专题04 分式的化简求值（高效培优期中专项训练）数学湘教版2024八年级

专题04 分式的化简求值 考点01 分式化简求值—直接代入 1 考点02 分式化简求值—选择性代入 2 考点03 分式化简求值—整体代入 3 考点04 分式化简求值—消元法化简 5 考点05 分式化简求值—定义新运算 6 考点06 分式化简求值—材料阅读题 9 考点01 分式化简求值—直接代入 1．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再计算当时，该式子的值． 2．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25八年级上·广东·期末）先化简，再选择一个你喜欢的数作为的值，代入求值； 4．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（21-22八年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 6．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，请从中选择一个你喜欢的数求值． 考点02 分式化简求值—选择性代入 7．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）先化简，再从、、、中选一个你认为适合的数作为的值代入求值． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 9．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 10．（23-24八年级上·山东日照·期末）先化简：，再从，0，1，2中取一个合适的数作为的值代入求值． 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）（1）化简； （2）先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数代入求值． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 考点03 分式化简求值—整体代入 13．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则 ， ． 14．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求代数式的值． 16．（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知，则的值是 ． 17．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知，，则 ． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若满足方程，则 ． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 20．（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 考点04 分式化简求值—消元法化简 21．（20-21九年级下·河南开封·期末）先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 22．（2025·宁夏银川·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________． A．整式乘法B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________． （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 23．（24-25八年级下·河南南阳·期末）若a为负整数，且，则的值落在图中数轴上的部分可能为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 考点05 分式化简求值—定义新运算 24．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 25．（21-22八年级上·浙江台州·期末）我们知道引入负整数指数幂后，规定：，它将幂指数的取值范围推广到了全体整数．现记，其中表示当x取不同数时分式的值为，如：； (1)求值：______；______； (2)猜想：______，并说明理由； (3)计算：； (4)若，则的值是______．（用含k的式子表示，其中） 26．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 27．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 28．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）对于正数x，规定：．例如：． (1)求值：______；=______；______． (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求：的值． 考点06 分式化简求值—材料阅读题 29．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式． 30．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 31．（24-25八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则 ，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式的化简求值 考点01 分式化简求值—直接代入 1 考点02 分式化简求值—选择性代入 3 考点03 分式化简求值—整体代入 6 考点04 分式化简求值—消元法化简 12 考点05 分式化简求值—定义新运算 15 考点06 分式化简求值—材料阅读题 22 考点01 分式化简求值—直接代入 1．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再计算当时，该式子的值． 【答案】， 【思路引导】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：原式 ， 当时，原式． 2．（20-21八年级上·海南省直辖县级单位·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是正确的计算；先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，再把字母的值代入计算即可得到答案； 【规范解答】解：， ， ， 代入，原式． 3．（24-25八年级上·广东·期末）先化简，再选择一个你喜欢的数作为的值，代入求值； 【答案】原式化简为；代入，原式（代入的值不取和即可） 【思路引导】本题考查分式的化简求值，涉及分式通分、因式分解、分式除法运算以及分式有意义的条件；通过通分将括号内式子化简，因式分解并对分母变形，将除法转为乘法并约分化简，最后根据分母不为确定的取值并代入求值． 【规范解答】解： 当时(不能取和)， 原式(答案不唯一)． 4．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，根据分式混合运算的顺序，应先算除法，再算减法，将各部分化简后，再进行减法运算，最后代入求值即可． 【规范解答】解： 当时，原式 5．（21-22八年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路引导】本题考查了分式的化简求值． 先计算括号里的减法，并进行因式分解，再计算乘法，最后将代入计算即可． 【规范解答】原式，当时，原式． 6．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，请从中选择一个你喜欢的数求值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值和分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先利用完全平方差公式和单项式乘多项式的运算法则进行计算，再进行合并同类项，最后代数求值即可； （2）先进行分式的加减运算，再进行分式的除法运算，化简后，选择合适的值代入求解即可． 【规范解答】（1）解：原式． 当，时，原式； （2）解：原式． 由题意，得． 当时，原式． 考点02 分式化简求值—选择性代入 7．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）先化简，再从、、、中选一个你认为适合的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式=3 【思路引导】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则将除法变为乘法计算，约分得到最简结果，所选取的值要保证所有分式有意义，即所有分母不为0，且除数不能为0，所以把代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式 ， 根据分式的性质，可知且且， ∴且且， ∴可取， 把代入原式， 原式． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简：，然后在不等式的非负整数解中选择一个适当的数代入求值． 【答案】，1 【思路引导】此题考查了分式的除法，代入求值，一元一次不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式， ， ； 要使原式有意义，则． 又，且为非负整数， 只能取1． 当时， 原式． 9．（22-23九年级下·江苏苏州·阶段练习）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【思路引导】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 本题先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【规范解答】解： 原式 ； 当时，； 10．（23-24八年级上·山东日照·期末）先化简：，再从，0，1，2中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 ． 【思路引导】此题考查了分式的化简求值．根据分式的除法和分式的减法进行化简得到结果，再把字母的值代入求值即可． 【规范解答】解： ， ，， ，， 当时， 原式． 11．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）（1）化简； （2）先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的加减法，再算除法即可； （2）先算括号里面的减法，再算除法进行化简，再确定能取的值，代入计算即可． 【规范解答】（1） ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ∵，， ∴， 当时，． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件确定出符合题意的x的值，最后代值计算即可． 【规范解答】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴当时，原式． 考点03 分式化简求值—整体代入 13．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则 ， ． 【答案】 0 【思路引导】本题考查了因式分解的应用、分式的值，解决本题的关键是将式子进行变形，利用整体代入思想解决问题． （1），我们通过对已知方程变形，构造出与所求分式相关的形式，再代入计算； （2），同样根据已知方程对所求代数式进行变形，然后整体代入求值． 【规范解答】解：因为， 若，代入方程可得：，等式不成立， 所以， 方程两边同时除以x，得： ， 移项可得：， ； 由得：， ， 故答案为：；． 14．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是通过分式的运算化简代数式，再代入已知条件求值． 先对括号内的分式进行通分相加，再将分子因式分解，通过约分简化代数式；最后将已知条件整体代入化简后的式子计算结果． 【规范解答】解：原式 ∵， ∴原式的值为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式的乘除混合运算、完全平方公式和平方差公式等，掌握相关公式与运算法则是解题的关键．由可得，，将原式进行化简代入即可求解． 【规范解答】解：由题意知， ， ，， 则原式 当，时，原式． 16．（21-22九年级下·浙江台州·期末）已知，则的值是 ． 【答案】2020 【思路引导】本题考查了分式的化简求值、因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先根据已知等式可得，，，再将变形为，化简代入求值即可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 17．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值以及完全平方公式的变形应用．熟练掌握分式的通分运算和完全平方公式的变形是解题的关键．本题可先对进行通分，再将与的值代入通分后的式子进行计算． 【规范解答】解：， 把，代入上式可得： 原式． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若满足方程，则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查一元二次方程的解和分式的化简求值，分析:由已知条件易得，，将原式变形并整理后再进行通分，然后等量代换后再约分即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴， ∴原式 ． 故答案为：2． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【规范解答】（1）解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． （2）解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． （3）解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 【考点剖析】本题考查的知识点是完全平方公式、分式的通分和约分、解二元一次方程组，解题关键是理解题意并能学以致用． 20．（24-25八年级下·广东深圳·期末）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． (1)小坪在第________步出错，错误原因是________． (2)请在下方写出正确解答过程． 【答案】(1)②，括号前面是负号，去括号时没改变符号 (2)见解析 【思路引导】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得出结论； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【规范解答】（1）解：小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时没改变符号； （2）解： ， ∵且x为整数， ∴，1，2， ∵， ∴， ∴当时，原式； 当时，原式． 考点04 分式化简求值—消元法化简 21．（20-21九年级下·河南开封·期末）先化简，再求值：，其中． 小明计算这一题的过程如下： 解： 第1步 第2步 第3步 第4步 第5步 当时，原式第6步 (1)以上计算步骤中，第　　　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　　　； (2)请直接写出该题的正确结果； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母 (2)， (3)见解析 【思路引导】本题考查了分式加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据分式的混合运算，逐步分析找出错误及错因； （2）根据分式的混合运算正确计算，化为最简，再代入求值； （3）根据分式的混合运算，写出注意事项，答案不唯一，合理即可． 【规范解答】（1）解：以上计算步骤中，第1步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母， 故答案为：1，通分时没有分母的项忘记乘以最简公分母； （2）解： 当时， 原式； （3）解：答案不唯一，如：注意分式中分母的取值范围，特别是除式中分子、分母都不能等于0；分式的混合运算中顺序类似于有理数混合运算，先计算乘方，再乘除，最后计算加减，有括号要先算括号里面的等等． 22．（2025·宁夏银川·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________． A．整式乘法B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________． （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 【答案】任务一：（1）B（2）二，分式的基本性质；（3）三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：，当时代数式值为1． 【思路引导】本题主要考查分式的化简求值，分式有意义的条件，分式的约分和解不等式组等，熟练掌握运算法则是解题关键． 任务一：（1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据通分及分式的基本性质即可求解； （3）根据去括号法则即可判断； 任务二：将原分式化简，然后解不等式组，再考虑分式有意义的条件，选取值代入求解即可； 【规范解答】任务一：填空： （1）第一步中，将转化为，这是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，属于因式分解， 故选：B． （2）第二步，是对两个分式进行通分． 通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．这里是给的分子分母同乘，使其分母和的分母相同，方便后续计算． 故答案为：二，分式的基本性质； （3）第三步开始出错． 第二步通分后得到， 同分母分式相减，分子相减应为，去括号后是，而原步骤中写成了，是去括号时符号处理错误． ∴此处错误，理由是括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二； 原式 ； 解不等式①． 解不等式②到． 所以不等式组的解集是． 因为原式分母不能为，即即，即，中且， 所以可以取． 当时，代入，得． 23．（24-25八年级下·河南南阳·期末）若a为负整数，且，则的值落在图中数轴上的部分可能为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】本题考查分式化简求值，数轴上的数的分布等．根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案． 【规范解答】解：∵， 为负整数，且，， ，即， ， 故选：C． 考点05 分式化简求值—定义新运算 24．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【思路引导】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【规范解答】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 25．（21-22八年级上·浙江台州·期末）我们知道引入负整数指数幂后，规定：，它将幂指数的取值范围推广到了全体整数．现记，其中表示当x取不同数时分式的值为，如：； (1)求值：______；______； (2)猜想：______，并说明理由； (3)计算：； (4)若，则的值是______．（用含k的式子表示，其中） 【答案】(1)；； (2)；理由见解析 (3) (4) 【思路引导】本题考查了分式的运算，负整数指数幂的应用以及代数式的变形与化简，同时还涉及到通过探究函数规律来进行求和计算，运用了整体代入等数学思想方法． （1）根据，代入具体值计算即可； （2）计算出，将和进行相加求解猜想即可； （3）利用（2）中得出的规律，对一系列函数值的和进行计算，发现规律，使用这个结论求解即可； （4）考查结合已知条件，可变形得到，对两个函数值的乘积进行化简求值求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， 当时，； 当时，， 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由此可得； （3）解：由（2）知，， ∵，，，， ∴， 该算式共有402项，可以配成201对，每对的和为1， ∴； （4）解：∵， ∴． ． 故答案为：． 26．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数． 【思路引导】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【规范解答】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ∵该式的值为整数， ∴，， 解得或或1或， 又，1，，， ∴， 即当时，该式的值为整数． 27．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是_________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②已知，则_________，_________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)如果，，请用含有a和b的式子表示． 【答案】(1)①“非和谐分式”；②3； (2)或或或 (3) 【思路引导】（1）①由，可知该分式不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，即可判断是“非和谐分式”； ②由，可得，，求出M、N即可； （2）由的值是整数，可得或或或，求出x的值即可； （3）由题分别得到，，两个式子消去可得，即可求． 本题考查分式的运算，根据所给的材料，能够将所给的分式进行拆解是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①，不是一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 分式是“非和谐分式”， 故答案为：“非和谐分式”； ②∵， ∴，， 解得，； 故答案为：3，； （2）解：， 分式的值是整数， ∴或或或， 解得或或或； （3）解：∵， ， ①， ∵， ∴②， 由得：， ∴． 28．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）对于正数x，规定：．例如：． (1)求值：______；=______；______． (2)猜想：______，并证明你的结论； (3)求：的值． 【答案】(1)，1，1 (2)1，证明见解析 (3)2024 【思路引导】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键． （1）分别算出，，，的值，再求和即可； （2）将代入所给式子，求和即可得出结论； （3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间项，最后再求和即可． 【规范解答】（1）解：；； ； ；； ； 故答案为：，1，1； （2）解：， 证明：， ； 故答案为：1； （3）解： ． 考点06 分式化简求值—材料阅读题 29．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，，，这样的分式就是假分式；，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式______，当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真 (2)，或或或 (3) 【思路引导】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． （1）根据定义即可求出答案； （2）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值； （3）根据定义进行化简即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得，分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：； 当的值为整数时，为整数，即为的整数倍， ∴当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 故答案为：，或或或； （3）解：． 30．（24-25八年级下·河南新乡·阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)已知，当，且时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小李和小刘的加油习惯不同，小李每次加200元的油（油箱未加满），而小刘每次都在油箱还剩的油时把油箱加满．现实情况中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为元/升，第二次油价为元/升． ①小李两次加油的平均油价为_______元/升；小刘两次加油的平均油价为_______元/升；（用含的式子表示，化为最简） ②请通过计算判断小李和小刘的两种加油方式中，哪种平均油价更低． 【答案】(1)> (2)，理由见解析 (3)①，；②小李加油方式平均油价更低 【思路引导】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先求出，再根据除法的计算法则即可求解； （2）化简，由且，可得，进而求解； （3）①根据：加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，列代数式即可；②用小李的平均油价减去小刘的平均油价，如果大于0则小刘的省钱，如果小于0则小李的省钱，等于0则费用一样； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：>； （2）解：，理由如下： ∵， ∴ ， ∵，且 ∴， ∴， ∴， 即； （3）①小李两次所加油的平均单价为： （元/升）； 设小刘每次加油量为V升． ∴小刘两次加油的平均单价为： （元/升）； 故答案为：，； ② ， ∵,,且， ∴， ∴， ∴， 即， 答：小李加油的平均单价低． 31．（24-25八年级下·全国·假期作业）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的．例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则 ，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）解：设， 则， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $