专题01 有理数及其运算（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正数和负数的认识及其应用 熟悉正数和负数的定义，并能够运用在实际生活中去 基础必考点，经常出现在选填题中 数轴的认识以及应用 理解数轴的组成，并能够正确判断数轴是否正确，能在数轴上表示有理数 高频易错点，在选择题、填空题以及解答题中均可以出现。 绝对值、相反数和倒数 理解绝对值、相反数和倒数的基本概念，能熟练的运用三者的性质进行相关求解 高频考点，经常出现在选填题中，或者在解答题中作为桥梁 科学记数法的应用 掌握科学记数法的基本概念，能用正确的运用科学记数法进行求解 高频考点，科学记数法作为考试中的常客，再多年中考中都是有所考察的 有理数的混合运算 熟练的掌握有理数的混合运算，准确的计算出正确结果 必考题，有理数的混合运算作为计算题往往出现在解答题的第一大题中 有理数的实际应用 准确的将有理数运用在实际生活中，将数学与实际生活联系起来 期中常考题，有理数的实际应用往往出现在解答题中 知识点01 正数和负数的定义 像-12、-2.5、-237、-0.7这样的数是 ，像3、3.5、500、1.2这样的数是 。正数前面有时也可以放一个“﹢”（读作“正”）号，如7可以写成+7 注意：0既不是正数，也不是负数。 知识点02 有理数及其分类 ①有理数的定义： 和 统称为有理数 ②有理数的分类（2种分类方式） 知识点03 数轴相关概念 ①数轴的定义：规定了 、 和 的直线叫做数轴 ②有理数比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。由此容易得到如下数的大小比较法则： 都大于0， 都小于0， 都大于 。 知识点04 相反数、绝对值的相关概念 ①相反数的定义：像6和-6、1.5和-1.5那样，只有 的两个数称互为相反数，也就是说，其中一个数是另一个数的相反数，例如6和-6互为相反数，即6是-6的相反数，-6是6的相反数。 ②相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于 的两旁，且与 的距离相等。 注意：0的相反数是0. ③绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a的点与 叫做数a的绝对值，记作|a|。 ④绝对值的意义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）0的绝对值是0；（3）一个负数的绝对值是它相反数。 知识点05 有理数比较大小 在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，所以，两个负数，绝对值 的反而 。 知识点06 有理数的加法法则 （1）同号两个数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得0 （4）一个数与0相加，仍得这个数。 知识点07 有理数的加法运算律 ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置， 不变。 符号表示：a+b=b+a ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相减， 不变。 符号表示：（a+b）+c=a+（b+c） 知识点08 有理数的减法法则 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 。 知识点09 有理数的乘法法则和运算律 ①有理数的乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0. ②有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置， 不变 符号表示：ab=ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘， 不变。 符号表示：（ab）c=a（bc） （3）分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积 。 符号表示：a（b+c）=ab+ac 一般地，几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负数；当负乘数的个数为偶数时，积为正数。 知识点10 有理数的除法相关概念与运算 ①倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，注意：0没有倒数。 ②有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 知识点11 有理数的乘方 ①求几个相同乘数的积的运算，叫做 ，乘方的结果叫做 。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，当把an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。 ②科学记数法：一个绝对值大于0的数可以记成 的形式，其中 ，n是正整数，像这样的记数法叫做 。 知识点12 有理数混合运算顺序 （1）先做乘方，再做乘除，最后做加减； （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行； （3）如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 题型一 有理数的定义相关求解 【典例1】(24-25七上·广东汕头三校联考·期中)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出元记作元，那么收入元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1】(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 【变式2】(24-25七上·湖南永州冷水滩区李达中学·期中)乙醇，俗称酒精，化学式为（或）或，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为千克，如果一箱软儿梨的质量为千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”） 题型二 有理数的定义相关求解 解｜题｜技｜巧 正确对有理数定义进行理解：整数和负数统称为有理数；需要注意的是有限小数和无限循环小数能化为分数，所以也是有理数。 【典例2】在、、、、0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 【变式1】(24-25七上·内蒙古呼伦贝尔第七中学等·期中)下列说法中，错误的有（    ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】(24-25七上·上海杨思中学·期中)在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】(24-25七上·广东清远连州·期中)下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 有理数的分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类 有理数分为整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数分为正分数、负分数。 【典例3】(24-25七上·福建泉州第七中学·期中)下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里： ，0.13，，，0，π， ，． 正有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 负分数集：{ …}； 非负数集：{ …}． 【变式1】(24-25七上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中)把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【变式2】(24-25七上·陕西西安长安区·期中)把下列各数填在相应的集合中： 15，，0.81，，，，，196，0，3.14，1.6， 正数集合｛                                             ……｝； 非负整数集合｛                                         ……｝； 分数集合｛                                             ……｝． 题型四 判断数轴是否正确 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、正方向（通常用向右的箭头标出，代表正数方向）和单位长度（必须均匀分布，确保数值对应位置准确）。 【典例4】(24-25七上·云南昭通威信县·期中)下列数轴正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1】(24-25七上·广西来宾象州县·期中)下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·贵州贵阳第十九中学·期中)下列各图是四位同学所画数轴，其中正确的是（   ） A．   B．   C．     D．   题型五 数轴上表示有理数 【典例5】(24-25七上·河南南阳邓州·期中)小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】(24-25七上·河南信阳罗山县·期中)在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是（   ） A． B． C．0 D． 题型六 在数轴上比较数的大小（字母类）（选答题） 解｜题｜技｜巧 核心规则 （1）右大左小原则 数轴上右侧的数永远大于左侧的数，无论正负。 示例：比较-3和2 → 2在-3右侧 → 2 > -3。 （2）正负分界 正数 > 0 > 负数 负数中，绝对值小的更大 【典例6】(25-26七上·天津河东区多校·期中)如图，根据有理数，，在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·河南周口淮阳区·期中)a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·山西运城平陆县多校联考·期中)有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 在数轴上比较数的大小（解答题） 【典例7】(23-24七下·贵州安顺慧海实验学校·期中)把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 【变式1】(24-25七上·广东吴川第二中学·期中)把下列各数：，，，在数轴上表示出来 ，并用“<”把它们连接起来： 【变式2】(24-25七上·北京第五十中学·期中)把下列各数先在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序用“”号连接起来： ，，，，，． 题型八 数轴上的规律探索 解｜题｜技｜巧 做此类规律题的方法都是先计算出前面几个的数值，再从中找到规律，从而得到一般规律，最后带入需要求的值即可。 【典例8】(24-25七上·贵州贵阳第二十八中学·期中)如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】(24-25七上·广西柳州·期中)如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·福建泉州实验中学·期中)如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 题型九 相反数、绝对值和倒数的判断 解｜题｜技｜巧 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 相反数的定义：只有符号不同，数值相同的两个数互为相反数 倒数：两个乘积为1的数互为倒数，0没有倒数。 【典例9】(24-25七上·福建泉州实验中学·期中)的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 【变式1】下列各数中，互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．3与 D．3与 【变式2】(24-25七上·甘肃天水麦积区·期中)的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【变式3】(23-24七上·青海西宁二中教育集团·期中)下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．和 B．和7 C．和 D．和6 题型十 绝对值的非负性 解｜题｜技｜巧 此题型经常考查的类型为：（ ）2+| |=0，| |+| |=0 这两类题型，我们归纳为0+0=0型，即遇到此类题型只需要将平方内和绝对值内的数或式子等于0即可。 【典例10】(24-25七上·山东临沂蒙阴县第五中学·期中)若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【变式1】(24-25七上·河南南阳桐柏县·期中)若与互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【变式2】(24-25七上·广东河源紫金县·期中)若与的值互为相反数，则的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 题型十一 有理数的混合运算（计算题） 解｜题｜技｜巧 有理数的混合运算顺序 （1）先做乘方，再做乘除，最后做加减； （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行； （3）如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 易错点：区分-12和（-1）2 【典例11】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)；     (3)； (4)． 【变式2】计算： (1) (2) 题型十二 有理数加减法中添括号 解｜题｜技｜巧 添括号或去括号法则：如果括号前面是负号，在添（去）括号时，括号里面的数符号要发生变化；如果括号前是正号，在添（去）括号时，括号里面的数符号不发生变化。 【典例12】(24-25七上·甘肃兰州第十六中·期中)把写成省略括号的形式是(   ) A． B． C． D．3 【变式1】(24-25七上·海南海口第十四中学联考·期中)把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(23-24七上·山东潍坊昌乐县·期中)将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 题型十三 判断计算过程是否错误 解｜题｜技｜巧 容易出现的错误：①运算顺序错误：当题目中只有乘除运算时，应该从左到右依次计算；②开括号错误：开括号时需要判定括号前面是正号还是负号，从而考虑开括号是否变号得问题；③-22和（-2）2计算错误；④使用乘法分配律时漏分配；⑤在同级计算中，需要优先计算后面项时需要添括号提升优先级。 【典例13】(23-24七上·浙江杭州保俶塔教育集团·期中)小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ．③ (1)请指出小红与小亮开始出错的步骤； (2)写出你的解答过程． 【变式1】(24-25七上·广东河源连平县隆街中学·期中)下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【变式2】(24-25七上·吉林长春第八十七中学·期中)小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 题型十四 数轴与绝对值综合化简 解｜题｜技｜巧 ①去绝对值：先判断绝对值里面的数与0的大小关系，如果绝对值里面的数大于0，则直接去掉绝对值，如果绝对值里面的数小于0，则需要先把绝对值里面的数变为相反数后再去掉绝对值。 ②进行合并化简即可 【典例14】(24-25七上·贵州毕节七星关区第三实验学校·期中)已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【变式1】(23-24七上·江苏盐城射阳县实验初级中学·期中)有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示． (1)判断：a____0， ____0， ____0；（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)化简：． 【变式2】(24-25七上·河南安阳滑县·期中)已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 题型十五 科学记数法的应用 解｜题｜技｜巧 一个绝对值大于0的数可以记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数， 【典例15】(23-24七上·甘肃武威古浪县第四中学·期中)某电视台报道，截止到年月日，慈善总会已接受支援玉树地震灾区的捐款元．将用科学记数法表示为 （     ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24八上·贵州遵义南白初级中学·期中)病毒的直径为28000000米，用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】今年的国庆假期外出旅游火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国庆假期国内旅游总收入为亿元．将亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型十六 流程图与有理数的运算 【典例16】(24-25七上·浙江杭州下城区启正中学·期中)我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州树人中学·期中)如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25七上·贵州遵义校联考·期中)乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 题型十七 算“24”点游戏 【典例17】(24-25七上·浙江温州龙湾区多校联考·期中)有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24七上·广东佛山南海区·开学考)“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式2】(24-25六上·山东烟台牟平区（五四制）·期中)24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 题型十八 有理数的实际应用 【典例18】(24-25七上·云南大理白族剑川县马登镇初级中学·期中)小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【变式1】(24-25七上·贵州遵义十一中·期中)无人驾驶技术逐步走向成熟，在今年7月无人驾驶网约车在我国各个城市开始试运营．无人驾驶网约车在东西走向的道路上运行，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）：6，，，7，5.4，，9，，，8． (1)当无人驾驶网约车将最后一位乘客送到目的地时，距出发地点的距离为多少千米？ (2)若无人驾驶网约车每公里耗电度，电费单价元/度，问该网约车当天消耗电费多少元？ 【变式2】(24-25七上·辽宁沈阳辽中区·期中)2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （单位：） 注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降 (1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ (2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？ 题型十九 有理数中新定义类题型 【典例19】(24-25七上·广西柳州铁五中学·期中)小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】(24-25七上·贵州毕节七星关区第三实验学校·期中)现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【变式2】(24-25七上·河南南阳镇平县·期中)阅读下列内容，完成相关问题． 明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______． (2)计算： 题型二十 有理数中找规律类题型 【典例20】(24-25七上·甘肃天水麦积区·期中)观察下列各式： …………① …………② …………③ …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： ； (2)试写出第n个等式： ； (3)计算． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【变式2】(24-25七上·安徽宿州宿城第一初级中学·期中)观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 题型二十一 绝对值的几何意义（压轴题） 【典例21】(24-25七上·河南南阳社旗县·期中)阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【变式1】(24-25七上·广东广州海珠区景中实验中学·期中)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值； 的最小值是多少，这时候的取值范围． 【变式2】(24-25七上·福建漳州平和县广兆中学·期中)观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 题型二十二 数轴上的动点问题（压轴题） 【典例22】(23-24七上·浙江宁波余姚子陵中学教育集团子陵校区·期中)如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【变式1】(24-25七上·湖北十堰房县·期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【变式2】如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正数和负数的认识及其应用 熟悉正数和负数的定义，并能够运用在实际生活中去 基础必考点，经常出现在选填题中 数轴的认识以及应用 理解数轴的组成，并能够正确判断数轴是否正确，能在数轴上表示有理数 高频易错点，在选择题、填空题以及解答题中均可以出现。 绝对值、相反数和倒数 理解绝对值、相反数和倒数的基本概念，能熟练的运用三者的性质进行相关求解 高频考点，经常出现在选填题中，或者在解答题中作为桥梁 科学记数法的应用 掌握科学记数法的基本概念，能用正确的运用科学记数法进行求解 高频考点，科学记数法作为考试中的常客，再多年中考中都是有所考察的 有理数的混合运算 熟练的掌握有理数的混合运算，准确的计算出正确结果 必考题，有理数的混合运算作为计算题往往出现在解答题的第一大题中 有理数的实际应用 准确的将有理数运用在实际生活中，将数学与实际生活联系起来 期中常考题，有理数的实际应用往往出现在解答题中 知识点01 正数和负数的定义 像-12、-2.5、-237、-0.7这样的数是负数，像3、3.5、500、1.2这样的数是正数。正数前面有时也可以放一个“﹢”（读作“正”）号，如7可以写成+7 注意：0既不是正数，也不是负数。 知识点02 有理数及其分类 ①有理数的定义：整数和分数统称为有理数 ②有理数的分类（2种分类方式） 知识点03 数轴相关概念 ①数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ②有理数比较大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。由此容易得到如下数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数。 知识点04 相反数、绝对值的相关概念 ①相反数的定义：像6和-6、1.5和-1.5那样，只有正负号不同的两个数称互为相反数，也就是说，其中一个数是另一个数的相反数，例如6和-6互为相反数，即6是-6的相反数，-6是6的相反数。 ②相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。 注意：0的相反数是0. ③绝对值的定义：我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 ④绝对值的意义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）0的绝对值是0；（3）一个负数的绝对值是它相反数。 知识点05 有理数比较大小 在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个点在左边，也就是绝对值大的点在左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小。 知识点06 有理数的加法法则 （1）同号两个数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得0 （4）一个数与0相加，仍得这个数。 知识点07 有理数的加法运算律 ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 符号表示：a+b=b+a ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相减，和不变。 符号表示：（a+b）+c=a+（b+c） 知识点08 有理数的减法法则 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 知识点09 有理数的乘法法则和运算律 ①有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0. ②有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 符号表示：ab=ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 符号表示：（ab）c=a（bc） （3）分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 符号表示：a（b+c）=ab+ac 一般地，几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负数；当负乘数的个数为偶数时，积为正数。 知识点10 有理数的除法相关概念与运算 ①倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，注意：0没有倒数。 ②有理数的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 知识点11 有理数的乘方 ①求几个相同乘数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，当把an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。 ②科学记数法：一个绝对值大于0的数可以记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数，像这样的记数法叫做科学记数法。 知识点12 有理数混合运算顺序 （1）先做乘方，再做乘除，最后做加减； （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行； （3）如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 题型一 有理数的定义相关求解 【典例1】(24-25七上·广东汕头三校联考·期中)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把支出元记作元，那么收入元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题涉及正负数的意义，核心是利用正负数表示相反意义的量，支出为负时，收入就为正．根据正负数表示相反意义的量，支出记为负，那么收入就记为正，从而确定收入元的记法． 【详解】解：∵支出元记作元，支出和收入是相反意义的量， ∴收入元记作元， 故选：C． 【变式1】(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)小明向北走记为，那么的意义是（   ） A．小明向东走 B．小明向西走 C．小明向南走 D．小明向北走 【答案】C 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的量，向北走记为正，则向南走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向北走记为， ∴的意义是小明向南走， 故选：C． 【变式2】(24-25七上·湖南永州冷水滩区李达中学·期中)乙醇，俗称酒精，化学式为（或）或，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的实际应用，解题关键是明确正负数表示具有相反意义的量． 根据零上记作，可确定零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，由此可表示出零下． 【详解】解：∵零上记作， ∴零上温度用正数表示，零下温度用负数表示， ∴零下应记作， 故选：D． 【变式3】(24-25七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)皋兰软儿梨也叫冻梨、香水梨，每年深秋采摘后，经西北寒冽的冬天糖化、变黑后是皋兰软儿梨特有的吃法，成为当地群众严冬的一道特色美食，某生态园区生产的软儿梨包装纸箱上标明软儿梨的质量为千克，如果一箱软儿梨的质量为千克，那么这箱软儿梨（选填“合格”或“不合格”） 【答案】不合格 【分析】本题考查了正负数的意义，首先确定质量的合格范围，然后比较实际质量是否在该范围内，从而得出结论． 【详解】解：∵一箱软儿梨的质量为千克 ∴最大质量为千克，最小质量为千克 ∵． ∴这箱软儿梨不合格． 故答案为：不合格． 题型二 有理数的定义相关求解 解｜题｜技｜巧 正确对有理数定义进行理解：整数和负数统称为有理数；需要注意的是有限小数和无限循环小数能化为分数，所以也是有理数。 【典例2】在、、、、0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：有理数有、、、0、，共8个， 故选：A． 【变式1】(24-25七上·内蒙古呼伦贝尔第七中学等·期中)下列说法中，错误的有（    ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，带“非”字的有理数的概念，注意没有最小的有理数． 本题根据有理数的基本定义，对各项进行判定即可求得答案． 【详解】解： 是负分数；故①说法是正确的，不符合题意； 1.5不是整数；故②说法是正确的，不符合题意； 非负有理数包括0，故③说法是错误的，符合题意； 整数和分数统称为有理数，故④说法是错误的，符合题意； 0不是最小的有理数，故⑤说法是错误的，符合题意； 是有理数，故⑥说法是错误的，符合题意； 故选：D． 【变式2】(24-25七上·上海杨思中学·期中)在数，0，29，，，，，中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握整数和分数统称有理数． 根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于分数，是有理数， 0是整数，是有理数， 29是正整数，是有理数， 因为是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，不是有理数， 是负分数，属于有理数， ，是无限不循环小数，不是属于有理数， ，是循环小数，属于分数，是有理数， 共5个， 故选：C． 【变式3】(24-25七上·广东清远连州·期中)下列个数、、、、、每两个之间依次一个、，其中有理数有(   )个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都能化成分数，对各个数进行判断即可． 【详解】解：、、、、、每两个之间依次一个、， 其中有理数为、、、、，共5个， 故选：C． 题型三 有理数的分类 解｜题｜技｜巧 有理数的分类 有理数分为整数和分数，整数又分为正整数、零和负整数；分数分为正分数、负分数。 【典例3】(24-25七上·福建泉州第七中学·期中)下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里： ，0.13，，，0，π， ，． 正有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 负分数集：{ …}； 非负数集：{ …}． 【答案】0.13，20%，，；，0，；；0.13，20%，，0，π， 【分析】根据正有理数、整数、负分数和非负数的定义进行解答即可． 【详解】解：正有理数集：{0.13，，，}， 整数集：{，0，…}， 负分数集：{}， 非负数集：{ 0.13，，，0，π，}， 故答案为：0.13，，，；，0，；；0.13，，，0，π，． 【变式1】(24-25七上·贵州黔东南州凯里第十中学·期中)把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 【变式2】(24-25七上·陕西西安长安区·期中)把下列各数填在相应的集合中： 15，，0.81，，，，，196，0，3.14，1.6， 正数集合｛                                             ……｝； 非负整数集合｛                                         ……｝； 分数集合｛                                             ……｝． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是明确正数，非负整数以及分数的定义.解题时根据定义，对所给的数逐一进行判断，然后分别填入对应的集合中. 【详解】解：正数集合； 非负整数集合； 分数集合． 题型四 判断数轴是否正确 解｜题｜技｜巧 数轴三要素：原点、正方向（通常用向右的箭头标出，代表正数方向）和单位长度（必须均匀分布，确保数值对应位置准确）。 【典例4】(24-25七上·云南昭通威信县·期中)下列数轴正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查的是数轴三要素，根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度且单位长度要统一，解答即可. 【详解】A、单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； B、数轴的三要素：原点、正方向与单位长度且单位长度统一，故该选项正确，符合题意； C、没有正方向，故该选项不正确，不符合题意； D、 单位刻度的数值标错了，故该选项是错误的；故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】(24-25七上·广西来宾象州县·期中)下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查画数轴，根据数轴的三要素，原点，单位长度，正方向，进行判断即可． 【详解】解：A、没有正方向，错误，不符合题意； B、单位长度不统一，错误，不符合题意； C、画法正确，符合题意； D、没有原点，错误，不符合题意； 故选C． 【变式2】(24-25七上·贵州贵阳第十九中学·期中)下列各图是四位同学所画数轴，其中正确的是（   ） A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同是解题的关键．据此即可判断． 【详解】解：A、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； B、单位长度不一致，故本选项错误，不符合题意； C、没有原点，故本选项错误，不符合题意； D、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 题型五 数轴上表示有理数 【典例5】(24-25七上·河南南阳邓州·期中)小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【变式1】(24-25七上·河南信阳罗山县·期中)在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据数轴的知识解答即可，解题的关键是掌握数轴知识． 【详解】解：∵A，B表示的数分别是，4，且， ∴， ∴关于点对折后，与表示的点重合， ∴， ∴， ∴C点表示的数是， 故选：A． 题型六 在数轴上比较数的大小（字母类）（选答题） 解｜题｜技｜巧 核心规则 （1）右大左小原则 数轴上右侧的数永远大于左侧的数，无论正负。 示例：比较-3和2 → 2在-3右侧 → 2 > -3。 （2）正负分界 正数 > 0 > 负数 负数中，绝对值小的更大 【典例6】(25-26七上·天津河东区多校·期中)如图，根据有理数，，在数轴上的位置，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是掌握：数轴上的数，右边的数总比左边的数大，利用这个特点可比较四个数的大小． 【详解】解：∵数轴上的数，右边的数总比左边的数大， ∴． 故选：B． 【变式1】(24-25七上·河南周口淮阳区·期中)a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．把a，，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ． 故选：D． 【变式2】(24-25七上·山西运城平陆县多校联考·期中)有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的大小，有理数乘法运算，根据数轴可知，，，一一判断即可． 【详解】解：．根据数轴可知，故该选项符合题意； ．根据数轴可知，故该选项不符合题意； ．根据数轴可知，，则，故该选项不符合题意； ．根据数轴可知，，则，则，故该选项不符合题意； 故选：A． 题型七 在数轴上比较数的大小（解答题） 【典例7】(23-24七下·贵州安顺慧海实验学校·期中)把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】图见解析，． 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值的意义，化简多重符号，先去绝对值，再将各数在数轴上进行表示，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：，； 在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 【变式1】(24-25七上·广东吴川第二中学·期中)把下列各数：，，，在数轴上表示出来 ，并用“<”把它们连接起来： 【答案】数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了数轴与有理数的大小比较，解题的关键是细致认真，不要把原来的式子化简错误． 先把各数化简，化简后再在数轴上表示和比较大小． 【详解】，数轴表示如下： ∴． 【变式2】(24-25七上·北京第五十中学·期中)把下列各数先在数轴上表示出来，再按从小到大的顺序用“”号连接起来： ，，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了数轴、化简多重符号、化简绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先化简多重符号、化简绝对值，再画出数轴，然后在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可． 【详解】解：因为，， 所以各数在数轴上表示如图所示：    按从小到大的顺序用“”号连接起来为：． 题型八 数轴上的规律探索 解｜题｜技｜巧 做此类规律题的方法都是先计算出前面几个的数值，再从中找到规律，从而得到一般规律，最后带入需要求的值即可。 【典例8】(24-25七上·贵州贵阳第二十八中学·期中)如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【变式1】(24-25七上·广西柳州·期中)如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 【变式2】(24-25七上·福建泉州实验中学·期中)如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【答案】1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：1009或1006． 题型九 相反数、绝对值和倒数的判断 解｜题｜技｜巧 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 相反数的定义：只有符号不同，数值相同的两个数互为相反数 倒数：两个乘积为1的数互为倒数，0没有倒数。 【典例9】(24-25七上·福建泉州实验中学·期中)的相反数是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数. 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 【变式1】下列各数中，互为相反数的是（   ） A．3与 B．与 C．3与 D．3与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和绝对值，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，解题的关键是掌握绝对值的定义和相反数的定义．利用绝对值和相反数的定义解答． 