12 第2章 2.1.1 第2课时 不等式的性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（湘教版）

第2课时　不等式的性质 学习任务 核心素养 1．掌握不等式的基本性质．(重点) 2．运用不等式的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习不等式的性质，培养数学抽象素养． 2．借助不等式的性质解决相关问题，提升数学运算素养． 楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口的面积和为b，则楼房的采光率为(其中a>b>0)． 显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗口面积为m，其中m>0) 知识点　不等式的基本性质 性质1：(对称性)a>b⇔b<a． 性质2：(传递性)a>b，b>c⇒a>c． 性质3：(可加性)a>b⇒a＋c>b＋c． 推论1：a＋b>c⇒a>c－b． 推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． 性质4：(可乘性)a>b，c>0⇒ac>bc． a>b，c<0⇒ac<bc． 推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． 推论4：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 推论5：a＞b＞0⇒＞． 性质5：a>b且ab>0⇒<． a>b且ab<0⇒>． (1)在性质2中，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递； (2)在性质4中，要特别注意“乘数c”的符号； (3)在推论3中，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立． 1．若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ [提示]　a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立． 2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ [提示]　不一定．如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立． (　　) (2)同向不等式具有可加性和可乘性． (　　) (3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数． (　　) (4)当x>－3时，一定有<－． (　　) (5)若a>b，则<． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．若a>b，则下列各式正确的是(　　) A．a－2>b－2　　 B．2－a>2－b C．－2a>－2b D．a2>b2 A　[∵a>b，∴a－2>b－2，故选A．] 类型1　利用不等式性质判断命题真假 【例1】　对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　) A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞ C．若a＜b＜0，则＞ D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0 D　[法一：∵c2≥0， ∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题； 由a＞b＞0，有ab＞0⇒＞⇒＞， 故B为假命题； ⇒＞，故C为假命题； ⇒ab＜0． ∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题． 法二：特殊值排除法． 取c＝0，则ac2＝bc2，故A错误． 取a＝2，b＝1，则＝＝1，有＜，故B错误． 取a＝－2，b＝－1， 则＝＝2，有＜，故C错误．] 　利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． [跟进训练] 1．(多选题)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b|　　　 B．b<a C．a＋b<ab D．a2<b2 BCD　[∵<<0，∴b<a<0． ∴|b|>|a|，a＋b<ab，a2<b2． 故选BCD．] 类型2　利用不等式性质证明简单不等式 【例2】　【链接教材P37例3、例4】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞． [证明]　∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0． 又∵a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0． ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0． 两边同乘以， 得＜． 又e＜0，∴＞． [母题探究] 本例条件不变的情况下，求证：＞． [证明]　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0． ∵a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又∵e＜0， ∴＞． 【教材原题·P37例3、例4】 例3　已知a>b，c<d，求证：a－c>b－d． [证明]　因为c<d，所以－c>－d． 由a>b和推论2知，a－c>b－d． 例4　求证：如果a>b>0，且d>c>0，那么>． [证明]　由d>c>0和性质5，得>>0． 又由a>b>0和推论3，得>． 　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． [跟进训练] 2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc． [证明]　∵a>b，c>0，∴ac>bc． 又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc， ∴e－bc>f－ac，即f－ac<e－bc． 类型3　不等式性质的应用 【例3】　已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围． 结合字母a，b的组合形式，思考应用不等式基本性质的哪一条解决问题． [解]　因为1＜a＜4，2＜b＜8， 所以－8＜－b＜－2． 所以1－8＜a－b＜4－2， 即－7＜a－b＜2． 又因为2<b<8， 所以＜＜， 所以＜＜＝2，即＜＜2． 　求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确运用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除． [跟进训练] 3．已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围． (1)a＋b； (2)2a－3b． [解]　(1)－1<a＋b<5． (2)由－2<a≤3得－4<2a≤6，① 由1≤b<2得－6<－3b≤－3，② 由①＋②得，－10<2a－3b≤3． 1．(多选题)若a＞b，c＞d，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c C．a－c＞b－c D．a－c＜a－d [答案]　ACD 2．与a>b等价的不等式是(　　) A．|a|>|b| B．a2>b2 C．>1 D．a3>b3 D　[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b．再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D．] 3．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax B　[∵x<a<0，∴x2>a2．∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax．又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2．∴x2>ax>a2．故选B．] 4．设x>1，－1<y<0，则x，y，－y按从大到小的顺序排列为________． x>－y>y　[∵－1<y<0，∴0<－y<1， ∴x>－y>y．] 5．已知60<x<84，28<y<33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________． (27，56)　　[∵28<y<33， ∴－33<－y<－28． 又∵60<x<84，∴27<x－y<56． 由28<y<33，得<<，即<<3．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．等式的性质有哪些？ [提示]　(1)如果a＝b，那么b＝a． (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c． (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c． (4)如果a＝b，那么ac＝bc． (5)如果a＝b，c≠0，那么＝． 2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？ [提示]　不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘． 3．对不等式变形时，要注意什么？ [提示]　对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的． 课时分层作业(十一)　不等式的性质 一、选择题 1．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是(　　) A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b B　[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有a＞b＞0时才成立，否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B．] 2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．>⇒a>b C．⇒> ⇒> C　[当c＝0时，A错误；当c<0时，B错误；当a<0，b<0时，D错误，故选C．] 3．设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 D　[∵a＋|b|<0，∴|b|<－a，∴b<－a，∴a＋b<0．故选D．] 4．设a>1>b>－1，则下列不等式恒成立的是(　　) A．< > C．a2>2b D．a>b2 D　[A错误，例如a＝2，b＝－时，＝＝－2，此时，>；B错误，例如a＝2，b＝时，＝＝2，此时，<；C错误，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．] 5．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是(　　) A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 C　[∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0． 又1<a<3，∴－3<a－|b|<3，故选C．] 二、填空题 6．能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________． [答案]　1，－2(答案不唯一) 7．若8<x<10，2<y<4，则的取值范围是________． (2，5)　[∵2<y<4，∴<<． ∵8<x<10，∴2<<5．] 8．给出以下四个命题： ①a＞b⇒an＞bn(n∈N＋)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N＋)；③a＜b＜0⇒＞；④a＜b＜0⇒＞．其中真命题的序号是________． ②③　[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立； ③a＜b＜0，得＞成立； ④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．] 三、解答题 9．(源自北师大版教材)(1)已知a＞b，ab＞0，求证：＜； (2)已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d． [证明]　(1)因为ab＞0，所以＞0． 又因为a＞b，所以a·＞b·， 即＜． (2)因为c＜d，所以－c＞－d． 又因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)， 即a－c＞b－d． 10．已知3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围． (1)a；(2)a－b；(3)． [解]　(1)∵0＜b＜1， ∴－1＜－b＜0， ∵3＜a＋b＜4， ∴2＜a＋b＋(－b)＜4， 即2＜a＜4． (2)∵0＜b＜1， ∴－1＜－b＜0． 又∵2＜a＜4， ∴1＜a－b＜4． (3)∵0＜b＜1，∴＞1， 又∵2＜a＜4，∴＞2． 11．(多选题)若正实数x，y满足x>y，则下列结论中正确的是(　　) A．xy<y2 B．x2>y2 C．<(m>0) D．< BCD　[A中，由于x，y为正实数，且x>y，两边同乘y得xy>y2，故A选项错误； B中，由于x，y为正实数，且x>y，所以x2>y2，故B选项正确； C中，由于x，y为正实数，且x>y，m>0，所以y(x＋m)－x(y＋m)＝m(y－x)<0，则y(x＋m)<x(y＋m)，所以<成立，故C选项正确； D中，由于x，y为正实数，且x>y，所以x>x－y>0，取倒数得0<<，故D选项正确．] 12．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| C　[因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0，所以x＞0，又y＞z，所以xy＞xz，故选C．] 13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________． [3，8]　[∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， －2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴3≤z≤8．] 14．设a，b为正实数，有下列命题： ①若a2－b2＝1，则a－b<1； ②若＝1，则a－b<1； ③若||＝1，则|a－b|<1； ④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1． 其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)． ①④　[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0．若a－b≥1，则≥1⇒0＜a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立． 对于②，取特殊值，a＝3，b＝，则a－b>1． 对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1． 对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0， ∴a≠b，不妨设a>b>0． ∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0， ∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2． 即a3－b3>(a－b)3>0， ∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1， 即|a－b|<1．因此正确．] 15．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad．以其中两个作条件，余下一个为结论，能组成哪几个正确的不等式命题？ [解]　由②可知>0，∴>0，若③式成立，即bc>ad，则bc－ad>0，∴ab>0，故由②③⇒①正确； 由①ab>0得>0，不等式bc>ad两边同乘，得>，∴>，故由①③⇒②正确； 由②得>0，∴>0，若①成立，则bc>ad，故由①②⇒③正确． 综上可知，①③⇒②，①②⇒③，②③⇒①． 11/11 学科网（北京）股份有限公司 $