专题十六 空间几何体-【一飞冲天·高考专项】2025年高考专题分类数学

高考分类数学 参考答案 专题十六 空间几何体 r天3r·(2R-5r)R=28r 3 1.C如图，将三棱锥补形成一个正方体，三棱锥的外接球与正 1 9 方体的外接球相同.：三棱锥的棱长均为46， V球 2 32 3 ∴.正方体的棱长是4√3， 4.B由题意，PC为外接球O的直径， 设球半径是R,.2R=√(43)2+(43)2+(4W3)2=12, 外接球球心O为PC中点， .R=6,球的表面积为4π×62=144π A 易得PC=√PA+AC=2√5， D .球O的半径为√5， d 表面积为S表=4π×（√5）2=20π 5.B,正方体的体积为8，.正方体棱长为2， “正方体的外接球的半径为=22+2+2-5。 2.C将棱长均为3√2的正四面体放入棱长为3的正方体，如图 所示， :该正方体的外接球的体积是号xX(5)产=4元 6.D.正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为√2， .正四棱柱体对角线的长为√个+1+2=2， 又，正四棱柱的各顶点在同一球面上， ∴.正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，球半径R=1, ∴该球的体积为V=专R= 3 ,球与正四面体各条棱都相切，该球是正方体的内切球， 7.DVs=号r2h=4x,即S#=4R2=4∴R=1, 3 由此可得该球的直径为3，半径r= 2 V4=R= ∴该球的表面积为S=4n=4红×(2)P=9 8.B,正方体ABCD-AB,C1D,的棱长为2， 3.B如图所示，设圆锥的底面圆圆心为点D,延长AD与球面 ∴.三棱锥A一BCD1是棱长为22的正三棱锥， 交于点B. ∴SAm,c=号×22X22Xsin60=25, D 设圆锥底面半径为r,母线为1，则πrl十πr=3πr2,得=2r, ∴.圆锥的高h=√一产=√5r 设D,在底面AB,C的投影为O,可得A0=号X 设球的半径为R,,△ADC∽△CDB, √(2√2)2-W2)°=26 3 ∴部品即CD=AD:BD,即7=A2R-0. D0=√(22)-26)=43 3 3 高考分类数学 参考答案 ∴三棱锥A-BCD,的体积V-号×2后×-号 12D:圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同 3 一个球的球面上， 六该圆柱底面圆周半径=√-（兮-号 21 B “该圆柱的体积V=S%=π×)X1=3红 ---“0 E C 13.D设球的半径为R,则球的体积V=专R=45x, 9.D,在三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC,将三棱锥补形 成直三棱柱PB,C一ABC,如图，三棱锥P一ABC的外接球 .R=3, 即为直三棱柱PB,C,一ABC的外接球，设△ABC所在截面 正三棱柱的高h=2R=23. 圆的半径为r,截面圆的圆心为O,由已知正△ABC边长为 设正三棱柱的底面边长为a, 3,易得r=5,设外接球半径为R,圆心为O,可得4xR :球的半径等于底面正三角形内切圆的半径， 3 ,解得R=2,则00=R-7=V2-3=1, 0 2a=5,∴a=6, PA=200=2,S%版=号x3x3_5. “底面正三角形的面积S=之：sm受-之×6·s血 3 2 4 V,--吉·S度·PA=号×x2-3g 9√5 2 ∴.正三棱柱的体积V=Sh=9√3×2√3=54. C 1.D:校长为a的正四面体的商A-:-(号×受a 01 3, r-0 则楼长为a的正四面体的体积V=名×。×。 10.B∠B=90°，AB=3,BC=4,以边BC所在直线为轴将 Rt△ABC旋转一周， ∴.形成图形为以AB为底面半径，BC为高的圆锥， “该截角四面体的体积V=气×6一4x 12 X2X2-462 3 ∴所围成的几何体的体积为了x×3×4=12x。 15.A将几何体补全为长方体，如图所示， 11.C,长方体ABCD一ABC,D,的底面积是面积为2的正 D 方形，该长方体的外接球体积为号，设长方体的外接球的 半径为R,则分R-号解得R=22牛士A=2 2 解得AM=25,S=5e=××2- 2 :三棱锥D-ACE的体积V=号×SE X DD=子× 则B,F=号B,C=1,BB,=VBF-BF=√2- =√3， 合×25-5 心该包装盒的容积为VD4鸟94一4Vg-4r=2X2X,- 高考分类数学 参考答案 4[号×(2×1×1)×v3]=4w5-25-105 3 3 则圆维的底面半径为一2号。 16.C如图，取线段CD中点E,连接BE, 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆 ,△BCD是边长为3的正三角形， 锥底面的半径三者构成一个直角三角形，如图， 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是√R一7=}R, 则圆锥体积较小者的高为R一专R=号R, 圆锥体积较大者的高为R+子R=专R。 又3 ×R4子×8X ×8R XR 8 4 hi 271 3 xR 4 27 则底面△BCD外接圆的半径为号BE=号×3×-， 2 又AB⊥平面BCD,AB=√5， :圆锥的体积与球的体积的比值为或 '.三棱锥的外接球的半径R满足 R=5)+停=只 41 ∴.该三棱锥的外接球的表面积为4πR=15π 17.B分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图 所示： 19,A圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的母线长为 3,侧面展开图的面积为3π， 正视图 俯视图 正视图中小球球心B,半球球心O与切点A构成直角三角 形，则有OA2+AB=OB2, 0 俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心 B 到小球球心的距离O,A,与正视图中的OA相等， 设半球半径为R,已知小球半径r=1, .OA=O1A1=√2，AB=1,OB=√3，R=OB+r=√3+1. 设圆锥底面半径为r, 容器的容积V=号×号R=号×号×5+1DP 则πr×3=3π，得r=1, ∴圆锥的高为h=√3-1下=2√2， 4(5+33)r(cm). 3 设圆锥外接球的半径为R, 18.D不妨设球的表面积为4πR2, 可得R2=(2√2-R)2+12, 由圆锥底面面积是这个球的表面积的号， 解得R=92 8 可得圆锥的底面面积为8R , 球0的表面积为5。=4R-4×()-8 高考分类数学 参考答案 20.D如图，：三棱锥S-ABC外接球的球心0在线段22.B由已知得圆锥的母线长1=√0.3+0.4=0.5(m), SA上， ∴.台灯表面积为S=πrl十2πr2=π×0.3×0.5+2π× 0.32=0.33π(m2), .需要涂胶的克数为0.33π×200=66π≈66×3.14= 207.24(g）≈207(g). 23.A设圆锥的底面半径为r,母线长为，圆锥的高为h,内切 球的半径为R,其轴截面如图所示，设O为内切球球心，连接 A OB. ∴.外接球半径R=OS=OA=OB=OC 又△ABC与△SBC均为面积是4√3的等边三角形， 设BC-a,则2a2×5=45得a=4, 2 即AB=BS=AC=SC=BC=4, BS=BA,且O为线段SA的中点， ,圆锥的侧面展开图是一个半圆， ∴.BOI SA. .πl=2πr,得l=2r,即PA=PB=2r=AB 在Rt△SOB中应用勾股定理得，SO十BO=BS2, 且SO=BO=R,BS=4, ∴△PAB为等边三角形， 又OD=OE=R,OD⊥DB,OE⊥EB, ∴.R=2√2 则V=音=亭X(2Ey=4 .∠OBD= 2∠DBE=30°， 3 21.B设球的半径为R, 尽=an30= 3, 由题意可得4xR2=21,即R=2 2 R 3 当球为正三棱柱的外接球时，正三棱柱的体积最大， ∴.圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为 如图，设正三棱柱ABC一A,B,C上下底面外接圆的圆心分 R9l=4字122=23 别为O,O2,则球心O为线段O1O2的中点， 24,B设外接球半径为R,球心为O,圆台较小底面圆的圆心为 O,则O+12=R2,而OO=√5一1+3-R. 故R2=1+(W5+2-R)→R=√5→S=4πR2=20π. 25.4n设球的半径为，？球的体积为3， 3 -32=2. 3 设正三棱柱的底面边长和侧棱长都为x, 设两个圆锥的高分别为h1,h2,于是有h1:h2=1:3, 由正弦定理可得：底面正三角形外接圆的半径为r=AO,= 且h1十h2=2r=4, ∴.h1=1,h2=3,设圆锥的底面半径为R, 2sin60-51 ∴.R2+(2-1)2=22→R=√5 由勾股定理可得：A0=O0+AO,即R2=(号)+（若）2， 3 因此这两个圆锥的体积之和为3x×W)×(1+3)=4 26.2:3设点D到底面ABC,A,B,C的距离分别是h1,h2, 三棱柱的高为H,则H=,十h, 可得x=3或x=一3（舍）， ·该零配件的最大体积为号×3× ×3=273 V2 -VD-ANC -VD-A B C V:-3SAun (h +h) 4 V2 V. 高考分类数学 参考答案 W3,即vy2:a V 2.?8%”该六面体是由两个全等的正四面体组合面成， 正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S-ABC 中，取BC中点D,连接SD,AD,过点S作SO⊥平面ABC, 垂足0在AD上，则AD=SD-号0D=号AD=9S0= VSD-0D-55aw=号×1×9-唱 2 41 六该六面体的体积V=2Vm=2X号×9×写-号， 4 36 若该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O,且 该球与SD相切，过球心O作OE⊥SD于点E,则OE就是 球半径，在△SOD中，有SO·OD=SD·OE, 球半径R=OE=SO·OD-6 SD 9 六该球体积的最大值为V。=音×x×()-8 4 0 729高考专题分类数学 专题十六 空间几何体 基础题 考点1球的表面积与体积 1.（2020·和平三模)三棱锥的棱长均为4√6，顶点在同一球面上，则该球的表面积为 A.36π B.72π C.144π D.288π 2.(2021·天津一中四月考)球与棱长为3√2的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为 A.6π B.18π C.9π D.10元 3.(2024·河西一模)已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积 之比是 A号 B是 c装 D③ 2 4.(2021·杨村一中热身)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为 A.12π B.20π C.24π D.32π 5.(2020·红桥二模)已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是 A.2√3π B.43元 C43 3π D.8√3π 6.(2022·和平期末)已知底面边长为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该 球的体积为 ( A要 B.4元 C.2π D 7.(2021·南开一模)已知一个圆锥的底面半径为2，高为3，其体积大小等于某球的表面积大小，则 此球的体积是 () A.4√5π B8 3π C.4π D.4 3 考点2其他几何体的表面积与体积 8.(2021·和平一模)已知正方体ABCD一A,B,C1D1的棱长为2，则三棱锥A一B,CD1的体积为 B.g C.4 D.6 一冲天之 9.(2021·天津一中五月考)已知三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC,△ABC是边长为3的等边 三角形，若此三校锥外接球的体积为号，那么三校锥P-ABC的体积为 ( A B. 4 c u要 10.(2020·部分一模)在△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,以边BC所在的直线为轴，将△ABC 旋转一周，形成的曲面所围成的几何体的体积为 A.36π B.12π C.36 D.12 11.(2020·南开二模)如图，长方体ABCD一AB,C,D1的底面是面积为2的正 方形，该长方体的外接球体积为号x,E为棱AB的中点，则三棱锥D,入ACE 的体积是 4.2② B.22 C E 3 D.1 3 12.(2020·红桥一模)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， 则该圆柱的体积为 () T○P A. B c D.3z 4 13.(2024·河北一模)一个体积为4Bπ的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有 面都相切，则此正三棱柱的体积为 A.18 B.27 C.36 D.54 14.(2023·河西一模)截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所 示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截 角四面体，则该截角四面体的体积为 ( A.6√2 B.202 3 C.162 D.462 3 15.(2023·滨海三模)某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装 盒如图所示：底面ABCD是边长为2的正方形，△EAB,△FBC,△GCD, H △HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直，则该包装盒 的容积为 A.103 B. 20 C.10√3 D.20 3 3 一冲天 提升题 16.(2021·耀华中学模拟)在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,△BCD是边长为3的正三角 形，AB=√3，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.24π B.21π C.15π D.6π 17.(2023·和平一模)某中学举行全校师生活动，有一个游戏项目是夹乒乓球.如图，四个半径都是 1cm的乒乓球放在一个半球面形状的容器中，每个小球的顶端恰好与容器的上沿处于同一水 平面，则这个容器的容积是 A.2(5+3/B)rcm B.4(5+33)x cm 3 3 C.2(5+3√/3)πcm D.8(5+3y3)rcm 39 18.(2022·河北一模)一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球的表 面积的比值为号，则这个圆锥的体积与球的体积的比值为 8 A.81 8 C奇 .8 4 B 27 D.27或27 19.(2021·南开中学模拟)已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧 面展开图的面积为3π，则球O的表面积等于 ( A.81π 81π C.121x 8 2 8 n 20.(2021·十二校二模)已知三棱锥S-ABC外接球的球心O在线段SA上，若△ABC与△SBC 均为面积是4√3的等边三角形，则三棱锥S一ABC外接球的体积为 ( A.82x B.162x C.322x D.64/2x 3 3 3 3 21.(2022·南开中学三月考)切割是焊接生产备料工序中的重要加工方法，各种金属和非金属切割 已经成为现代工业生产中的一道重要工序，被焊工件所需要的几何形状和尺寸，绝大多数是通 过切割来实现的，原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为21π的 专题十六空间儿何体 球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件，则该零配件 的最大体积为 A.6 22 C.63 D.93 4 22.(2023·天津一中四月考)如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一 个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m,底面直径和半球的直径都是 0.6,现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200g,则共需涂胶的克数为 (精确到个位数) ( A.176 B.207 C.239 D.270 23.(2022·耀华中学第二次模拟)一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积 和圆锥的侧面积的比为 ( ) A.2:3 B.3:2 C.1:2 D.3:4 24.(2022·塘沽一中模拟)已知一个粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆 台的较大底面圆重合，已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为5一1和3， 则此组合体的外接球的表面积是 () QA.16π元 B.20π C.24π D.28元 25.(2022~红桥二模)两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ③2红，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为 26.(2021·南开中学五月考)如图，在三棱柱ABC-AB,C1中，D是CC1上一点，设四棱锥 D-A,ABB的体积为V,三棱柱ABC-A,BC,的体积为V2,则V,：V2= 27.(2020·和平二模)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”， 古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗 人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起 来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ;若该六面体内有一 球，则侧该球体积的最大值为