【详解】解：A、3与不互为相反数，不符合题意； B、与不互为相反数，不符合题意； C、3与互为相反数，符合题意； D、，所以3与不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】(24-25七上·甘肃天水麦积区·期中)的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、相反数的定义，掌握定义是关键． 根据绝对值、相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 的相反数为， 的相反数为． 故选：A． 【变式3】(23-24七上·青海西宁二中教育集团·期中)下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．和 B．和7 C．和 D．和6 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，化简多重符号，先整理每个选项的数值，再结合只有符号不同的两个数互为相反数进行分析，即可作答． 【详解】解：A、，则与互为相反数，因为，故该选项不符合题意； B、，则和7不是互为相反数，故该选项不符合题意 C、，则与0.25互为相反数，故该选项符合题意； D、，则和6不是互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：C 题型十 绝对值的非负性 解｜题｜技｜巧 此题型经常考查的类型为：（ ）2+| |=0，| |+| |=0 这两类题型，我们归纳为0+0=0型，即遇到此类题型只需要将平方内和绝对值内的数或式子等于0即可。 【典例10】(24-25七上·山东临沂蒙阴县第五中学·期中)若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 【变式1】(24-25七上·河南南阳桐柏县·期中)若与互为相反数，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义，求代数式的值等知识，新根据相反数的定义得出，然后根据绝对值的非负性可求出，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】(24-25七上·广东河源紫金县·期中)若与的值互为相反数，则的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性、相反数，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．先根据相反数的定义可得，再根据绝对值和偶次方的非负性可得，，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 题型十一 有理数的混合运算（计算题） 解｜题｜技｜巧 有理数的混合运算顺序 （1）先做乘方，再做乘除，最后做加减； （2）同级运算，按照从左到右的顺序进行； （3）如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 易错点：区分-12和（-1）2 【典例11】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按运算顺序依次计算是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，再计算括号里面的，接着计算乘，最后计算减； （3）利用乘法分配律即可计算； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】计算： (1)； (2)；     (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将分数化为小数，根据有理数的加减运算法则计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算律计算即可得解； （3）将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，约分即可得解； （4）先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法，最后计算减法即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算乘方，再根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十二 有理数加减法中添括号 解｜题｜技｜巧 添括号或去括号法则：如果括号前面是负号，在添（去）括号时，括号里面的数符号要发生变化；如果括号前是正号，在添（去）括号时，括号里面的数符号不发生变化。 【典例12】(24-25七上·甘肃兰州第十六中·期中)把写成省略括号的形式是(   ) A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的去括号法则，解题的关键是掌握“括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号均改变”的规则． 根据去括号法则对原式中每个括号依次处理：将化为化为化为化为；整理处理后的式子，再与选项对比确定答案． 【详解】解：先根据去括号法则化简原式： ． 只有选项C与化简结果一致； 故选：C． 【变式1】(24-25七上·海南海口第十四中学联考·期中)把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，先将原式整理为，再写出省略加号的形式即可． 【详解】原式 ． 故选：A． 【变式2】(23-24七上·山东潍坊昌乐县·期中)将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 题型十三 判断计算过程是否错误 解｜题｜技｜巧 容易出现的错误：①运算顺序错误：当题目中只有乘除运算时，应该从左到右依次计算；②开括号错误：开括号时需要判定括号前面是正号还是负号，从而考虑开括号是否变号得问题；③-22和（-2）2计算错误；④使用乘法分配律时漏分配；⑤在同级计算中，需要优先计算后面项时需要添括号提升优先级。 【典例13】(23-24七上·浙江杭州保俶塔教育集团·期中)小红与小亮两位同学计算的过程如下： 小红： ① ② ③ ④ 小亮： ① ② ．③ (1)请指出小红与小亮开始出错的步骤； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)小红开始出错的步骤在第②步，小亮开始出错的步骤在第①步 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），对于乘除法按照顺序计算解答，再根据乘方的定义解答； 对于（2），先算乘方，再按照顺序计算有理数的乘除法即可. 【详解】（1）解：小红出现错误在第②步，小亮出现错误在第①步； （2）解：原式 . 【变式1】(24-25七上·广东河源连平县隆街中学·期中)下面是乐乐同学进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 ．第四步 任务： (1)填空： ①以上运算步骤中，第一步依据的运算律是　　； ②第　　步开始出现错误，错误的原因是　　． (2)请直接写出正确的计算结果． 【答案】(1)①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误 (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律简便运算是解答的关键． （1）①利用乘法分配律可得答案；②根据有理数的乘法运算法则判断即可； （2）根据乘法分配律和有理数的乘法和加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：①在所给运算步骤中，第一步依据的运算律是乘法分配律； ②第二步开始出现错误，错误的原因是计算时符号出现错误， 故答案为：①乘法分配律；②二，计算时符号出现错误； （2）解： ． 【变式2】(24-25七上·吉林长春第八十七中学·期中)小明在计算题目：时，步骤如下： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 根据小明的计算过程解答下列过程： (1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第__________步； (2)写出该题正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】此题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是关键． （1）根据有理数的运算法则进行判断即可； （2）先计算乘法和括号内的减法，再计算除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：小明的计算过程中开始出现错误的步骤是第一步，原因是除法没有分配律； 故答案为：一 （2）解: 题型十四 数轴与绝对值综合化简 解｜题｜技｜巧 ①去绝对值：先判断绝对值里面的数与0的大小关系，如果绝对值里面的数大于0，则直接去掉绝对值，如果绝对值里面的数小于0，则需要先把绝对值里面的数变为相反数后再去掉绝对值。 ②进行合并化简即可 【典例14】(24-25七上·贵州毕节七星关区第三实验学校·期中)已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 【变式1】(23-24七上·江苏盐城射阳县实验初级中学·期中)有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示． (1)判断：a____0， ____0， ____0；（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法以及绝对值的化简等知识点，解题的关键是根据数轴判断出有理数的正负以及绝对值的大小关系，进而进行有理数运算和绝对值化简． （1）根据数轴上a，b的位置判断a，b的正负及绝对值大小，再判断的正负； （2）根据（1）中得到的正负情况，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，然后进行整式的化简． 【详解】（1）由数轴可知，且， 对于，异号两数相加，取绝对值较大的符号，，为负，所以， 对于，两个正数相加结果为正，所以， 故答案为：，，． （2）因为，所以， 由（1）知，所以， 由（1）知，所以， 以 ． 故答案为：． 【变式2】(24-25七上·河南安阳滑县·期中)已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查利用根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值意义，绝对值性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴的特点即可判断的正负，再结合绝对值意义，即可判断的正负； （2）根据数轴判断式子，的正负，再结合绝对值性质化简，即可解题． 【详解】（1）解：由数轴可知，，，， 且， 所以， 故答案为：；； （2）解：因为，， 所以． 题型十五 科学记数法的应用 解｜题｜技｜巧 一个绝对值大于0的数可以记成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数， 【典例15】(23-24七上·甘肃武威古浪县第四中学·期中)某电视台报道，截止到年月日，慈善总会已接受支援玉树地震灾区的捐款元．将用科学记数法表示为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法． 按照科学记数法表示数的方法，把写成的形式即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】(23-24八上·贵州遵义南白初级中学·期中)病毒的直径为28000000米，用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：28000000米用科学记数法表示为米， 故选：D． 【变式2】今年的国庆假期外出旅游火爆，据文化和旅游部数据中心统计，国庆假期国内旅游总收入为亿元．将亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2025～2026学年华东师大版七年级上册数学期中测试测试卷 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式（其中，n为整数）是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为， 故选：． 题型十六 流程图与有理数的运算 【典例16】(24-25七上·浙江杭州下城区启正中学·期中)我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，根据运算程序得出一般性规律是解题的关键．根据运算程序求出前几个输出结果，找出循环规律，再根据规律计算第次输出的结果． 【详解】解：第1次输出的数为：把代入，； 第2次输出的数为：把代入，； 第3次输出的数为：把代入，； 第4次输出的数为：把代入，； 第5次输出的数为：把代入，； 由此得，从第2次输出结果开始，以，循环， ， 第次输出的结果为， 故选：B． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州树人中学·期中)如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据数据运算程序计算出前8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； …… ∴从第2次开始，每6次一个循环周期， ∴， ∴第2024次输出的结果是， 故选：B． 【变式2】(24-25七上·贵州遵义校联考·期中)乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 题型十七 算“24”点游戏 【典例17】(24-25七上·浙江温州龙湾区多校联考·期中)有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式1】(23-24七上·广东佛山南海区·开学考)“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式2】(24-25六上·山东烟台牟平区（五四制）·期中)24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 题型十八 有理数的实际应用 【典例18】(24-25七上·云南大理白族剑川县马登镇初级中学·期中)小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？ (2)小虫离开出发点O最远是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到出发点O (2)小虫离开出发点最远时是 (3)小虫一共得到54粒芝麻 【分析】本题考查了正数和负数的知识，解题的关键是掌握正负数是表示相反意义的量，如果规定一个量为正，则与它相反的量一定为负；距离即绝对值与正负无关． （1）把记录数据相加，结果为0，说明小虫最后回到出发点O； （2）分别计算出每次爬行后距离O点的距离； （3）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【详解】（1）解：∵， ∴小虫最后回到出发点O； （2）解：第一次爬行距离出发点是， 第二次爬行距离出发点是， 第三次爬行距离出发点是， 第四次爬行距离出发点是， 第五次爬行距离出发点是， 第六次爬行距离出发点是， 第七次爬行距离出发点是， 从上面可以看出小虫离开出发点最远时是； （3）解：小虫爬行的总路程为： ， （粒）， ∴小虫一共得到54粒芝麻． 【变式1】(24-25七上·贵州遵义十一中·期中)无人驾驶技术逐步走向成熟，在今年7月无人驾驶网约车在我国各个城市开始试运营．无人驾驶网约车在东西走向的道路上运行，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）：6，，，7，5.4，，9，，，8． (1)当无人驾驶网约车将最后一位乘客送到目的地时，距出发地点的距离为多少千米？ (2)若无人驾驶网约车每公里耗电度，电费单价元/度，问该网约车当天消耗电费多少元？ 【答案】(1)距出发地点的距离为 千米 (2)该网约车当天消耗电费 元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握正负数的实际意义，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）运用正负数的意义，进行有理数的加减运算即可求解； （2）运用绝对值的性质求出行程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴距出发地点的距离为 9.1 千米． （2）解：网约车行驶的路程为： ， （元）， 答：该网约车当天消耗电费 元． 【变式2】(24-25七上·辽宁沈阳辽中区·期中)2024年7月下旬辽中区连降暴雨，28日（周日）冷子堡镇团结水库水位已达到警戒水位，区教育局紧急抽调90名教师到冷子堡镇支援，协助当地到团结水库巡堤，下表记录了水库接下来一周水库水位的变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （单位：） 注：正数表示水位比前一天上升，负数表示水位比前一天下降 (1)这一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？ (2)与上周周末相比，这一周周末的水位是上升了还是下降了？ 【答案】(1)周二水位最高，在警戒水位之上； (2)与上周周末相比，这一周周末的水位下降了． 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数加法的实际应用，解决这类题目的关键是理解正负数的意义． （1）分别计算出本周七天的水位，即可求解； （2）根据本周周日的水位大于上周周末的水位，即可求解． 【详解】（1）解：设警戒水位为0米， 周一水位：米， 周二水位：米， 周三水位：米， 周四水位：米， 周五水位：米， 周六水位：米， 周日水位：米， ∵， ∴这一周周二水位最高，且在警戒水位之上； （2）解： ∵， 答：与上周周末相比，这一周周末的水位下降了． 题型十九 有理数中新定义类题型 【典例19】(24-25七上·广西柳州铁五中学·期中)小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．如： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，正确根据新定义列出对应的算式是解题的关键． （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意得，； （2）解：， ∴ ． 【变式1】(24-25七上·贵州毕节七星关区第三实验学校·期中)现在定义两种运算“*”和“☆”，对于有理数a，b，有，． (1)求；的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)25 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，解题的关键是读懂题意，列出算式． （1）根据题目给出的定义，列式计算即可； （2）根据题目给出的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴； （2）解： ，， ． 【变式2】(24-25七上·河南南阳镇平县·期中)阅读下列内容，完成相关问题． 明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______． (2)计算： 【答案】(1)正，负，绝对值相加，绝对值 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据所给的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：*（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值； （2）解： ． 题型二十 有理数中找规律类题型 【典例20】(24-25七上·甘肃天水麦积区·期中)观察下列各式： …………① …………② …………③ …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： ； (2)试写出第n个等式： ； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，善于思考总结规律是解题的关键． （1）观察题目中的规律可知第五个等式为； （2）根据得出规律写出第n个等式即可； （3）将原式变为，再根据化简即可解答． 【详解】（1）解：∵……………① ……………② ……………③ …… ∴第个等式是； 故答案为： （2）解：∵……………① ……………② ……………③ …… ∴第n个等式为：； 故答案为： （3）解： ． 【变式1】(24-25七上·甘肃兰州榆中县连搭镇连搭中学·期中)观察下列各式∶ ， ， ， (1)猜想 ． (2)根据上面的规律，解答下列问题： ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）计算每个括号，约分即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， … ∴； 故答案为：． （2）解： ． 【变式2】(24-25七上·安徽宿州宿城第一初级中学·期中)观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；． (1)请写出第5个等式：________________________； (2)写出第n个等式：________________________；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)根据你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键． （1）根据规律计算即可求解； （2）根据规律总结归纳即可求解； （3）先将乘法化为加法，再结合分配律进行简便运算即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：归纳可得：第n个等式：， 故答案为：； （3）解： ． ； 题型二十一 绝对值的几何意义（压轴题） 【典例21】(24-25七上·河南南阳社旗县·期中)阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的几何意义． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为1，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为1的点即可． 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 【变式1】(24-25七上·广东广州海珠区景中实验中学·期中)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值； 的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2) 或； ， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 【变式2】(24-25七上·福建漳州平和县广兆中学·期中)观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 题型二十二 数轴上的动点问题（压轴题） 【典例22】(23-24七上·浙江宁波余姚子陵中学教育集团子陵校区·期中)如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； （4）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 【变式1】(24-25七上·湖北十堰房县·期末)【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 【变式2】如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而的平方最大，最大为49； 所以A点表示的数的平方最大； (3)当时，；当时，；当时， 【来源】2024--2025学年北师大版七年级上册 数学期中试卷 （B） 【分析】（1）根据点C，D表示的数互为相反数，则原点位于线段的中点处，即可确定； （2）根据数轴即可确定四点表示的数；计算出四点表示的数的平方即可； （3）表示出M、N两点表示的数，分三种情况考虑，当时；当时；当时，即可求得． 【详解】（1）解：原点位置如图所示； （2）解：由数轴知，A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而， 所以A点表示的数的平方最大；最大为49； （3）解：运动t秒后，点M表示的数为， 当时，点M在上运动，点N静止， 则； 当时，点N表示的数为， 则； 当时，此时点N到达终点D，点M继续运动； 则； 综上，当时，；当时，；当时， ． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，两点间的距离，相反数，列代数式，乘方运算，动点问题等知识，理解题意，掌握相关知识与运算是关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $