课时分层作业29 指数函数的性质的应用（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二十九) A组　基础合格练 1．D　[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b．] 2．B　[∵函数y＝在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>．] 3．A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，故选A．] 4．A　[因为f (x)＝3x－，定义域为R，所以f (－x)＝3-x－＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数． 又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f (x)＝3x－在R上是增函数．] 5．C　[函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上是增函数，故当x＝1时，y最大值＝3．] 6．m<n　[∵a＝∈(0，1)，∴f (x)＝ax在R上是减函数，又f (m)>f (n)，∴m<n．] 7．(－1，0)∪(0，1)　[由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0，0<2-x<1， ∴－1<－2-x<0． ∴函数f (x)的值域为(－1，0)∪(0，1)．] 8．[0，＋∞)　[由于底数∈(0，1)，所以函数f (x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f (x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f (x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．] 9．解：(1)因为3>1， 所以指数函数y＝3x是增函数． 由3x≥30.5可得x≥0.5． 故x的取值范围为区间[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1， 所以指数函数y＝0.2x是减函数． 因为25＝＝0.2-2， 所以0.2x<0.2-2． 由此可得x>－2． 故x的取值范围为区间(－2，＋∞)． 10．解：(1)t＝3x，∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上是增函数，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为． (2)由f (x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9， 故当t＝1时，函数f (x)有最小值为3，当t＝9时，函数f (x)有最大值为67． B组　能力过关练 11．AB　[f (x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3-x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f (0)＝2， 得f (x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f (x)>1，则D错误．故选AB．] 12．BC　[∵f (－x)＝＝－f (x)，∴f (x)为奇函数． 又y＝πx在(0，＋∞)上单调递增，y＝π-x在(0，＋∞)上单调递减， ∴y＝πx－π-x在(0，＋∞)上单调递增，故f (x)在(0，＋∞)上单调递增．故选BC．] 13．　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立， 即a≥－在(－∞，1]上恒成立． 又y＝－在(－∞，1]上的最大值为－，∴a≥－．] 14．(0，1]　[由题意得，f (x)＝函数f (x)的图象如图所示，由图可知f (x)的值域为(0，1]． ] C组　拓广探索练 15．解：(1)证明：∵f (x)的定义域为R，设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝a－． ∵x1<x2， ∴<0，(1＋)(1＋)>0， ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)， ∴不论a为何实数，f (x)在R上为增函数． (2)存在．若f (x)在R上为奇函数， 则f (0)＝0，即a－＝0，解得a＝． (3)由(2)知，f (x)＝，由(1)知，f (x)为增函数，∴f (x)在区间[1，5]上的最小值为f (1)． ∵f (1)＝， ∴f (x)在区间[1，5]上的最小值为． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十九)　指数函数的性质的应用 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共105分 一、选择题 1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 2．若<，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　 B． C．(－∞，1) D． 3．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A． C．∪(1，＋∞) D． 4．已知函数f (x)＝3x－，则f (x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 5．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是(　　) A．6 B．1 C．3　　　　 D． 二、填空题 6．已知a＝，函数f (x)＝ax，若实数m，n满足f (m)>f (n)，则m，n的大小关系为________． 7．若函数f (x)＝则函数f (x)的值域是________． 8．函数f (x)＝的单调递增区间为________． 三、解答题 9．(源自苏教版教材)(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； (2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围． 10．已知f (x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]． (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f (x)的最大值与最小值． 11．(多选题)若f (x)＝3x＋1，则(　　) A．f (x)在[－1，1]上单调递增 B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称 C．f (x)的图象过点(0，1) D．f (x)的值域为[1，＋∞) 12．(多选题)关于函数f (x)＝的说法中，正确的是(　　) A．偶函数 B．奇函数 C．在(0，＋∞)上是增函数 D．在(0，＋∞)上是减函数 13．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________． 14．定义运算：ab＝则函数f (x)＝3－x3x的值域为________． 15．已知函数f (x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f (x)在R上为增函数； (2)是否存在实数a使f (x)为奇函数？证明你的结论； (3)在(2)的条件下，求f (x)在区间[1，5]上的最小值． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $