专题14 等腰三角形【考点梳理+重点题型+中考真题】 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题14 等腰三角形 （重难点题型专训） 【知识考点 等腰三角形】 【解题知识必备】 【知识考点1】等腰三角形的性质 1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰． 2.等腰三角形的性质 （1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． （2）性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【提示】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴. 【知识考点2】等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 【知识考点3】尺规作图—作等腰三角形 1.尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2）， ①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【知识考点4】等边三角形的性质 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【提示】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识考点5】等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识考点6】含30°角的直角三角形的性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 利用等边对等角求值证明 【题型02】 利用三线合一求值证明 【题型03】 根据等角对等边求值证明 【题型04】 格点图中画等腰三角形 【题型05】 等腰三角形的性质和判定的综合 【题型06】 根据等边三角形的性质求值证明 【题型07】 根据等边三角形的判定求值证明 【题型08】 等边三角形的性质和判定的综合 【题型09】 利用含30°角的直角三角形的性质求值证明 【特训10】 综合提升 【特训11】 直通中考真题 【题型01】 利用等边对等角求值证明 【例1】（2024-2025八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为，求的长． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·山东威海·期末）如图，，，则的度数为 ． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在中，，点D为中点，于点E，交于点F，连接，求证：． 【题型02】 利用三线合一求值证明 【例2】（2024-2025八年级·广东深圳·期末）如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（2024-2025八年级·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型03】 根据等角对等边求值证明 【例3】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 【变式3-2】（2024-2025八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【变式3-3】（2024-2025八年级·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【题型04】 格点图中画等腰三角形 【例4】（2024-2025七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、P、Q均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． (1)在图①中找一格点C，连结，使得是为以为腰的等腰三角形； (2)在图②的线段上找一点C，连结，使得是为以为底的等腰三角形； (3)在图③的线段上找一点C，连结，使得是为以为底的等腰三角形（保留作图痕迹）． 【题型05】 等腰三角形的性质和判定的综合 【例5】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 【变式5-1】（2024-2025八年级·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为 ． 【变式5-2】（2024-2025八年级·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： （1）如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 【题型06】 根据等边三角形的性质求值证明 【例6】（2024-2025八年级·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024-2025八年级·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级·辽宁本溪·期中）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【题型07】 根据等边三角形的判定求值证明 【例7】（2024-2025八年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【变式7-1】（2024-2025八年级·辽宁沈阳·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 【变式7-2】（2024-2025八年级·陕西咸阳·期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 【题型08】 等边三角形的性质和判定的综合 【例8】（2024-2025八年级·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）求证：． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 【变式8-2】（2024-2025八年级·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【题型09】 利用含30°角的直角三角形的性质求值证明 【例9】（2024-2025八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点M．已知，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式9-1】（2024-2025八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024-2025八年级上·青海西宁·期中）如图，已知是射线上一动点（即可以在射线上运动），，当 时，为直角三角形． 【变式9-3】（2024-2025八年级·四川泸州·开学考试）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，． （1）求的度数． （2）求的长度． 【特训10】 综合提升 1．（2024-2025八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（2024-2025七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2024-2025八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2024-2025八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（2024-2025八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024-2025七年级下·四川成都·期末）如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 7．（2024-2025八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为 ． 8．（2024-2025八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 9．（2024-2025八年级·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 10．（2024-2025八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为 ． 11.（2024-2025八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得 ，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 12．（2024-2025八年级·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 13.（2024-2025七年级·山东东营·期末）【问题初探】 如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． （1）求证：； （2）猜想并证明①与的位置关系；②线段、、之间的数量关系． 【类比探究】 （3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，随着动点的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 14．（2024-2025七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 15．（2024-2025七年级下·河北张家口·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为． （1）如图1，，，则______； （2）如图2，猜想，，的关系，并证明； （3）如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 16.（2024-2025八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由． 17.（2023-2024八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 18．（2024-2025八年级上·吉林·期中）中， ，点 E、F分别是边和上的动点，但始终保持不变． （1）如图①，若求证： （2）如图②，当与不平行时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）设则 周长的最小值为 （用含a 的式子表示）． 【特训11】 直通中考真题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ． 7．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 8．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 9．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ． 10．（2023·湖南·中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度． 11．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ． 12．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s． 13．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 14．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 15．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 16．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 17．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． 18．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 19．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等腰三角形 （重难点题型专训） 【知识考点 等腰三角形】 【解题知识必备】 【知识考点1】等腰三角形的性质 1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰． 2.等腰三角形的性质 （1）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． （2）性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【提示】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴. 【知识考点2】等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 【知识考点3】尺规作图—作等腰三角形 1.尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2）， ①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【知识考点4】等边三角形的性质 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【提示】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识考点5】等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识考点6】含30°角的直角三角形的性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 利用等边对等角求值证明 【题型02】 利用三线合一求值证明 【题型03】 根据等角对等边求值证明 【题型04】 格点图中画等腰三角形 【题型05】 等腰三角形的性质和判定的综合 【题型06】 根据等边三角形的性质求值证明 【题型07】 根据等边三角形的判定求值证明 【题型08】 等边三角形的性质和判定的综合 【题型09】 利用含30°角的直角三角形的性质求值证明 【特训10】 综合提升 【特训11】 直通中考真题 【题型01】 利用等边对等角求值证明 【例1】（2024-2025八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若，的周长为，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质得，即得，进而根据角的和差关系即可求解； （）由线段垂直平分线的性质得，，即得，进而即可求解； 本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·山东威海·期末）如图，，，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 【解答】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）根据即可证明； （2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出． 【解答】（1）证明： （2）解：平分 ， 【变式1-3】（2024-2025八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在中，，点D为中点，于点E，交于点F，连接，求证：． 【答案】见分析 【分析】本考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；过点作交的延长线于点，证明，进而可得，，证明，得出，即可得证． 【解答】解：证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵在中，， ∴， ∵ ∴，，即， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵点D为中点 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 【题型02】 利用三线合一求值证明 【例2】（2024-2025八年级·广东深圳·期末）如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】解法一：过点A作交于点．根据“等腰三角形三线合一”可得，，进而可得 ； 解法二：根据等边对等角可得，，进而可得，再根据证明即可得． 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键， 【解答】解：猜想：； 解法一：过点A作交于点． ，， ． ，， ， ， ． 解法二：， ， ， ， ， 即． 在和中 ， ， ． 【变式2-1】（2024-2025八年级·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【解答】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点． 先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得． 【解答】解：∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）由（）得：，，则，从而证明垂直平分，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型03】 根据等角对等边求值证明 【例3】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 【答案】D 【分析】根据“等角对等边”，和线段垂直平分线的性质判断即可．本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 【解答】解：①∵中，， ∴， ∴是等腰三角形． 故①正确； ②不能使是等腰三角形， 故②错误； ③是的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， 故③正确； 综上，①③正确． 故选：D． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【解答】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式3-3】（2024-2025八年级·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰三角形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【解答】解：（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【题型04】 格点图中画等腰三角形 【例4】（2024-2025七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【解答】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·福建厦门·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分别找到以为底和以为腰时，符合题意的点C的个数即可得到答案． 【解答】解：如图所示，以为底有6个点符合题意； 以为腰有4个点符合题意； ∴一共有10个点符合题意， 故答案为：10． 【变式4-2】（2024-2025八年级上·云南曲靖·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知点、在格点上，若点也在格点上，并使得以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，符合条件的点有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质．结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形的底边；②为等腰直角三角形的一条腰； 接下来分别找出上述两种情况下满足条件的点的个数，然后相加即可得到答案． 【解答】解：如图，分情况讨论： ①为等腰直角三角形的底边时，符合条件的P点有2个； ②为等腰直角三角形的一条腰时，符合条件的P点有4个． 所以使得为等腰直角三角形的点P有6个． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、P、Q均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． (1)在图①中找一格点C，连结，使得是为以为腰的等腰三角形； (2)在图②的线段上找一点C，连结，使得是为以为底的等腰三角形； (3)在图③的线段上找一点C，连结，使得是为以为底的等腰三角形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据网格和等腰三角形的判定即可在图①中找一格点C，使得是为以为腰的等腰三角形； （2）根据网格和等腰三角形的性质即可在图②的线段上找一点C，使得是为以为底的等腰三角形； （3）根据网格和等腰三角形的性质即可在图③的线段上找一点C，使得是为以为底的等腰三角形． 【解答】（1）解：如图①，点C即为所求； （2）解：如图②，点C即为所求； （3）解：如图③，点C即为所求． 【题型05】 等腰三角形的性质和判定的综合 【例5】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式5-1】（2024-2025八年级·辽宁本溪·期末）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点；已知，，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，证明，根据等腰三角形三线合一性质得，再证明得到，即可求解． 【解答】解：延长交的延长线于点， ∵以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线， ∴为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段长为． 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线的画法和定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，通过作辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 【变式5-2】（2024-2025八年级·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【解答】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，    ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又 中，， ， ， ． ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式5-3】（2024-2025七年级下·上海长宁·期末）根据三角形全等知识易证：中，①若，则；②若，则，有时恰当使用上述结论，可使解题过程更简化．数学实验课上，小颖、小亮位同学每人拿的一张画有“形状、大小完全相同的”的纸张，是的中线，他们进行如下操作： （1）如图1，小颖测量发现，那么边、有何数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，小亮在上取一点，将沿翻折后发现，点的对应点恰好在线段上，且平分，求 ． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】（1）根据题意证明，即可求解； （2）根据（1）的证明同理得到，，根据折叠得到，设，则，由角平分线的定义得到，，，根据直角三角形两锐角互余即可得到，则得到，由此即可求解． 【解答】解：（1）解：，理由如下， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：根据（1）的证明得到， ∴，，， ∴ 同理，，， ∵折叠， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查等边对等角，等角对等边的判定和性质，掌握中线的定义，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质是解题的关键． 【题型06】 根据等边三角形的性质求值证明 【例6】（2024-2025八年级·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【解答】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式6-1】（2024-2025八年级·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质逐个判断即可． 【解答】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，正确； ∵，， ∴，正确； 只有当时，，②不一定正确； 故选：C． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点、、依次在同一条直线上，与在直线的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①，②，③，④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据与都是等边三角形，可得，进而得到，即可证明①；根据可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明②；根据条件可证明，利用对顶角相等和三角形外角可得，即可证明③；根据条件证明，可得，即可证明④． 【解答】∵与都是等边三角形， ∴ ∴，即 ∴，故①正确； ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即，故③错误； ∵与都是等边三角形， ∴ ∴ 由①得： ∴， ∴ ∴ ∴，即，故④正确； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角等，灵活运用所学知识是解题关键． 【变式6-3】（2024-2025八年级·辽宁本溪·期中）如图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，直线与交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得，再由，，可得． （2）先根据证明，即可得到，然后证明即可得到结论． 【解答】（1）是等边三角形 ， ， 由旋转的性质得 ∴ ． （2）由旋转的性质得， 是等边三角形， ，， ， ， 【题型07】 根据等边三角形的判定求值证明 【例7】（2024-2025八年级上·宁夏吴忠·期末）如图所示，在中，平分，延长至点E，使，连接． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）为等边三角形，理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，证明是本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，可得，由“”可证，即可证明； （2）证明，，由等边三角形的判定定理，即可判断的形状． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式7-1】（2024-2025八年级·辽宁沈阳·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（   ） A．100海里 B．海里 C．70海里 D．60海里 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定，方位角的表示，先由题意得出，，（海里），再结合平行线的性质得，然后得证是等边三角形，即可作答． 【解答】解：连接，如图所示： ∵一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东的方向行驶100海里到C地， ∴，，（海里）， ∵， ∴， 即， ∵（海里）， ∴是等边三角形， 则海里． 故选：A． 【变式7-2】（2024-2025八年级·陕西咸阳·期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，与交于点，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等三角形，则，故，再结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上． （1）求证：是等边三角形． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（）由线段垂直平分线的性质得，即得，进而得，又根据直角三角形的性质得，即得，即可求证； （）由角的和差关系得，即得，进而得，再根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：（1）证明：∵点在的垂直平分线上， ， ， ， 于点， ∴， ， ， 是等边三角形； （2）解：，， ， ， ， ∵， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型08】 等边三角形的性质和判定的综合 【例8】（2024-2025八年级·辽宁本溪·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【解答】解：（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式8-1】（2024-2025八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识；根据等边三角形的性质可得，，，求出，即可证明，①正确；利用证明和，可得②错误；利用三角形外角的性质可求出，③正确；作于点，作于点，利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，即可判断④正确．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【解答】解：、均为等边三角形， ，，， ∴，即， ，①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， 图中至少有三对全等三角形，②错误； ∵， ∴， ∴，③正确； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，④正确； 综上，正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 【变式8-2】（2024-2025八年级·河南郑州·阶段练习）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，根据题意可推出，证明，即可证明； （2）由，结合题意可推出，，证明，得到，，证明是等边三角形，得到，推出，结合，即可证明． 【解答】（1）证明：平分， ， 在和中，， ； （2）如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． 【变式8-3】（2024-2025八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【解答】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【题型09】 利用含30°角的直角三角形的性质求值证明 【例9】（2024-2025八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点M．已知，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，掌握角平分线的性质作出辅助线是解题的关键． 根据尺规作角平分线的方法可知平分，因此作，可得，进而由直角三角形的性质可得的长度． 【解答】解：由题意可知：平分，过点作交于点，如图： ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D； 【变式9-1】（2024-2025八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 【解答】解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 【变式9-2】（2024-2025八年级上·青海西宁·期中）如图，已知是射线上一动点（即可以在射线上运动），，当 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：当时，， ， 当时，， ， 故答案为：或． 【变式9-3】（2024-2025八年级·四川泸州·开学考试）如图，在中，，的垂直平分线交于，垂足为，若，． （1）求的度数． （2）求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由垂直平分得，即可求得的度数，根据三角形外角的性质即可得到答案； （2）根据含角的直角三角形的性质求得的长，则可求得答案． 【解答】解：（1）解：∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； （2）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质以及直角三角形两锐角互余等知识点．掌握垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【特训10】 综合提升 1．（2024-2025八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 【解答】解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 2．（2024-2025七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键． 连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图，连接并延长，交于点D． ∵点O是的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 3．（2024-2025八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 【解答】解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 4．（2024-2025八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【解答】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 5．（2024-2025八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．（2024-2025七年级下·四川成都·期末）如图，为的中线，过点B作交的延长线于点E，点F在线段上且满足，延长交于点G，若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明．证明，得到，等边对等角，得到，进而推出，得到，线段的和差关系求出的长即可． 【解答】解：∵为的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（2024-2025八年级上·广东汕头·期末）如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【解答】解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 8．（2024-2025八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于 时，为等腰三角形． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 【解答】解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 9．（2024-2025八年级·贵州毕节·期末）如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三角形三线合一，得出，所以， 当的值最小时， 即过点作交于点， 此时的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可． 【解答】解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 10．（2024-2025八年级上·河北廊坊·期末）把按如图所示的方式折叠，重叠部分（阴影部分）恰为正六边形的一半，若阴影部分的周长为30，则的周长为 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，折叠的性质，正六边形的性质， 作于点，作于点，易得，再根据折叠的性质得都是等边三角形，然后由阴影部分为正六边形的一半，且周长为30，可得，进而得出，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴. ∴， ∴； 根据题意可知，， ∴， ∴． ∴； 再根据折叠的性质可得， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形. ∵阴影部分为正六边形的一半，且周长为30， ∴， ∴，则的周长为． 故答案为：54． 11.（2024-2025八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得 ，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出，再逐个判断即可． 【解答】解：， 当时，， 钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形， 只有锐角三角形存在反射三角形， 故①正确，符合题意； 当是等边三角形时，， 是等边三角形， 故②正确，符合题意； 当时，， 直角三角形不存在反射三角形 故③错误，不符合题意； 当是等腰三角形时，假设， 等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形， 故④正确，符合题意； 故选：①②④． 12．（2024-2025八年级·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】（1）等腰；（2）或；（3）真命题 【分析】本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． 【解答】解：（1）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． （2）解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． （3）解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 13.（2024-2025七年级·山东东营·期末）【问题初探】 如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点（点不与点，点重合）．以为边向右侧作等边，连接． （1）求证：； （2）猜想并证明①与的位置关系；②线段、、之间的数量关系． 【类比探究】 （3）如图2，若点在边的延长线上，其它条件不变，随着动点的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）①成立；②不成立，应为，见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质， （1）根据等边三角形的性质得到，，，进而得到，根据“”即可证明； （2）由得到，，从而，即可得到，根据线段的和差可得； （3）同（1）可证，得到，，从而，即可得到，根据线段的和差得到，即可解答． 【解答】（1）证明：∵和是等边三角形 ∴，， ∴ 即 在和中 ∴ （2）①；② 理由：由（1）得 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； （3）①平行成立②不成立，应为 理由：∵和是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ 即 在和中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴． 14．（2024-2025七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 【答案】（1），见分析；（2），见分析 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，再证明得到，进而得到即可求解． 【解答】解：（1），理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 在利中， ， 所以． （2），理由如下： 因为， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 15．（2024-2025七年级下·河北张家口·期末）已知：，，过点A作，垂足为D，过点B做，垂足为． （1）如图1，，，则______； （2）如图2，猜想，，的关系，并证明； （3）如图3，在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）4；（2），见分析；（3）30 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定． （1）证明即可求解． （2）证明即可求解． （3）过点A作于点H，如图所示，证明，求出，再根据求解即可． 【解答】解：（1）解：，垂足为D，，垂足为E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：4； （2）解：，，的关系是：，证明如下： ，垂足为D，，垂足为E， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：过点A作于点H，如图所示： 在中，， ， ，， ， 于点H，于点E， ， ， 是等腰直角三角形，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 的面积为：． 16.（2024-2025八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边中，点是边上一点（点不与端点重合）．作点关于直线的对称点，连接，在射线上取一点，使，与所在直线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当在边上运动时，判断，，面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，理由见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （）由等边三角形的性质和已知可得，从而，从而得出； （）设，从而得出，，从而得出 ，进而得出，进一步得出结果； （）在上截取，设，可证得，从而得出，，可证得，从而得出，进一步得出结果． 【解答】（1）证明: ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点关于直线的对称点， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：，理由如下， 如图，在上截取，设， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 同（）理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17.（2023-2024八年级上·天津红桥·期末）综合与探究 在和中，，，，连接，． [发现问题] 如图1，若，延长交于点D，则与的数量关系是________；的度数为________； [类比探究] 如图2，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． [拓展延伸] 如图3，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】发现问题：；类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识． 发现问题：设与交于点O，证明，则，由三角形外角的性质即可得到的度数； 类比探究：证明，则，由，得到，再根据三角形外角的性质得到的度数； 拓展延伸：证明，则，得到，即，由及等量代换即可得到结论． 【解答】解：发现问题：， 如下图，设与交于点O， ， ， 即， ， ， ， ， ； 类比探究：，理由如下： 如下图， ， ， 即， ， ， ， ； 拓展延伸：，理由如下：如下图， ， ， 即， ， ， ， ， ，即， ， ． 18．（2024-2025八年级上·吉林·期中）中， ，点 E、F分别是边和上的动点，但始终保持不变． （1）如图①，若求证： （2）如图②，当与不平行时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）设则 周长的最小值为 （用含a 的式子表示）． 【答案】（1）见分析；（2）（1）中结论仍然成立，证明见分析；（3） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，再由平行线的性质推出，则，再由三线合一定理得到，则可证明，进而可证明； （2）在上截取，连接，证明，得到，，导角证明，得到，则； （3）证明是等边三角形，推出当时，最小，即此时的周长最小，求出，此时有，即可得到的周长最小为． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， ∴当时，最小，即此时的周长最小， ∵ ∴， ∴此时有， ∴的周长最小为． 【特训11】 直通中考真题 1．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【解答】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【解答】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 4．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【解答】解：A、连接， ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接， ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 5．（2023·河北·中考真题）在和中，．已知，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【解答】解：过A作于点D，过作于点， ∵， ∴， 当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，    ∵，， ∴， ∴； 当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， ∵，， ∴， ∴，即； 综上，的值为或． 故选：C． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 6．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【解答】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 7．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【解答】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 8．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【解答】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 9．（2023·新疆·中考真题）如图，在中，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点评】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键． 10．（2023·湖南·中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度． 【答案】65 【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答． 【解答】解：根据题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 11．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 【解答】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 12．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s． 【答案】1 【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值． 【解答】解：设点P的运动时间为，由题意得， ， ∵， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 13．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【解答】解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 14．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【解答】解：（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 15．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【解答】解：（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 16．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】解：证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 17．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． （1）求证：； （2）若，平分，请直接写出的形状． 【答案】（1）见分析；（2）是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 18．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【解答】解：感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 19．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $