第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查几种常见求轨迹方程的方法、椭圆、双曲线及抛物线的几何性质和标准方程、弦长公式、圆锥曲线综合问题。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“方程表示椭圆”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．已知F是抛物线的焦点，M，N是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A. B.2 C.3 D.4 3．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A．5 B．7 C．13 D．15 4. 已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是（ ） A．2x+y+1=0 B．2x-y-5=0 C．2x-y-1=0 D．2x-y+5=0 5.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点的椭圆经过A,B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（ ） A．y2-=1(y≤-1) B．y2-=1(y≥1) C．x2-=1(x≤-1) D．x2-=1(x≥1) 6.有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0),且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 7.已知点A(1,0)和圆C：x2+y2=4上的一点R，动点P满足=2，则点P的轨迹方程为（ ） A．(x-)2+y2=1 B．(x+)2+y2=1 C． x2+(y-)2=1 D．x2+(y+)2=1 8.设A1，A2是椭圆+=1的长轴的两个端点，P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2的交点的轨迹方程为（ ） A．+=1 B．+=1 C．=1 D．=1 9.以椭圆焦点F1，F2为直径的两个端点的圆，恰好过椭圆短轴的两个顶点，则这个椭圆的离心率e为（ ） A． B． C． D． 10.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A．(-16，) B．(-16,25) C．(,25) D．(,+∞) 11.已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（ ） A． B． C．2 D．4 12.抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标（ ） A．(0,-) B． (0,) C．(-,0) D．(,0) 13. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）. A. B.  C. ​ D. 14. 已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(m,-2)到焦点的距离为4，则m=（ ） A． 4 B. -2 C. ±4​ D. ±2 15.若动圆与定圆(x+2)2+y2=4相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A．y2=12(x-1) B．y2=-12(x-1) C．y2=-8x D．y2=8x 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离为5，则点P的坐标为______。 17. 如果双曲线=1上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是______。 18. 椭圆mx2+ny2+m·n=0(m<n<0)的焦点坐标是______。 19. 动点P在抛物线y=x2+1上运动，则动点P和两定点A(-1,0)，B(0,-1)所形成的△PAB的重心的轨迹方程是______。 20. 已知点M为抛物线上一点，若点M到两定点的距离之和最小，则点M的坐标为______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知P为圆x2+y2=4上的一动点，点Q(4,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程. 22. 求双曲线 - =1的准线方程及两准线间的距离. 23．如果抛物线y2=ρx(ρ>0)和圆(x-2)2+y2=3在x轴上方相交于A,B两点，且弦AB的中点M在直线y=x上，求抛物线的方程. 24． 已知圆C的方程为x2+y2=4. (1) 求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程； (2) 直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程； 圆C上有一动点M(x0,y0),=(0,y0),若向量=+，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查几种常见求轨迹方程的方法、椭圆、双曲线及抛物线的几何性质和标准方程、弦长公式、圆锥曲线综合问题。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. “”是“方程表示椭圆”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题主要考查椭圆的性质及充要条件的判定。 【详解】若方程表示椭圆，则有因此1<m<5且m≠3，故“1<m<5”是“方程+=2表示椭圆”的必要不充分条件.故B选项正确 故选：B. 2．已知F是抛物线的焦点，M，N是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ） A. B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的定义及其几何性质. 【详解】过点M，N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M1,N1，由|MF|+|NF|=6，得|MM1|+|NN1|=6，所以MN的中点到准线的距离为=3，故C选项正确 故选：C. 3．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A．5 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考察的是椭圆的焦点性质。 【详解】由题易知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心，且|PF1|+|PF2|=10，从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7，故B选项正确； 故选：B. 4. 已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是（ ） A．2x+y+1=0 B．2x-y-5=0 C．2x-y-1=0 D．2x-y+5=0 【答案】D 【分析】本题考查轨迹方程的解法：通过直接法求解，通过中点公式和代入法，求动点的轨迹方程。中点公式的应用：利用中点坐标关系，将动点坐标转化为已知点坐标，代入已知直线方程。 【详解】设Q(x,y),因为|PM|=|MQ|，所以M为PQ中点，则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.故D选项正确. 故选：D. 5. 已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点的椭圆经过A,B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（ ） A．y2-=1(y≤-1) B．y2-=1(y≥1) C．x2-=1(x≤-1) D．x2-=1(x≥1) 【答案】A 【分析】本题考查的是椭圆定义：到两焦点距离之和为常数；双曲线定义：到两焦点距离之差的绝对值为常数；代数运算；定义法求轨迹方程的求解方法。 【详解】由题意知|AC|=13，|BC|=15，|AB|=14，又因为|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支，又因为c=7,a=1,b2=48,所以点F的轨迹方程为y2-=1(y≤-1)，故选项A正确 故选：A. 6. 有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0),且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】D 【分析】本题考查的是正三角形的性质：三角形ABP为正三角形，意味着所有边相等，即 PA=PB=AB。距离公式：点与点之间的距离计算，用于表示圆心P到定点F的距离 PF=​。轨迹方程：通过几何条件建立点P的坐标方程，涉及代数推导和方程化简。双曲线的方程：最终得到的点P轨迹是一个双曲线，涉及双曲线的标准形式及其性质。 【详解】设P(x,y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，所以P到y轴的距离d=R,即|x|=R,而R=|PF|=，所以|x|=·,.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即 - =1.所以点P的轨迹为双曲线.故D选项正确。 故选：D. 7. 已知点A(1,0)和圆C：x2+y2=4上的一点R，动点P满足=2，则点P的轨迹方程为（ ） A．(x-)2+y2=1 B．(x+)2+y2=1 C． x2+(y-)2=1 D．x2+(y+)2=1 【答案】A 【分析】本题考察的是直接法求轨迹方程，以及向量的坐标运算。 【详解】设P(x,y),R(x0,y0)，则有=(1-x0,-y0),=(x-1,y).又因为=2，所以，所以，又因为R(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以(-2x+3)2+(-2y)2=4,即(x-)2+y2=1,故选项A正确。 故选：A. 8. 设A1，A2是椭圆+=1的长轴的两个端点，P1,P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2的交点的轨迹方程为（ ） A．+=1 B．+=1 C．=1 D．=1 【答案】C 【分析】本题考查的是直接法求轨迹方程，及共线定理。 【详解】设交点为P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0),因为A1,P1,P共线，所以=①，因为A2,P2,P共线，所以=②，由①②解得x0=,y0=,代入+=1，化简得 - =1.，故选项C正确。 故选：C. 9. 以椭圆焦点F1，F2为直径的两个端点的圆，恰好过椭圆短轴的两个顶点，则这个椭圆的离心率e为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考察的是椭圆的基本几何性质，椭圆离心率的计算：离心率 e=。 【详解】根据题意c=b,则a===c,e===，故选项B正确。 故选：B 10. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A．(-16，) B．(-16,25) C．(,25) D．(,+∞) 【答案】C 【分析】本题考查的是椭圆的基本几何性质。 【详解】由焦点在y轴有16+k>25-k,则k>,又因为16+k>25-k>0,得k<25,所以<k<25. 故选：C. 11. 已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查双曲线的几何性质。 【详解】依题意可知，a=,c===2,3===2，故C选项正确。 故选：C 12. 抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标（ ） A．(0,-) B． (0,) C．(-,0) D．(,0) 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的基本几何性质。 【详解】对于抛物线方程 y=ax2（其中 a<0），其标准形式为 x2=4ρy，通过比较可得 4ρ=，因此ρ=。焦点坐标为 (0,p)，即 (0,)。由于 a<0，焦点位于 y 轴负半轴。因此，抛物线 y=ax2（a<0）的焦点坐标为 (0,)，故选项B正确 故选：B 13. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）. A. B.  C. ​ D. 【答案】A 【分析】本题主要考查椭圆的离心率。 【详解】|AF1|+|AF2|=2a,由△ABF2是正三角形知|AF2|=2|AF1|，|F1F2|=|AF1|，所以椭圆的离心率e=====,选项A正确. 故选A. 14. 已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(m,-2)到焦点的距离为4，则m=（ ） A． 4 B. -2 C. ±4​ D. ±2 【答案】C 【分析】本题考察的是抛物线的几何性质及标准方程。 【详解】设抛物线方程是x2=-2ρy(ρ>0),则m2=4ρ,所以抛物线的准线方程是y=,抛物线上的点(m,-2)到焦点的距离是4，则该点到准线的距离也是4，所以+2=4，m=±4. 故选：C 15. 若动圆与定圆(x+2)2+y2=4相外切，且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A．y2=12(x-1) B．y2=-12(x-1) C．y2=-8x D．y2=8x 【答案】B 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，圆与直线的位置关系，通过已知条件求解某点的轨迹方程。 【详解】设动圆圆心坐标为P(x,y),半径为r，定圆(x+2)2+y2=4的圆心为M(-2,0),半径是2，则|PM|=2+r,P点到直线x=2的距离为r,所以P点到直线x=4的距离是r+2,即P点轨迹是以(-2,0)为焦点，x=4为准线的抛物线，所以轨迹方程是y2=-12(x-1)，故选项B正确。 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．抛物线y2=4x上的点P到焦点的距离为5，则点P的坐标为______。 【答案】(4,4)或(4，-4) 【分析】本题主要考查抛物线的几何性质。 【详解】设焦点为F，则|PF|=5，所以P点的横坐标为4，代入y2=4x，得P点坐标是(4,4)或(4，-4). 17. 如果双曲线 - =1上的一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离是______。 【答案】 【分析】本题主要考查双曲线的几何性质。 【详解】设点P到左准线的距离为m,由双曲线方程可知a=5,b=12,c=13,e==,准线方程为x=±=,根据双曲线第二定义，得=e=,解得m=,又因为两准线间的距离为 - (- )=，所以P到右准线的距离为+=. 18.椭圆mx2+ny2+m·n=0(m<n<0)的焦点坐标是______。 【答案】(0,±) 【分析】本题考察椭圆的标准方程：将给定方程 mx2+ny2+m⋅n=0化为标准形式，通过代数变形（如移项和除以常数），利用椭圆焦点公式 c2=a2−b2 或 c2=b2−a2（取决于主要轴），计算焦点位置。 【详解】椭圆方程化为+=1，因为m<n<0,所以-m>-n>0,即方程为焦点在y轴上的椭圆方程，则c==，所以焦点的纵坐标为±. 19. 动点P在抛物线y=x2+1上运动，则动点P和两定点A(-1,0)，B(0,-1)所形成的△PAB的重心的轨迹方程是______。 【答案】y=3x2+2x+ 【分析】本题主要考查三角形重心的坐标公式：重心是三个顶点坐标的算术平均值。通过直接法代入求重心轨迹方程。 【详解】设重心坐标为(x,y),P(x0,y0),则，所以，因为点P在抛物线上，所以3y+1=(3x+1)2+1.整理得y=3x2+2x+. 20. 已知点M为抛物线上一点，若点M到两定点的距离之和最小，则点M的坐标为______. 【答案】(,ρ) 【分析】本题主要考查抛物线的几何性质。 【详解】过点M作抛物线准线的垂线，垂足为B，由抛物线的定义，知点M到焦点F(,0)的距离与点M到准线的距离相等，即|MF|=|MB|，所以|MF|+|MA|=|MB|+|MA|，易知当A， B，M三点共线时，|MB|+|MA|取得最小值，所以(|MF|+|MA|)min=|AB|=,，此时点M的坐标为(,ρ). 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知P为圆x2+y2=4上的一动点，点Q(4,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程. 【答案】(x-2)2+y2=1 【分析】本题主要考查中点坐标公式及直接法求轨迹方程。 【详解】如图所示： 设M(x,y),利用中点坐标公式得P(2x-4,2y).又因为点P在圆x2+y2=4上，所以(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1,所以点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1. 22．求双曲线 - =1的准线方程及两准线间的距离. 【答案】x=± 【分析】本题考查的是双曲线的几何性质。 【详解】由 - =1可知，双曲线的焦点在x轴上，且c==,所以准线方程为x=±=±.两准线的距离为-(-)=. 23．如果抛物线y2=ρx(ρ>0)和圆(x-2)2+y2=3在x轴上方相交于A,B两点，且弦AB的中点M在直线y=x上，求抛物线的方程. 【答案】y2=x 【分析】本题主要考查抛物线的标准方程与性质,中点坐标的公式，及抛物线与圆相交联立方程组解交点坐标。 【详解】设M(x0,y0),A(x1,y2),B(x2,y2),将y2=ρx与(x-2)2+y2=3联立，化简得x2-(4-ρ)x+1=0,所以x0=,x1x2=1,又因为y12=ρx1,y22=ρx2,y0=(+),y02=(ρx1+ρx2+2ρ)=(6ρ-ρ2),又x0=y0,代入得ρ2-7ρ+8=0，解得ρ=，又4-ρ>0,所以舍去ρ=，所以抛物线的方程是y2=x. 24． 已知圆C的方程为x2+y2=4. (1) 求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程； (2) 直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l的方程； (3) 圆C上有一动点M(x0,y0),=(0,y0),若向量=+，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线？ 【答案】(1)切线方程为y=2和4x+3y-10=0;(2)直线为3x-4y+5=0或x=1;(3)Q点的轨迹方程是+=1，此轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆. 【分析】本题考察的是圆锥曲线的综合运用，注意考虑斜率是否存在问题。 【详解】(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y-2=k(x-1),由=2，得k1=0,k2=-,从而所求的切线方程为y=2和4x+3y-10=0. (2) 当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1,l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),这两点的距离为2，满足题意. 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为d(d>0),则2=2.所以d=1，从而1=，解得k=,此时直线方程为3x-4y+5=0. 综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1. (3)设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标(x0,y0),=(0,y0),因为=+，所以(x,y)=(x0,2y0),x=x0,y=2y0.因为x02+y02=4,所以x2+()2=4,即+=1.所以Q点的轨迹方程是+=1，此轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $