第三章 圆锥曲线（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了几种常见求轨迹方程的方法、椭圆、双曲线及抛物线的几何性质和标准方程、弦长公式、圆锥曲线综合问题等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 直接法求轨迹方程 1 考点二 定义法求轨迹方程 2 考点三 待定系数法求轨迹方程 2 考点四 椭圆的简单几何性质 3 考点五 直线与曲线的位置关系判断 4 考点六 直线与曲线相交的弦长公式 4 考点七 双曲线的几何性质和标准方程 4 考点八 抛物线的几何性质和标准方程 5 考点九 圆锥曲线的综合问题 5 考点十 椭圆中焦点三角形的性质 6 考点一 直接法求轨迹方程 1．求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程. 2. 过点A(a,0)作圆O：x2+y2=R2(a<R<0)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹. 考点二 定义法求轨迹方程 3. 如图所示，设Q是圆x2+y2=4上的动点，另有点A(,0),线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程. 4. 已知A，B，C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆Q切直线l于点A，又过B，C作圆Q的异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程. 考点三 待定系数法求轨迹方程 5. 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，直线y=2x被双曲线截得线段长等于2，求此双曲线方程. 6. 已知椭圆经过点(,)和点(,1),求椭圆的标准方程. 考点四 椭圆的简单几何性质 7. 已知椭圆mx2+5y2=5m(m>0)的离心率为e=,求m的值. 8. 如图所示，设M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹方程. 考点五 直线与曲线的位置关系判断 9. 已知椭圆C：+y2=1和直线l:y=2x+m,当m分别取何值时，椭圆与直线相交、相切、相离？ 10. 分别求曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)=4有两个不同的交点、有一个交点、没有交点时，k的取值范围. 考点六 直线与曲线相交的弦长公式 11. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3，求此抛物线的方程. 12.倾斜角为45°的直线通过y2=4x的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段MN的长为 . 考点七 双曲线的几何性质和标准方程 13.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 14. 方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A. k>2或k<5 B. 2<k<5 C.  k>5或-2<k<2 D. k<2或k>5. 考点八 抛物线的几何性质和标准方程 15. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值. 16. 如图所示，过抛物线y2=2(>0)的焦点F的一条直线与抛物线相较于A、B两点，且A(x1,y1),B(x2,y2),求证：y1y2=-2,x1x2=. . 考点九 圆锥曲线的综合问题 17. 已知中心均在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1,F2，这两条曲线在第一象限内的交点为P，VPF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1e2的取值范围是( ) A.(,+∞) B. (,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞) 18. 已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为. (1)求抛物线和双曲线的方程； (2)已知直线过点，且与抛物线交于两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，求的最大值. 考点十 椭圆中焦点三角形的性质 19. 设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则△PF1F2的面积为________. 20. 已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（ ）. A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了几种常见求轨迹方程的方法、椭圆、双曲线及抛物线的几何性质和标准方程、弦长公式、圆锥曲线综合问题等常见考点。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 直接法求轨迹方程 1 考点二 定义法求轨迹方程 2 考点三 待定系数法求轨迹方程 3 考点四 椭圆的简单几何性质 4 考点五 直线与曲线的位置关系判断 5 考点六 直线与曲线相交的弦长公式 6 考点七 双曲线的几何性质和标准方程 7 考点八 抛物线的几何性质和标准方程 7 考点九 圆锥曲线的综合问题 8 考点十 椭圆中焦点三角形的性质 10 考点一 直接法求轨迹方程 1．求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程. 【答案】x2+y2=4k2或x2+y2=0 【分析】本题主要考查根据动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替该等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法。 【详解】设动点P(x,y),则有|OP|=2k或|OP|=0.即x2+y2=4k2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4k2或x2+y2=0. 2. 过点A(a,0)作圆O：x2+y2=R2(a<R<0)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹. 【答案】轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点) 【分析】本题主要考查通过分析图形的几何性质而得出动点的几何条件，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数。 【详解】设弦的中点为M(x,y),连接OM，则OM⟂AM.因为kOM·kAM=-1,所以·=-1, 化简得(x-)2+y2=()2.所以其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点). 考点二 定义法求轨迹方程 3. 如图所示，设Q是圆x2+y2=4上的动点，另有点A(,0),线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程. 【答案】(x-)2+=1 【分析】本题主要考查定义法求曲线轨迹方程，利用曲线定义直接写出所求的动点的轨迹方程，叫做定义法，要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出条件。 【详解】连接PA，因为l是线段AQ的垂直平分线，所以 |PA|=|PQ|.又因为P在半径OQ上，所以|PO|+|PQ|=2，所以|PO|+|PA|=2，且2>==|OA|. 由椭圆定义可知：P点轨迹是以O，A为焦点的椭圆.由2a=2,2c=得a=1,c=.从而b2=. 故所求的椭圆方程为(x-)2+=1,即为点P的轨迹方程. 4. 已知A，B，C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆Q切直线l于点A，又过B，C作圆Q的异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程． 【答案】=1(y≠0) 【分析】本题主要考查椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 【详解】如图， 由切线性质，得|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原点建立平面直角坐标系得P点轨迹方程为=1(y≠0). 考点三 待定系数法求轨迹方程 5. 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，直线y=2x被双曲线截得线段长等于2，求此双曲线方程. 【答案】-x2=1 【分析】本题主要考查用待定系数法求曲线方程。 【详解】设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0),将y2=4x代入此方程整理得a2x2-4b2x+a2b2=0. 因为抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程a2x2-4b2x+a2b2=0应有两个相等的实数根.所以Δ=16b4-4a4b2=0,即a2=2b.由，得(4b2-a2)x2-a2b2=0.由弦长公式得2==，即a2b2=4b2-a2.由，得，故双曲线方程为-x2=1. 6.  已知椭圆经过点(,)和点(,1),求椭圆的标准方程. 【答案】+2=1 【分析】本题主要考查利用待定系数法求椭圆方程. 【详解】设椭圆方程为Ax2+By2=1,(A>0,B>0,A≠B),因为椭圆过点(,)和点(,1)，所以 ,整理得，代入得+2=1. 考点四 椭圆的简单几何性质 7. 已知椭圆mx2+5y2=5m(m>0)的离心率为e=,求m的值. 【答案】3或 【分析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，注意分类讨论椭圆的焦点位置。 【详解】依题意，m>0，m≠5,但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论： ①当焦点在x轴上，即0<m<5时，有a=,b=,c=,所以=，得m=3; ②当焦点在y轴上，即m>5时，有a=,b=,c=,所以=，得m=. 8. 如图所示，设M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x=的距离的比是常数，求点M的轨迹方程. 【答案】+=1 【分析】本题主要考查椭圆的几何性质，若某点M（x,y）与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离比是常数e=(a>c>0),则点M的轨迹方程是椭圆，其中定点F(c,0)是焦点，定直线l:x=是相应与F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点F´(-c,0),相应与F´的准线l:x=-. 【详解】设点M(x,y),则|MF|=，到直线l:x=的距离d=|x-|,然后根据题意列出等式，=,化简得+=1,因此点M的运动轨迹是椭圆，方程为+=1. 考点五 直线与曲线的位置关系判断 9. 已知椭圆C：+y2=1和直线l:y=2x+m,当m分别取何值时，椭圆与直线相交、相切、相离？ 【答案】当-<m<时，直线与椭圆相交；当m=±时，直线与椭圆相切；当m<-或m>时，直线与椭圆相离. 【分析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系判断，通过联立方程组，再根据Δ判断。 【详解】联立，将①代入②得+(2x+m)2=1.即17x2+16mx+4m2-4=0, Δ=(16m)2-4×17(4m2-4)=16(17-m2). Δ>0⇒16(17-m2)>0⇒-<m<; Δ=0⇒16(17-m2)=0⇒m=±; Δ<0⇒16(17-m2)<0⇒m<-或m>.所以当-<m<时，直线与椭圆相交；当m=±时，直线与椭圆相切；当m<-或m>时，直线与椭圆相离. 10. 分别求曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)=4有两个不同的交点、有一个交点、没有交点时，k的取值范围. 【答案】当<k<时，直线与曲线有两个不同的交点；当k=或k=时，直线与曲线有一个交点；当k<或k>时，直线与曲线没有公共点. 【分析】本题主要考查直线与曲线有两个交点、一个交点、没有交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x的一元二次方程的判别式Δ分别满足Δ>0，Δ=0，Δ<0. 【详解】由，得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0.所以=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=-4(4k2-12k+5)=-4(2k-1)(2k-5). 所以，当Δ>0，即(2k-1)(2k-5)<0,即当<k<时，直线与曲线有两个不同的交点. 当Δ=0，即(2k-1)(2k-5)=0，即当k=或k=时，直线与曲线有一个交点. 当Δ<0，即(2k-1)(2k-5)>0,即当k<或k>时，直线与曲线没有公共点. 考点六 直线与曲线相交的弦长公式 11. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3，求此抛物线的方程. 【答案】y2=4x或y2=-36x 【分析】本题主要考查直线与二次曲线的关系问题中的弦长问题，运用弦长公式|AB|=||=解题即可。 【详解】设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). 由，⇒4x2-(a+16)x+16=0.由Δ>0⇒(a+16)2-256>0⇒a>0或a<-32. 又因为x1+x2=,x1x2=4,所以|AB|=||===3，所以a=4或a=-36,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=-36x. 12. 倾斜角为45的直线通过y2=4x的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段MN的长为 . 【答案】8 【分析】本题主要考查直线与抛物线的交点所构成的线段长。 【详解】如图所示， 由y2=4x,知焦点F(1,0),故直线方程为y=x-1.设准线方程为l,过点M作MA⊥l于A，过点N作NB⊥l于B，利用抛物线定义|MN|=|MF|+|NF|=|MA|+|NB|=xM++xN+=xM+xN+=xM+xN+2.由，消去y,得x2-6x+1=0,知xM+xN=6,所以|MN|=6+2=8. 考点七 双曲线的几何性质和标准方程 13.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 【答案】−=1 【分析】本题主要考查双曲线的几何性质和标准方程. 【详解】由题意，焦点坐标：F1(−5,0)、F2(5,0)，说明焦点在 x 轴上，且 c=5。双曲线上任意一点 P 到两焦点的距离差的绝对值为 6，即2a=6⇒a=3，根据双曲线的性质：c2=a2+b2，代入得：25=9+b2⇒b2=16，由于焦点在 x 轴上，双曲线的标准方程为：−=1,代入 a2=9、b2=16： −=1. 14. 方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A. k>2或k<5 B. 2<k<5 C. k>5或-2<k<2 D. k<2或k>5 【答案】 C 【分析】本题主要考查双曲线的几何性质和标准方程：−=1,因此分母要异号。 【详解】上述方程表示双曲线⇒(|k|-2)(5-k)<0,即,或,解得k∈[0,2)⋃(5,+∞)或k∈(-2,0),所以k>5或-2<k<2，选项C正确。 故选C. 考点八 抛物线的几何性质和标准方程 15. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值. 【答案】y2=-8；m=2或m=-2 【分析】本题主要考查抛物线的几何性质和标准方程。 【详解】根据焦点半径关系，设抛物线方程为y2=-2(>0),则准线方程是x=. 因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离相等，所以5=|-3|+，解得=2. 因此，所求抛物线方程为y2=-8.又因为点M(-3,m)在此抛物线上，故m2=-8×(-3),m=2或m=-2. 16. 如图所示，过抛物线y2=2(>0)的焦点F的一条直线与抛物线相较于A、B两点，且A(x1,y1),B(x2,y2),求证：y1y2=-2,x1x2=. 【答案】证明题无答案。 【分析】本题主要考查根据抛物线的性质进行证明。 【详解】因为焦点F的坐标为(,0). (1) 当AB与x轴不垂直时，设AB方程为y=k(x-)(k≠0).由，得ky2-2y-k2=0.此方程的两根y1,y2分别是A，B两点的纵坐标，则有y1y2=-2. (2) 当AB⟂x轴时，因为直线AB的方程为x=,所以y1=,y2=-. 或y1=-,y2=,故y1y2=-2.根据（1）y1y2=-2.又因为A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两点，所以=2x1,=2x2,从而有x1x2=·==,所以x1x2=. 考点九 圆锥曲线的综合问题 17. 已知中心均在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1,F2，这两条曲线在第一象限内的交点为P，VPF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1e2的取值范围是( ) A.(,+∞) B. (,+∞) C.(,+∞) D.(,+∞) 【答案】C 【分析】本题主要考查圆锥曲线的综合运用。 【详解】设椭圆的方程为+=1(a1>b1>0)，双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0)，椭圆和双曲线的焦距为2c，|PF1|=m，|PF2|=n(m>n).由VPF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，|PF1|=10，得m=10,n=2c.由椭圆的定义，可得m+n=2a1.由双曲线的定义，可得m-n=2a2，即a1=5+c,a2=5-c(c<5).再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，c>，所以<c<5.由离心率公式，可得e1e2=·==.由于<<4，所以>，即e1e2的取值范围是(,+∞)，故选C. 18. 已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为. (1)求抛物线和双曲线的方程； (2)已知直线过点，且与抛物线交于两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，求的最大值. 【答案】(1)抛物线E的方程为y2=4x,双曲线C的方程为2x2-2y2=1; (2)∠PMQ的最大值为. 【分析】本题主要考查圆锥曲线的综合运用，注意直线的斜率是否存在。 【详解】(1)由双曲线C过点(1,)，且其离心率为，得-=1, =，又c2=a2+b2， 得a2=,b2=,c=1，故双曲线C的方程为2x2-2y2=1. 由F是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，可得=1，解得=2.故抛物线的标准方程为y2=4x. (2)①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1.此时|AB|=4,M(1,0)， 故圆M的方程为(x-1)2+y2=4，可得P(0,),Q(0,-)(或P(0,),Q(0,))，∠PMQ=. ②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-1)，由题意可得k≠0. 联立方程得化简得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=,x1x2=1，可得xM== ,|AB|=x1+x2+2=. 设圆M的半径为r，则r==. 如图，过点M作MN⟂PQ，垂足为N. 在RtVPMN中，cos∠PMN====+∈(,1).故∠PMN∈(0,)，则∠PMQ∈(0,). 综上可得，∠PMQ的最大值为. 考点十 椭圆中焦点三角形的性质 19. 设、是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，则△PF1F2的面积为________. 【答案】 【分析】本题主要考查椭圆中的焦点三角形面积公式,F1、F2是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记∠F1PF2=θ，则△PF1F2的面积S=b2tan。 【详解】由焦点三角形面积公式，S△PF1F2=b2tan=4×tan30°=. 20. 已知、是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若，且，则C的离心率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查椭圆的焦点三角形的离心率公式，e====。 【详解】如图，因为⇒=30°,根据椭圆的焦点三角形的离心率公式可得e======-1. 故选D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $