求的方法求． 【拓展应用】 如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，连接、交于点P．求证：． 【答案】【问题探究】 ，，；【知识迁移】【拓展应用】证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【问题探究】（1）由等腰三角形的性质得出答案； （2）由股定理可得出答案； （3）由锐角三角函数的定义可得出答案； 【知识迁移】设， 得出，由此求出答案； 【拓展应用】连接，证出， ，，设，，，，求出，则可得出答案． 【问题探究】解：（1） ， ， ，， ， 故答案为：； （2）在中，，，，， ， ， 故答案为：； （3）在中，，， ，， ， 故答案为：； 【知识迁移】解：在中，， ， ， ， 中，， 即， 设， 则， ， ， ； 【拓展应用】证明：连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ； 设，， ，， ， ， ， ， ． 9．综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）过点作于，交于，可证得，得出，由为定点，可得当时，即点与点重合时，最小，再利用解直角三角形求得即可； （2）以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，利用解直角三角形求得，进而可求得的最小值； （3）连接、交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，由点为定点，可得当，即点与点重合时，最小，运用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴ ∴当最小时，最小， ∵M为定点， ∴当时，即点P与点K重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T， ∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当BG取得最小值时，最小， ∵点O为定点， ∴当时，即点P与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为， （3）如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， ∵点Q为定点， ∴当，即点P与点重合时，最小， 由（2）知：， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属于中考压轴题． 10．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，， 由（2）知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同理可知：， ∴， ∴点的纵坐标为：， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $