2.3.3 升幂排列和降幂排列 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

2.3.3升幂排列和降幂排列 学习目标 1. 理解多项式升幂排列和降幂排列的概念。 2. 能够熟练地对一个多项式按某一字母进行升幂排列或降幂排列。 3. 在排列多项式的过程中，培养严谨的数学思维习惯和细致的操作能力。 4. 体会数学表达的条理性和简洁性，感受数学的形式美。 知识点讲解 1. 预备知识回顾： · 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。 · 多项式各项的系数：多项式中，每一项前面的数字因数（连同符号）叫做这一项的系数。 · 多项式各项的次数：多项式中，每个单项式（项）的次数叫做这个多项式的次数。 2. 升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。 例如，多项式按字母 (x) 的升幂排列为：。 3. 降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 例如，多项式按字母 (x) 的降幂排列为：。 4. 注意事项： · 进行多项式的排列时，必须指明是按哪个字母的指数进行排列。 · 排列时，各项要连同它前面的符号一起移动。 · 常数项（不含字母的项）的次数可以看作是 0。 · 对于含有两个或两个以上字母的多项式，只有在明确指定按哪个字母排列时，才有意义。 例题解析 例题1： 把多项式按字母 (x) 的降幂排列。 例题2： 把多项式按字母 (y) 的升幂排列。 例题3： 把多项式按字母 (a) 的降幂排列。 例题4： 将多项式按字母 (x) 的升幂排列，并指出最高次项及其系数、常数项。 巩固练习 一、选择题 1. 多项式按 (x) 的降幂排列正确的是 A. B. C. D. 2. 多项式按 (y) 的升幂排列后，第一项是 A. (2xy) B. C. . (1) 3. 将多项式按字母 (a) 的升幂排列，正确的是 A. B. C. D. 4. 下列关于多项式的说法中，错误的是 A. 按 (x) 的降幂排列为 B. 按 (y) 的降幂排列为 C. 按 (x) 的升幂排列为 D. 按 (y) 的升幂排列为 二、填空题 1. 多项式按 (x) 的降幂排列是____________________。 2. 多项式按 (m) 的升幂排列是____________________。 3. 多项式按 (y) 的降幂排列是____________________。 4. 将多项式按字母 (t) 的升幂排列后，第三项是_________。 三、解答题 1. 把多项式分别按字母 (a) 的降幂排列和按字母 (b) 的升幂排列。 2. 指出多项式的各项，并将它按 (x) 的升幂排列，然后说出排列后的多项式各项的系数和次数。 3. 已知多项式是关于 (x) 的三次二项式，且当 时，多项式的值为 8。 (1) 若该多项式按 (x) 的降幂排列，写出这个多项式可能的表达式（写出一个即可）； (2) 根据你写出的多项式，求 (a)、(b)、(c) 满足的条件。 4. 按要求排列下列多项式： (1) 多项式按 (x) 的降幂排列； (2) 多项式按 (b) 的降幂排列。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.3升幂排列和降幂排列 学习目标 1. 理解多项式升幂排列和降幂排列的概念。 2. 能够熟练地对一个多项式按某一字母进行升幂排列或降幂排列。 3. 在排列多项式的过程中，培养严谨的数学思维习惯和细致的操作能力。 4. 体会数学表达的条理性和简洁性，感受数学的形式美。 知识点讲解 1. 预备知识回顾： · 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。 · 多项式各项的系数：多项式中，每一项前面的数字因数（连同符号）叫做这一项的系数。 · 多项式各项的次数：多项式中，每个单项式（项）的次数叫做这个多项式的次数。 2. 升幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。 例如，多项式按字母 (x) 的升幂排列为：。 3. 降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 例如，多项式按字母 (x) 的降幂排列为：。 4. 注意事项： · 进行多项式的排列时，必须指明是按哪个字母的指数进行排列。 · 排列时，各项要连同它前面的符号一起移动。 · 常数项（不含字母的项）的次数可以看作是 0。 · 对于含有两个或两个以上字母的多项式，只有在明确指定按哪个字母排列时，才有意义。 例题解析 例题1： 把多项式按字母 (x) 的降幂排列。 解析： 首先，找出多项式各项中字母 (x) 的次数： · 的次数是 3 · (-2x) 的次数是 1 · 的次数是 4 · 的次数是 2 · (1) 是常数项，次数是 0 按 (x) 的指数从大到小排列各项： 次)，次)，次)， (-2x) (1次)， (1) (0次) 答案： 例题2： 把多项式按字母 (y) 的升幂排列。 解析： 题目要求按字母 (y) 的升幂排列，因此关注各项中字母 (y) 的次数： · 中 (y) 的次数是 1 · 中 (y) 的次数是 2 · 中 (y) 的次数是 3 · 中不含 (y)，可看作 (y) 的次数是 0 按 (y) 的指数从小到大排列各项： 的0次)，的1次)，的2次)，的3次) 答案： 例题3： 把多项式按字母 (a) 的降幂排列。 解析： 题目要求按字母 (a) 的降幂排列，关注各项中字母 (a) 的次数： · (3) 是常数项，不含 (a)， (a) 的次数是 0 · 中 (a) 的次数是 3 · 中 (a) 的次数是 2 · 中 (a) 的次数是 1 按 (a) 的指数从大到小排列各项： 的3次)，的2次)，的1次)， (3) (a的0次) 答案： 例题4： 将多项式按字母 (x) 的升幂排列，并指出最高次项及其系数、常数项。 解析： 首先，按字母 (x) 的升幂排列。找出各项中 (x) 的次数： · 的次数是 2 · 的次数是 4 · (3x) 的次数是 1 · (-7) 是常数项，次数是 0 · 的次数是 3 按 (x) 的指数从小到大排列各项： (-7) (0次)， (3x) (1次)，次)，次)，次) 排列后的多项式为： 最高次项是，其系数是 (-1)。 常数项是 (-7)。 答案：按 (x) 的升幂排列为；最高次项是，系数是 (-1)；常数项是 (-7)。 巩固练习 一、选择题 1. 多项式按 (x) 的降幂排列正确的是 A. B. C. D. 2. 多项式按 (y) 的升幂排列后，第一项是 A. (2xy) B. C. . (1) 3. 将多项式按字母 (a) 的升幂排列，正确的是 A. B. C. D. 4. 下列关于多项式的说法中，错误的是 A. 按 (x) 的降幂排列为 B. 按 (y) 的降幂排列为 C. 按 (x) 的升幂排列为 D. 按 (y) 的升幂排列为 二、填空题 1. 多项式按 (x) 的降幂排列是____________________。 2. 多项式按 (m) 的升幂排列是____________________。 3. 多项式按 (y) 的降幂排列是____________________。 4. 将多项式按字母 (t) 的升幂排列后，第三项是_________。 三、解答题 1. 把多项式分别按字母 (a) 的降幂排列和按字母 (b) 的升幂排列。 2. 指出多项式的各项，并将它按 (x) 的升幂排列，然后说出排列后的多项式各项的系数和次数。 3. 已知多项式是关于 (x) 的三次二项式，且当 时，多项式的值为 8。 (1) 若该多项式按 (x) 的降幂排列，写出这个多项式可能的表达式（写出一个即可）； (2) 根据你写出的多项式，求 (a)、(b)、(c) 满足的条件。 4. 按要求排列下列多项式： (1) 多项式按 (x) 的降幂排列； (2) 多项式按 (b) 的降幂排列。 巩固练习参考答案 一、选择题 1. A 解析：多项式的各项 (x) 次数依次为 2, 3, 1, 0。按 (x) 降幂排列为，故选A。 2. D 解析：多项式各项中 (y) 的次数依次为 1, 2, 1, 0。按 (y) 升幂排列为与7x^3y的y次数均为1，可交换位置，但第一项一定是1)，故选D。 3. A 解析：多项式各项中 (a) 的次数依次为 3, 2, 1。按 (a) 升幂排列为，故选A。 4. D 解析：多项式按 (y) 的升幂排列：各项 (y) 次数为 0, 1, 2。应为，故选项D错误，选D。 二、填空题 1. 解析：各项 (x) 次数为 4, 2, 3, 0。降幂排列为。 2. 解析：各项 (m) 次数为 2, 1, 3。升幂排列为。 3. 解析：各项 (y) 次数为 0, 3, 1, 2。降幂排列为。 4. 解析：按 (t) 升幂排列为，第三项是。 三、解答题 1. 解： 按字母 (a) 的降幂排列： 各项中 (a) 的次数依次为：2, 3, 1, 0, 4。 排列为：。 按字母 (b) 的升幂排列： 各项中 (b) 的次数依次为：3, 1, 4, 5, 0。 排列为：。 2. 解： 多项式的各项为：，，，。 按 (x) 的升幂排列： 各项中 (x) 的次数依次为：2, 1, 0, 3。 排列为：。 排列后各项的系数和次数： · ：系数是 1，次数是 3。 · ：系数是 -5，次数是 1+2=3。 · ：系数是 3，次数是 2+1=3。 · ：系数是 -2，次数是 3。 3. 解： (1) 因为多项式是关于 (x) 的三次二项式，所以最高次项存在，且只有两项。 按 (x) 的降幂排列，可能的表达式：若 ，则多项式为。 (答案不唯一，也可以是且 (2) 以多项式为例 。 当 时，，即 。 化简得：。 此时，条件为：，，且 。 (若选择，则 ，，即 ，条件为，，且 4. 解： (1) 多项式按 (x) 的降幂排列： 各项中 (x) 的次数依次为：0, 2, 1, 3。 排列为：。 (2) 多项式按 (b) 的降幂排列： 各项中 (b) 的次数依次为：1, 2, 3, 4, 5。 排列为：。 学科网（北京）股份有限公司 $