小题训练18（导数及其应用）-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学小题训练18（导数及其应用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，构造出函数，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小. 【详解】令，则. 因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减. 而，， 所以在上有. 所以在上单调递减. 所以，即.故. 故选：D. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 2．已知命题，，命题 ，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】首先判断命题为假命题，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断命题为真命题，即可得解. 【详解】因为，所以，恒成立， 所以命题为假命题，则为真命题； 令，，则， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以对任意的恒成立，所以在上单调递增， 所以，即对任意的恒成立，故命题为真命题，则为假命题； 所以和都是真命题. 故选：B 3．已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分、、讨论，利用导数求出极小值可得答案. 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 4．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，求出函数的单调递增区间，令为单调递增区间的子集即可求解. 【详解】由已知得：， 令，得，在区间上， 所以在区间上单调递增， 因为在区间上单调递增得，所以， 所以的取值范围是． 故选：D. 5．已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，令，转化为在区间上恰有2个实根，进而转化为即在区间上恰有2个实根，得到与的图象在区间上恰有2个交点，利用导数求得函数的单调区间和极值，进而得到答案. 【详解】由函数在区间上恰有2个零点， 令，可得， 令，则在区间上恰有2个实根， 因为在上单调递增，所以即在区间上恰有2个实根， 所以函数与的图象在区间上恰有2个交点， 又由，当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，且，所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 6．已知函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的单调区间，从而确定分段函数的单调性，结合定义域，以及单调性，列不等式，即可求解. 【详解】，，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 由函数在上单调，则说明函数在上单调递减， 所以，由前2个不等式解得， 设第函数，， ，得（舍）或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所有当时，取得最小值， ， 而， 所以第三个不等式恒成立，则满足条件的不等式的取值范围是. 故选：D． 7．已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ， 所以． 故选：C 8．若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将恒成立和存在问题转化最值问题，然后对的范围分类讨论，结合函数的单调性和最值求解即可. 【详解】恒成立，即恒成立， ，设， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故， 当时，且， 由的单调性知，在上单调递减，上单调递增， ， 此时若存在正实数，，使恒成立， 即存在正实数，使，故. 当时，故恒成立，即恒成立， 因为，故此时不存在正实数满足条件. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于将不等式恒成立转化为正实数一直在两个函数值之间，即，然后结合两个函数的单调性求解即可. 二、多选题 9．已知函数，曲线的切线l的斜率为k，则下列各选项正确的是（    ） A．在上单调递减 B．是偶函数 C．当时，取得极大值 D．当时，l在x轴上的截距的取值范围为 【答案】AC 【分析】利用导数研究的单调性、极值判断A、C正误；由奇偶性定义判断B正误；设切点为，根据导数几何意义求切线方程，并得到x轴上的截距，构造函数研究值域判断D正误. 【详解】由，且，B错误； 当或时，，即在、上递减； 当时，，即在上递增； 故时，取得极大值，A正确，C正确； 设切点为，则l的方程为，又则， 所以l在x轴上的截距 ， 令且，则 当时，在上递减，上递增，值域为； 当时，递增，值域为． 所以时，的取值范围是，D错误． 故选：AC 10．已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（    ） A．一定为周期函数 B．若，则在上总有零点 C．可能为偶函数 D．在区间上的图象过3个定点 【答案】ABD 【分析】对于A：计算，化简即可；对于B：求出，然后计算的正负即可；对于C：计算是否恒相等即可；对于D：令，求解即可. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，， 则，， 因为，即，同号，所以， 由零点存在定理知在上总有零点，故B正确； 对于C，， ， 由得 对恒成立， 则与题意不符，故C错误； 对于D，令， 则 或，即，， 故所有定点坐标为，，，， 又因为，所以函数的图象过定点，，，故D正确； 故选：ABD． 11．已知函数，且，为曲线上不同的两点，则（    ） A．时，曲线在处的切线方程为 B．时，有最小值1 C．若,关于点对称，则 D．若,关于点对称，且恒成立，则 【答案】BCD 【分析】对于选项A，先求出时的函数表达式，然后对函数求导进而求出切线方程；对于选项B，求出函数的导数，判断函数的单调区间，进而求出最小值；对于C，根据点的对称性条件可列出相关等式，然后对所设函数进行求导、判断单调性，进而求出的取值范围；对于选项D，根据已知条件列出不等式，然后对所设函数求导和判断单调性，分情况讨论的范围，最后得出正确的答案. 【详解】对于A： 时，由， 得，，， 故曲线在处的切线方程为，故A错误. 对于B： 时，， 记，则0， 所以在区间上单调递增，又， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故有最小值，故B正确. 对于C： 由题意可得，由对称性不妨设，则. 又，即. 记，则， 又，，所以， 所以在区间上单调递增，所以，即. 要证明，即证，有解. 记，则， 取，则， 所以，使得，所以，故C正确； 对于D，由题意可转化为，即. 记，则，， 求导得 ，. 设，则， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，即， 故，当且仅当时取等号. 若，则， 所以在区间上单调递减，所以，符合题意. 若，时，， 所以在区间上单调递增，所以，不符合题意. 综上所述，，故D正确. 故选：. 三、填空题 12．已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【详解】设公共点为 ，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【分析】设公共点为 ，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 13．已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为 ． 【答案】1 【分析】（1）首先根据条件等式，变形得到函数，再变形得到，通过构造函数得到，参变分离后，转化为求函数的值域，即可求的取值范围. 【详解】在中，， ∴， ∴ ∴（c为常数）， 由，解得：， ∴， 若在区间内存在零点， 整理可得：， 设，， 令，得，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，， 所以，当时，等号成立， 所以 当且仅当时，上式取等号 即存在，使， 设，， 令，得，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，， 所以，故m最小值为1, 故答案为：1 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，零点，不等式的综合问题，本题的关键一是利用导数的等式，通过构造得到函数的解析式，关键二是利用同构得到等式，再构造函数求得，参变分离后即可求解. 14．若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围． 【详解】由函数， 设，可得，单调递增， 且，， 所以存在唯一的，使，即， 令，即， 设，可得，则在上单增， 又由且时，， 所以当时，存在唯一的，使，即， 若时，可得，则，可得，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学小题训练18（导数及其应用） 训练时间40分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，命题 ，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 8．若存在正实数，使得，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，曲线的切线l的斜率为k，则下列各选项正确的是（    ） A．在上单调递减 B．是偶函数 C．当时，取得极大值 D．当时，l在x轴上的截距的取值范围为 10．已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（    ） A．一定为周期函数 B．若，则在上总有零点 C．可能为偶函数 D．在区间上的图象过3个定点 11．已知函数，且，为曲线上不同的两点，则（    ） A．时，曲线在处的切线方程为 B．时，有最小值1 C．若,关于点对称，则 D．若,关于点对称，且恒成立，则 三、填空题 12．已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 13．已知是函数在定义域上的导函数，且，，若函数在区间内存在零点，则实数m的最小值为 ． 14．若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $