6.3 反比例函数的应用教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学上册

初中数学北师大版（2012）九年级上册 3 反比例函数的应用 课标分析 根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课例重点培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力，体现了"数与代数"领域关于函数内容的要求。通过压强与受力面积、电压与电阻等实际问题，帮助学生理解反比例函数(k≠0)的概念和性质，发展数学建模思想。课标强调要让学生经历从实际问题抽象出函数关系的过程，掌握用函数图象分析问题的方法，如通过绘制的图象直观解释压强变化规律。同时，通过正比例函数与反比例函数图象的交点问题，培养学生数形结合思想，达到课标要求的"能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析"的目标。 教材分析 本节课通过实际问题引入反比例函数的应用，结合压强与面积的关系、电流与电阻的关系等情境，帮助学生理解反比例函数的模型特征及其在现实生活中的广泛应用。教学过程引导学生经历“建立模型—解决问题—图象分析—实际解释”的探究过程，发展数学建模与数形结合能力。本节内容承接反比例函数的概念与图象性质的学习，是对其知识的深化与拓展。本节课的作用在于帮助学生进一步理解反比例函数的本质特征，提升分析实际问题的能力，掌握利用函数图象直观解释问题的方法，为后续学习综合运用函数知识解决实际问题以及高中阶段的物理相关计算奠定基础。 学情分析 九年级学生已掌握反比例函数的定义、表达式及其图象特征，了解压强公式中压力与受力面积的关系，具备一定的函数建模和图象分析能力，同时这一阶段学生具备较强的直观感知能力和初步的逻辑推理能力，能结合实际问题进行简单数学建模，但对函数的实际应用及图象的动态变化理解仍需加强，本节课要求学生能从实际情境中建立反比例函数模型，理解变量之间的关系，利用函数表达式和图象解决实际问题，帮助学生深化对反比例函数本质的理解，提升数学建模、数形结合及分析问题的能力，进一步体会数学在生活中的应用价值。 教学目标 1. 理解反比例函数概念及其表达式，能根据实际问题写出形如的函数关系，判断是否为反比例函数，提升数学建模与符号意识，发展抽象思维能力。 2. 掌握利用反比例函数解决实际问题的方法，能代入数值求压强或面积，体会函数模型在解释物理现象中的应用，增强运算能力和应用意识。 3. 能画出反比例函数的图象并利用图象直观解释实际问题，理解图象与实际意义的对应关系，提升几何直观和数形结合能力。 4. 通过分析电流与电阻的反比例关系及两函数交点问题，理解反比例函数与正比例函数的综合应用，培养逻辑推理与数据分析素养。 重点难点 重点：能运用反比例函数解决实际问题，如压强、电流电阻等问题，会绘制反比例函数图象辅助解题。 难点：将实际问题转化为反比例函数模型，利用图象对问题作出直观解释。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了反比例函数的概念与表达式。请写出反比例函数的一般形式，并举例说明什么样的函数是反比例函数，巩固对概念的理解。 2.预习教材： 阅读教材中关于反比例函数应用的内容，了解利用反比例函数解决实际问题的方法。关注利用已知条件求函数表达式，以及结合函数性质解决问题的过程，记录重点与疑问。 3.问题思考： 在“烂泥湿地铺木板”问题中，压力一定，木板面积增大时，压强如何变化？结合反比例函数知识思考，压强与木板面积的关系能用反比例函数表示吗？课上交流想法。 课堂导入 同学们，我们先来看这样一个生活场景。在农村，人们挑水时，如果扁担比较窄，肩膀会感觉很疼，但要是在肩膀和扁担之间垫一块宽布，就会舒服很多，这是为什么呢？其实这背后蕴含着反比例函数的知识。当挑水的重力也就是对肩膀的压力一定时，扁担与肩膀的接触面积不同，产生的压强就不同。接触面积变化，压强也会跟着变化。就像之前学过的反比例函数，一个量变化，另一个相关量也会相应改变。那这里压强和面积具体有怎样的关系呢？这就是今天我们要学习的反比例函数的应用。 反比例函数的应用 探究新知 （一）知识精讲 我们先来观察一个实际问题：当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？根据压强公式，当压力一定时，压强与受力面积成反比关系。具体来说，当木板面积增大时，压强会减小；反之，当木板面积减小时，压强会增大。 对于压力合计600 N的情况，我们可以建立反比例函数关系。这个函数关系式清楚地表明压强是面积的反比例函数，因为与的乘积恒等于600。通过这个例子，我们可以理解反比例函数在实际生活中的应用。 为了更好地理解这个函数关系，我们可以计算几个具体数值： 1. 当时， Pa 2. 当要求 Pa时，解得 接下来，让我们在坐标系中画出这个反比例函数的图像：可以看到，反比例函数的图像是一条双曲线，它直观地展示了压强随面积变化的规律。 （二）师生互动 教师提问：同学们，在刚才的例子中，如果我们将压力增加到900 N，那么新的反比例函数表达式会是什么？压强和面积的变化关系会发生什么改变？ 学生回答：新的函数表达式应该是。这时压强和面积的反比例关系仍然成立，但压强值会整体增大。 教师追问：很好！那么如果保持压力600 N不变，但要求压强不超过3000 Pa，木板面积至少需要多大？这个结果与我们之前计算的结果有什么联系？ 学生思考后回答：根据，解得。这个结果正好是前面计算时的压强值，说明当面积增大到0.2m^2时，压强刚好降到3000 Pa。 （三）设计意图 通过实际问题的引入，帮助学生建立反比例函数的直观认识，理解数学概念在实际生活中的应用价值。通过具体计算和图像绘制，培养学生的数形结合能力和数学建模能力。师生互动环节的设计旨在引导学生深入思考函数参数变化对结果的影响，加深对反比例函数本质的理解，同时培养学生的逻辑推理能力和数学表达能力。整个探究过程体现了从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法。 新知应用 例1：某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地。当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么 (1)用含的代数式表示，是的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？ (4)在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象。 (5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流。 解答： 我们知道：压强 = 压力 ÷ 面积，即 其中， 是压力， 是木板面积（单位：）， 是压强（单位：Pa）。 (1) 将 代入公式得： 这个式子中， 与 的乘积恒等于600，且 （面积不能为0或负数）。 所以， 是 的反比例函数，因为它的形式是 （其中 是常数），符合反比例函数的定义。 (2) 当 时，代入公式： 所以，此时压强为 3000 帕斯卡。 (3) 要求压强不超过 6000 Pa，即 ，代入表达式： 两边同时乘以 （注意 ，不改变不等号方向）： 两边同时除以 6000： 所以，木板面积至少要 才能满足压强不超过 6000 Pa。 (4) 函数 的图象是一条位于第一象限的双曲线（因为 ）。 我们可以取几个点来描点作图： 0.1 6000 0.2 3000 0.3 2000 0.5 1200 1.0 600 在平面直角坐标系中，横轴表示 （面积），纵轴表示 （压强），连接这些点可得到一条下降的曲线，趋近于两坐标轴但永不相交。 (5) 利用图象解释： · 对于第(2)问：当 时，在横轴上找到 0.2，向上作垂线交图象于一点，再向左作水平线交纵轴于 3000，说明压强是 3000 Pa，与计算一致。 · 对于第(3)问：在纵轴上找到 6000，向右作水平线交图象于一点，对应横坐标为 0.1，说明当面积小于 0.1 时，压强会超过 6000 Pa；因此面积必须大于等于 0.1 才安全。 这说明：增大接触面积可以减小压强，所以科技小组铺木板是为了减小对湿地的压强，避免陷入泥中。 总结 1.题目考查内容 ① 反比例函数的实际背景与建模（物理中的压强公式）； ② 判断是否为反比例函数并说明理由； ③ 利用反比例函数求值、解不等式； ④ 画反比例函数的大致图象； ⑤ 结合图象对实际问题进行直观解释。 2.题目求解要点 ① 熟记压强公式 ，并能转化为函数关系； ② 明确反比例函数的形式特征：（）； ③ 解不等式时注意变量的实际意义（如 ）； ④ 作图时注意自变量取值范围（本题只取正数部分）； ⑤ 能结合图象“读数”并解释实际含义，体现数形结合思想。 教学反思 本节课围绕反比例函数的应用展开，通过实际问题引导学生理解压强与面积之间的反比例关系，并结合图像直观分析问题，完成从代数表达式到函数图像的多角度探究，同时拓展至电学中的反比例模型，体现数学建模思想。教学设计符合课标要求，注重知识应用与跨学科融合，学生参与度较高，能较好掌握反比例函数的基本应用。成功之处在于情境真实、问题层层递进，强化了函数模型思想；不足在于部分学生对图像解释(2)(3)问的对应点理解不够深入，小组交流中个别学生思维被动，今后需加强数形结合的专项训练与课堂引导，提升学生用函数观点解决实际问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $