专题06 数列（讲义）-2026版浙江省（单考单招）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及浙江省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版浙江省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第5个专题，内容为数列。 2026版浙江省（对口招生）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 数列 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 （1）数列的概念：了解数列及有关概念；理解数列的通项公式。 （2）等差数列：了解等差数列的概念；了解等差数列前项和公式的推导过程；掌握等差数列的通项公式及前项和公式。 （3）等比数列：了解等比数列的概念；了解等比数列前项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前项和公式。 （4）数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 7 数列的递推公式 3 （1）题型：集中在选择题1题，填空题1题，解答题1题。 （2）分值：一般考查3题，2025年分值占19分。 （3）内容：数列的递推公式；等差、等比数列的定义及性质应用；数列的前n项和；数列的实际应用；数列的综合应用。 填空题 19 等差数列的简单计算 4 解答题 30 数列的综合应用 12 2024 选择题 9 等差数列的简单计算 2 填空题 25 数列的递推公式 4 解答题 34 数列的综合应用 12 2023 选择题 13 等差、等比数列的应用 3 填空题 21 数列的递推公式 4 解答题 35 数列的综合应用 10 2022 选择题 16 数列的递推公式 3 填空题 21 等差数列的简单计算 4 解答题 34 数列的综合应用 10 2021 选择题 13 等差、等比数列的中项 3 填空题 21 等差数列的前n项和计算 4 解答题 35 数列的综合应用 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年浙江省单独招生考试依然有5道题目考查三角函数，题型设置为单项选择题2题，填空题1题，解答题1题，共20分。 具体考点可能涉及如下内容： （1）数列的概念：理解数列的通项公式。 （2）等差数列：掌握等差数列的通项公式及前项和公式。 （3）等比数列：掌握等比数列的通项公式及前项和公式。 （4）数列求通项公式和求和的常见方法。 （5）数列的应用：初步掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法。 四、知识梳理 一、等差数列 1.等差数列的定义：或者 2.等差数列的通项公式 3.等差中项： 若成等差数列，则称是的等差中项，且有 4.等差数列前项和公式 5等差数列的简单性质：在等差数列中 二、等比数列 1.等比数列的定义：或者 2.等比数列的通项公式 3.等比中项 若成等比数列，则称是的等比中项，且有 4.等比数列的前项和公式 5.等比数列的简单性质：在等比数列中 三、求数列的通项公式 1.观察法（多用于选择题或者填空题，自己领悟！） 2.公式法 四、求数列前项和 1.常规的等差数列、等比数列求和，运用等差数列、等比数列前项和公式直接求解. 2.分组求和法—适用于类似的形式. 3.裂项求和法—适用于的形式. 4.错位相减法—适用于的形式. 五、10分钟小测验 1. 已知数列是等比数列，且，则公比（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知等比数列，其中，，则（    ） A． B． C．3 D．5 3. 已知数列满足，，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 4. 已知数列中，，，则（   ） A． B． C． D．2 5. 等比数列的首项是2，公比是3，那么该数列的第五项是（    ） A．162 B．486 C．729 D．2187 6．在数列中，若，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 1.B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知数列是等比数列， 由得，设公比为， 则，解得， 故选：B. 2.B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以， 又， 所以. 故选：B. 3.B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意，利用数列的递推式依次赋值即可得解. 【详解】依题意，由得，又， 所以，， ，. 故选：B. 4.A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由数列的递推公式依次列举即可得解. 【详解】因为数列中，，， 所以， ， ， . 故选：A. 5.A 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列的首项是2，公比是3， 那么该数列的第五项是， 故选：. 6．C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意求出的值即可得解. 【详解】由题意可知，；； ， 故选：. 六、经典例题解析 【考试题型1】等差数列的性质应用 【例1】在等差数列中，已知与是方程的两个根，则＝（    ） A．5 B．－5 C．10 D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据韦达定理得到，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为与是方程的两个根， 所以， 在等差数列中，， 则. 故选：A. 【考试题型2】等比数列的性质应用 【例2】已知数列为等比数列，且，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求值即可. 【详解】已知数列为等比数列， 由，得， 解得， 故选：A. 【例3】若是一个等比数列的连续三项，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】等比中项的应用 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【详解】因为若是一个等比数列的连续三项， 即，可化为， 解得或； 当时，第二项和第三项均为，不合题意； 当时，三项依次为，公比为，符合题意. 故选：A. 【考试题型3】等比数列的前n项和应用 【例4】设等比数列的前n项和为，公比，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据题意，结合等比数列前n项和的性质，即可求解. 【详解】因为等比数列的前n项和为，公比， 所以均不为0， 所以构成等比数列，公比为， 又，所以，即， 所以，即， 所以， 所以. 故选：A. 【考试题型4】等差数列的前n项和应用 【例5】已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．35 C．28 D．21 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及前n项和公式，求得，继而求得首项和公差，代入等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】因为等差数列的前n项和为，且，， 所以，解得， 所以公差，首项， 所以. 故选：A. 【考试题型5】数列的实际情境应用 【例6】基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2024年7月底，地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设.已知2024年8月该地区计划新建50个基站，以后每个月比上一个月多建40个，则地区到2025年12月底累计开通5G基站的个数为（    ） A．6590 B．5950 C．6290 D．5650 【答案】A 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】根据题意，先求得总共的月数，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为7月底是一个节点，从8月开始算第一个月， 所以2024年8月到2024年12月有个月， 而2025年1月到2025年12月有12个月， 所以总共的月数为个月， 因为2024年8月计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个， 所以从2024年8月起，每月新建基站个数构成首项，公差的等差数列， 故一共开通基站的个数为. 故选：A. 【例7】小王一次性支出万元购厂创业，同年另需投入经费万元，以后每年比上一年多投入万元，假设每年的销售收入都是万元，用表示前年的总利润．（注：前年的总收入前年的总支出购厂支出） (1)问：小王最短需要多长时间才能收回成本； (2)若干年后，为转型升级，进行二次创业．现有如下两种处理方案：方案一，年平均利润最大时，以万元出售该厂；方案二，纯利润总和最大时，以万元出售该厂．问，哪个方案更好？ 【答案】(1)年 (2)方案一更好 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式的实际应用、求等差数列前n项和 【分析】（1）由题意，利用等差数列求和公式表示出，再解不等式即可求解. （2）由题意，利用基本不等式及二次函数的最值求法分别计算出两种方案的最大利润，比较时间即可求解. 【详解】（1）由题意知，每年的经费构成以为首项，为公差的等差数列， 则， 收回成本就是要求，即， 解得，又，所以小王最少需要年收回成本. （2）方案一：年平均利润为， 当且仅当，即时等号成立．此方案获利（万元）； 方案二：， 当时（万元）， 总收益（万元）， 比较两种方案，获利一样多，但方案一用时少，所以方案一更好. 【考试题型6】数列的综合应用 【例8】如图，在平面网格中，是边长为1的正方形，是以为中心的九宫格，中与相邻且全等的正方形按逆时针方向依次记为，，，，，，，；是以为中心的九宫格，中与相邻且全等的正方形按逆时针方向依次记为，，，，，，，，，以此类推，得到一数列，记正方形的面积为.    (1)求，，的值； (2)记，求的前n项和； (3)记，求的前50项和. 【答案】(1)1；9；81 (2) (3) 【知识点】根据规律填写数列中的某项、等比数列的简单应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）由图直观看到正方形的面积，进而求解，，的值. （2）将数列从第1项起，每8项为一组，分析每一组对应正方形的边长，进而根据得到的通项，再结合等比数列的求和公式，即可求解. （3）枚举法将按4项分组，根据对应的面积得到的前项，结合等比数列的求和公式分组求解. 【详解】（1）因为正方形的面积为，是边长为1的正方形， 周围8个正方形（到）与全等，面积是， 周围8个正方形（到）与全等，的面积是， 周围8个正方形（到）与全等，的面积是， （2）因为数列从第1项起，每8项为一组， 每一组对应的正方形的边长依次为1，3，9，27，，， 又，即， 所以， 可知数列是首项为1，公比为9的等比数列， 所以. （3） 第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 第2行 第3行 第12行 第13行 第4列单独为一组相加，其余所有项相加，得 . 七、专题归纳小结 1. 依据中等职业学校数学课程标准和近5年浙江省高职考数学的命题特点和趋势，数列一直是考试的热点，考查知识点主要集中在数列的递推公式；等差、等比数列的定义及性质应用；数列的前n项和；数列的实际应用；数列的综合应用。其中数列的综合应用试题较灵活，难度较大，多倾向于对数列规律的分析和求和。 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $