专题03 实数（期中复习讲义）（知识必备+18大核心题型+分层验收）八年级数学上学期新教材冀教版

专题03 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根 掌握算术平方根的概念，知道算术平方根的表示 一般出现在小题和计算题中 算术平方根的非负性 掌握算术平方根的非负性，能根据算术平方根的非负性求出取值范围 一般出现在小题中 立方根 掌握立方根的相关概念 一般出现在计算题中 平方根、立方根的实际应用 平方根、立方根的实际应用问题，要学会根据实际情况列出关系式 一般出现在应用题中，要注意结果符合实际情况 平方根、立方根的规律探究 掌握平方根、立方根的规律探究，能清楚分辨出两者的规律与区别 一般出现在大题中，属于较难题型 无理数 掌握无理数的相关概念 一般出现在小题中，题型不难 无理数的整数部分与小数部分 能根据无理数的概念找出无理数的整数部分和小数部分 一般出现在解答题中，难度中等，要注意小数部分的表示方法 实数 掌握实数的相关概念 一般出现在小题中，不难 实数的大小比较 掌握实数的大小比较方法 一般出现在小题中，运用实数的大小比较方法 近似数 掌握近似数的相关概念，了解准确数概念，熟练掌握精确度的概念 一般出现在小题中，要注意精确的数位 知识点01 平方根 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点02 算术平方根 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 知识点03 立方根 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点04 无理数 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 知识点05 实数 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 知识点06 比较实数的大小 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 知识点07 近似数 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 题型一 算术平方根、平方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 1．下面说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．若，则； C．是的算术平方根 D．没有平方根 2．下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在下列结论中，正确的是（    ） A． B．的算术平方根是 C．一定没有平方根 D．2的平方根是 4．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是 ． 5．现有几种说法： ①倒数等于本身的数是0，1， ②的平方根是 ③近似数1.80所表示的准确数a的范围是 ④算术平方根是他本身的数是0，1    ⑤   其中正确的说法有 ．（请填写序号） 题型二 求算术平方根 解｜题｜技｜巧 正数和零有算术平方根，负数没有算术平方根；一个数的算术平方根只有一个； 6．设则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．的算术平方根是 ． 9．a是的算术平方根，b是，那么 ． 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型三 利用算术平方根的非负性解题 解｜题｜技｜巧 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 11．若为实数，且，则的值是（    ） A．−1 B．2 C．1 D．9 12．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．无法确定 13．若，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 14．若，则 ， ， ． 15．已知：，求的值. 题型四 估计算术平方根的取值范围 解｜题｜技｜巧 估计算术平方根的取值范围，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定算术平方根的取值范围； 16．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 17．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 18．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 19．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 20．阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 题型五 与算数平方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 算术平方根的规律问题，主要理解原数和算术平方根中的数字倍数关系，一般满足： 21．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 22．按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 23．观察下列各式，，，则依次第四个式子是 ． 24．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 25．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 题型六 算术平方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 算术平方根的实际应用问题，要列出关系式，注意要符合实际情况； 26．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 27．海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 28．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 29．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 30．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 题型七 求平方根 解｜题｜技｜巧 记住一个正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根就是自己本身，负数没有平方根； 31．的平方根是（    ）． A．4 B． C．2 D． 32．若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 33．求下列各数的平方根： (1)144； (2)0.49； (3)0； (4)14； (5)； (6) 34．若，则a的值是 ． 35．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 题型八 解平方根方程 解｜题｜技｜巧 解平方根方程，要注意得到的结果有正负两个，互为相反数；如果是0的话，就只有一个结果了； 36．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 37．解方程 (1) (2) 38．解方程： 39．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 40．学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答 例如：求 分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于 解答：因为，所以这个数是，即 题目：求下列各式中x的值 (1) (2) 题型九 立方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 41．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 42．下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 43．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 44．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 45．下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 题型十 求立方根 解｜题｜技｜巧 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 46．下列说法不正确的是(    ) A． 的平方根是 B．是的一个平方根 C．的立方根是3 D． 47．已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 48．已知，则x的值为 ． 49．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 50．已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 题型十一 与立方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 立方根的规律问题，主要理解原数和立方根中的数字倍数关系，一般满足： 51．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 52．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 53．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 54．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 55．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 题型十二 立方根的实际应用 56．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 57．幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 58．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 59．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 60．如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型十三 无理数及其大小估算 61．把下列各数填入相应的集合内： ，0，，0.15，，，，，，3.1415926，0.1010010001…． (1)整数集合{                                             }； (2)分数集合{                                             }； (3)负数集合{                                             }； (4)有理数集合{                                           }； (5)无理数集合{                                           }． 62．下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 63．要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 64．大于小于的所有整数的和是 ． 65．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 题型十四 无理数整数部分的有关计算 解｜题｜技｜巧 无理数要先判断出在哪两个整数之间，然后整数部分就是较小的那个整数，小数部分就是原数-整数； 66．已知的算术平方根是3，是的整数部分，求的平方根． 67．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 68．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 69．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 70．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 题型十五 实数的相关概念 71．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 72．已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 73．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 74．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 75．把下列各数填在相应的横线上． 1.6，2021，，，，，0，38，，1.3030030003…（每相邻两个3之间的0的个数依次加1） (1)整数： ． (2)分数： ． (3)无理数： ． 题型十六 实数与数轴 76．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 77．把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A． B． C． D． 78．如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 79．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 80．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值． (2)求的值． 题型十七 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； 2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3、法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； 4、作差比较法：当时，；当时，；当时，. 5、作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 6、倒数比较法：a、b为正数，若，则； 7、平方比较法：a、b为正数，若，则. 81．实数，，，1在数轴上对应的点距离原点最远的是（    ） A． B． C． D．1 82．比较大小： ． 83．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为，张衡将圆周率取值为，比较大小： （填“”“”或“”）． 84．通过估算，比较两个数的大小． (1)和； (2)和． 85．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 题型十八 近似数 解｜题｜技｜巧 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 86．下列说法正确的是（   ） A．近似数1.7与1.70表示的意义相同 B．0.30万精确到百分位 C．0.000668用科学记数法表示并保留两个有效数字得 D．49554精确到万位是49000 87．下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 88．近似数精确到 位． 89．用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到个位） ； （2）（精确到十分位） ； （3）（精确到） ． 90．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）． (2)0.1395（精确到0.001）． (3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）． (4)（精确到百位，并用科学记数法表示）． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北衡水·期中）在哪两个整数之间（    ） A．2，3 B．1，2 C．3，4 D．0，1 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）在下列各数 ，3.1415926，0.23，， ，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，则的平方根是（   ） A． B．1 C．2025 D． 5．（24-25八年级上·河北衡水·期中）若，则 ． 6．根据你发现的规律填空：若，则 ． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）正整数、分别满足、，则 ． 8．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 9．解方程：． 10．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北衡水·期中）下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河北承德·期末）若，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·河南周口·期末）对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 14．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）的平方根是 ． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 17．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知，则的近似值是 （精确到）． 18．（24-25七年级下·北京丰台·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 19．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 20．（24-25八年级上·河北承德·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 22．（24-25七年级下·北京·期末）如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 23．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 24．观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 25．（24-25八年级上·河北保定·期中）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 26．（24-25八年级上·河北承德·期中）已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 27．已知，则的值是 ． 28．观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 29．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 30．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： (1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）； (2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平方根 掌握算术平方根的概念，知道算术平方根的表示 一般出现在小题和计算题中 算术平方根的非负性 掌握算术平方根的非负性，能根据算术平方根的非负性求出取值范围 一般出现在小题中 立方根 掌握立方根的相关概念 一般出现在计算题中 平方根、立方根的实际应用 平方根、立方根的实际应用问题，要学会根据实际情况列出关系式 一般出现在应用题中，要注意结果符合实际情况 平方根、立方根的规律探究 掌握平方根、立方根的规律探究，能清楚分辨出两者的规律与区别 一般出现在大题中，属于较难题型 无理数 掌握无理数的相关概念 一般出现在小题中，题型不难 无理数的整数部分与小数部分 能根据无理数的概念找出无理数的整数部分和小数部分 一般出现在解答题中，难度中等，要注意小数部分的表示方法 实数 掌握实数的相关概念 一般出现在小题中，不难 实数的大小比较 掌握实数的大小比较方法 一般出现在小题中，运用实数的大小比较方法 近似数 掌握近似数的相关概念，了解准确数概念，熟练掌握精确度的概念 一般出现在小题中，要注意精确的数位 知识点01 平方根 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 知识点02 算术平方根 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 知识点03 立方根 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 开立方 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 知识点04 无理数 无理数 1.无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2.常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 知识点05 实数 实数及分类 1.有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 实数与数轴上点的关系 1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 知识点06 比较实数的大小 比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3.比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 知识点07 近似数 近似数 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.常见的近似数 （1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等； （2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果； （3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等； （4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁. 近似数的精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度； 2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位. 3.其他近似数的取法 （1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16； （2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆. 题型一 算术平方根、平方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 1．下面说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．若，则； C．是的算术平方根 D．没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根，算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：A、负数没有平方根，故选项错误，不符合题意； B、若，则，故选项错误，不符合题意； C、，是的算术平方根，故选项正确，符合题意； D、的平方根是，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列说法正确的有（  ） ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根概念的运用．如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断． 【详解】解：根据平方根概念可知：①负数没有算术平方根，故错误； ②反例：0的算术平方根是0，故错误； ③当时，的算术平方根是，故错误； ④的算术平方根是4，故错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故正确． 所以正确的有⑤，共1个． 故选：A． 3．在下列结论中，正确的是（    ） A． B．的算术平方根是 C．一定没有平方根 D．2的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的相关知识，解题的关键是准确理解和掌握平方根、算术平方根的定义及性质． 根据平方根、算术平方根的定义，逐一分析每个选项． 【详解】解：A、根据算术平方根的定义，（为任意实数），所以，算术平方根是一个非负数，不是，A选项错误； B、的算术平方根是，因为当时，的算术平方根是；当时，是，统一表示为，不是，B选项错误； C、当时，的平方根是0，所以说一定没有平方根是错误的，C选项错误； D、如果，那么叫做的平方根，因为，所以2的平方根是，D选项正确． 故选：D． 4．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键． 根据平方根的性质列方程求解即可． 【详解】∵一个正数的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 5．现有几种说法： ①倒数等于本身的数是0，1， ②的平方根是 ③近似数1.80所表示的准确数a的范围是 ④算术平方根是他本身的数是0，1    ⑤   其中正确的说法有 ．（请填写序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查的是倒数的定义、求一个数的算术平方根、平方根和根据近似数求准确数的取值范围，掌握倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法是解决此题的关键．根据倒数的定义、算术平方根的定义、平方根的定义和四舍五入法逐一判断即可． 【详解】解：①倒数等于本身的数是1，，故错误； ②的平方根是，故错误； ③近似数1.80所表示的准确数a的范围是，故正确； ④算术平方根是它本身的数是0，1，故正确； ⑤，故错误， 综上：正确的说法有：③④． 故答案为：③④． 题型二 求算术平方根 解｜题｜技｜巧 正数和零有算术平方根，负数没有算术平方根；一个数的算术平方根只有一个； 6．设则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的正平方根成为解题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选D． 7．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查算术平方根，负数没有算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 根据算术平方根的性质进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：A．3，此选项错误，不符合题意； B．没有意义，此选项不符合题意； C．，此选项不符合题意； D．，此选项符合题意； 故选：D． 8．的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 9．a是的算术平方根，b是，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、求代数式的值，先根据算术平方根计算出，，再代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a是的算术平方根，b是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的定义求解即可； （2）先算算术平方根，再取其相反数，求解即可； （3）根据性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 题型三 利用算术平方根的非负性解题 解｜题｜技｜巧 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 11．若为实数，且，则的值是（    ） A．−1 B．2 C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查平方与算术平方根的非负性，求代数式的值．根据平方和算术平方根的非负性求出m，n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 12．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根有意义的条件，解决此题的关键是掌握算术平方根的基本性质：有意义，则．根据算术平方根有意义的条件得出，求出的值，从而得出的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 13．若，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和完全平方公式因式分解，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 14．若，则 ， ， ． 【答案】 2 0 1 【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．熟练掌握非负数的和为零，每一个非负数均为零是解题的关键． 根据非负性的和为零，每一个非负数均为零，求出的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，，； 故答案为：2；0；1． 15．已知：，求的值. 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，绝对值的化简，根据算术平方根的双重非负性求得的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案．结合已知条件求得的取值范围是解题的关键． 【详解】解：实数满足， ， ， ， 原式化为， 整理得：， 两边同时平方得：， 则． 题型四 估计算术平方根的取值范围 解｜题｜技｜巧 估计算术平方根的取值范围，可以先将原数平方，然后看看这个平方的数字在哪两个平方数之间，就可以确定算术平方根的取值范围； 16．估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 17．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 18．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 【答案】18（答案不唯一） 【分析】由可得，再确定整数即可． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键． 19．根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 20．阅读与思考 下面是某同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 探索141的算术平方根的近似值思考：表示4的算术平方根，其值为2．同样地，表示36的算术平方根，其值为6，则141的算术平方根是多少呢？ 问题解决：141的算术平方根为，可以将其转化为正方形的边长求解． ，． 设，则． ，（依据）， ，即．画出如图1所示的示意图， 可得图中正方形的面积． ，． 当时，可忽略，得，得到， 即． 任务： (1)材料中的依据是______（填“A”或“B”），材料中的解题过程主要体现的思想是______（填“C”或“D”）． A． 不等式的性质1    B． 不等式的性质2 C． 分类讨论思想    D． 数形结合思想 (2)仿照上述方法，在图2中补全探究近似值的相关数据． (3)的近似值为______．（保留一位小数） 【答案】(1)A，D (2)图见解析 (3)15.8 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根的实际应用： （1）根据不等式的性质和数形结合的思想，进行判断即可； （2）类比题干给定的方法，估算出，设，补全图形即可； （3）利用题干中的方法，结合（2）中的图形，进行求解即可． 【详解】（1）材料中的依据是不等式的性质1，解题过程体现了数形结合的思想， 故选A，D； （2）∵， ∴， 设， 补全图形如图： （3）由（2）可知：图中正方形的面积． ， ． 当时，可忽略，得，得到， 即． 题型五 与算数平方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 算术平方根的规律问题，主要理解原数和算术平方根中的数字倍数关系，一般满足： 21．已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 22．按一定规律排列的单项式：．第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是与单项式相关的规律探究，算术平方根的含义，观察单项式的结构，每个单项式由整数部分和含根号的部分组成，整数部分为项数n，根号部分符号交替变化，系数为，a的指数为n，通过分析符号规律，确定符号由调整，并验证各选项得出答案. 【详解】解：整数部分：第n项的整数部分为n，如第1项为1，第2项为2，依此类推； 符号规律：符号交替变化，奇数项为，偶数项为， 用表示符号，当n为奇数时，，当n为偶数时，， 根号与指数：根号内的数为n，a的指数为n，即， ∴第个单项式是； 故选：D 23．观察下列各式，，，则依次第四个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，解题的关键是得到数字的一般规律；由，，，……；可知第n个式子是，然后当时即可求得第四个式子． 【详解】解：∵，，，……； ∴第n个式子是， ∴当时，第四个式子是； 故答案为． 24．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 25．先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 题型六 算术平方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 算术平方根的实际应用问题，要列出关系式，注意要符合实际情况； 26．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是； （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得， 答：该大正方形的边长是． 27．海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 直接根据已知数据代入，化简得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 则． 答：其行进的速度为． 28．【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 29．在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为17； (2)x的值为． 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解：， 则阴影部分的面积为17； （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去） ∴阴影部分的边长为． 30．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【答案】(1)160米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 题型七 求平方根 解｜题｜技｜巧 记住一个正数的平方根有两个，互为相反数，0的平方根就是自己本身，负数没有平方根； 31．的平方根是（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．注意，求的平方根实际上就是求4的平方根，据此求得答案． 【详解】解：，4的平方根是， 那么的平方根是； 故选：D． 32．若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求出n的值，进而求出m的值即可； （2）求出的值，进而根据平方根的定义作答即可． 【详解】（1）由题意可得，， 解得， 所以， 则； （2） 则的平方根为． 33．求下列各数的平方根： (1)144； (2)0.49； (3)0； (4)14； (5)； (6) 【答案】(1)144的平方根为． (2)0.49的平方根为． (3)0的平方根为0． (4)14的平方根为． (5)的平方根为． (6)的平方根为． 【分析】本题考查求一个数的平方根，负指数幂，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键： （1）直接根据平方根的定义进行求解即可； （2）直接根据平方根的定义进行求解即可； （3）直接根据平方根的定义进行求解即可； （4）直接根据平方根的定义进行求解即可； （5）直接根据平方根的定义进行求解即可； （6）先进行负整数指数幂的法则进行计算，再根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：144的平方根为． （2）解：0.49的平方根为． （3）解：0的平方根为0． （4）解：14的平方根为． （5）解：的平方根为． （6）解：∵ ∴的平方根为． 34．若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 35．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 题型八 解平方根方程 解｜题｜技｜巧 解平方根方程，要注意得到的结果有正负两个，互为相反数；如果是0的话，就只有一个结果了； 36．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． （1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可； （2）运用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， 解得：或． 37．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，掌握平方根的性质为解题的关键． （1）直接利用平方根的性质解方程即可； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即或4． 38．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．利用平方根的性质求解方程即可． 【详解】解： ∴或． 39．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或． 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． （1）整理后，再根据平方根的概念求解； （2）根据平方根的概念求解即可； （3）两边平方，再检验即可求解； （4）先移项，再根据平方根的概念求解． 【详解】（1）解：， 整理得， 解得； （2）解：， 开方得， 解得或； （3）解：， 两边平方得， 解得， 经检验是原方程的解； （4）解：， 整理得， 开方得， 解得或． 40．学习完平方根之后，我们可以解一些简单的二次方程．以下是自信同学给出的解法示范，请你类比思路完成另外两题的解答 例如：求 分析：要求，也就是找出一个数，使得它的平方等于 解答：因为，所以这个数是，即 题目：求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根，利用平方根解方程，掌握类比思路是解题的关键． （1）根据类比思路，即可解答； （2）根据类比思路，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴这个数是， 即． （2）由得 ∵， ∴这个数是， 即． 题型九 立方根的概念理解 解｜题｜技｜巧 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 41．下列说法正确的是（   ） A． B．任何数都有算术平方根 C．立方根等于本身的数只有 D．的立方根是 【答案】A 【分析】本题主要考查立方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据立方根和平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B.负数没有算术平方根，故本选项不符合题意； C.立方根等于本身的数有、、，故本选项不符合题意； D.的立方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 42．下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据负数的立方根是负数，正数的立方根是正数进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项运算正确，不符合题意； B、，故该选项运算正确，不符合题意； C、，故该选项运算正确，不符合题意； D、，故该选项运算错误，符合题意； 故选：D 43．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念理解，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据立方根和平方根的概念求解即可． 【详解】解：A、27的立方根是，原说法错误，不符合题意； B、有立方根，且为，原说法错误，不符合题意； C、立方根是它本身的数是，原说法错误，不符合题意； D、平方根是它本身的数是0，正确，符合题意， 故选：D． 44．下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义． 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意； B．是的立方根，正确，不符合题意； C．，8的立方根是2，正确，不符合题意； D．125的立方根是5，故D错误，符合题意， 故选：D． 45．下列说法正确的是（   ） A．因为，以是125的立方根 B．因为的立方是，所以的立方根是 C．因为，所以的立方根是2 D．没有立方根 【答案】B 【分析】本题考查了对立方根定义的应用，根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是解答即可． 【详解】解：A. 因为，以是125的立方根，原说法错误； B. 因为的立方是，所以的立方根是，说法正确； C. 因为，所以的立方根是，原说法错误； D. 有立方根，原说法错误； 故选：B． 题型十 求立方根 解｜题｜技｜巧 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 46．下列说法不正确的是(    ) A． 的平方根是 B．是的一个平方根 C．的立方根是3 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根及立方根的定义是解题的关键． 根据平方根及立方根的定义进行计算判断即可． 【详解】解：A. 的平方根是，故该选项正确，不符合题意；     B. 是的一个平方根，故该选项正确，不符合题意；     C. 的立方根是，不是3，故该选项不正确，符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意；     故选：C． 47．已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义及性质，由，通过立方根的定义及性质求出满足条件的最小正整数即可，掌握知识的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数是， 故选：． 48．已知，则x的值为 ． 【答案】0或1或2 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 49．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算． （1）运用平方根知识列出方程并求解； （2）将该方程变形后，运用立方根知识进行求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， ∴； （2）解：由（1）所求， ∴关于x的方程为， 移项，得， 化系数为1，得， 开立方，得． 50．已知的平方根为，的立方根为2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了已知立方根求这个数，已知平方根求这个数，求立方根，依题意，列式，，解得，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的平方根为 ∴， 解得：， ∵的立方根为2 ∴， 解得：， ∴． 题型十一 与立方根有关的规律探索题 解｜题｜技｜巧 立方根的规律问题，主要理解原数和立方根中的数字倍数关系，一般满足： 51．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 52．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 53．（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 54．求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 55．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： 1 100 10000 1 100 (1)表格中__________；__________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则__________； ②已知，若，则__________； (3)拓展： ①已知，若，用含的代数式表示．则__________； ②已知，则__________； ③已知，若，则__________． 【答案】(1)， (2)①；②32400 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案； （3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案； ②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案； ③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ． 故答案为：，． （2）①解：， ， 故答案为：． ②解：， ， ， 故答案为：． （3）①解：， ， ， ， ， 故答案为：． ②解：， ， 故答案为：． ③， ， ， 故答案为：． 题型十二 立方根的实际应用 56．如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 57．幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式． 【详解】解：设底面半径是，则高为 根据题意，得． 解得． 答：底面半径是． 58．小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 59．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 60．如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 题型十三 无理数及其大小估算 61．把下列各数填入相应的集合内： ，0，，0.15，，，，，，3.1415926，0.1010010001…． (1)整数集合{                                             }； (2)分数集合{                                             }； (3)负数集合{                                             }； (4)有理数集合{                                           }； (5)无理数集合{                                           }． 【答案】(1)0，， (2)，，0.15，3.1415926 (3)， (4)，0，，0.15，，，3.1415926 (5)，，，0.1010010001… 【分析】此题考查了算术立方根和平方根，实数的分类，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先计算算术立方根和平方根，然后根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）根据负数的定义求解即可； （4）根据有理数的定义求解即可； （5）根据无理数的定义求解即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合{0，，}； （2）解：分数集合{，，0.15，3.1415926}； （3）解：负数集合{，}； （4）解：有理数集合{，0，，0.15，，，3.1415926}； （5）解：无理数集合{，，，0.1010010001…}． 62．下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D． 63．要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及立方根、算术平方根，熟练掌握无理数的估算及立方根、算术平方根是解题的关键． 根据与比较接近，与比较接近，而，从而以为中间数即可比较大小． 【详解】解：∵，即：， ，即：， ∴， 故答案为：． 64．大于小于的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算． 分别估算出和在哪两个整数之间，进而作答即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴大于小于的整数有， 和为， 故答案为：． 65．“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十四 无理数整数部分的有关计算 解｜题｜技｜巧 无理数要先判断出在哪两个整数之间，然后整数部分就是较小的那个整数，小数部分就是原数-整数； 66．已知的算术平方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、无理数的估算等知识． 先运用算术平方根和的估算确定的值，然后代入代数式，再运用平方根知识即可求解． 【详解】解：∵的算术平方根是3，是的整数部分， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是． 67．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 68．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． (1)的整数部分为___________，小数部分为___________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）先判断的区间，进一步估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为4，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【详解】（1）， 即， 的整数部分为4， 的小数部分为． （2）由题意得， ， ，． 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 69．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 70．【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 题型十五 实数的相关概念 71．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 72．已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 73．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 74．在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意 0 是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、 0 和负整数，有理数是正有理数、 0 和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，0，，21，，，（每两个1之间0的个数逐次增加1）中， 正数有（每两个 1 之间的0的个数逐次增加1 ），有6个，则； 非负整数有 0，21 ，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则， 故答案为：1． 75．把下列各数填在相应的横线上． 1.6，2021，，，，，0，38，，1.3030030003…（每相邻两个3之间的0的个数依次加1） (1)整数： ． (2)分数： ． (3)无理数： ． 【答案】(1) (2)1.6，， (3)，，1.3030030003…（每相邻两个3之间的0的个数依次加1） 【分析】本题考查了实数的分类，无理数的概念，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再观察题干的各个数，结合整数的概念，即可作答． （2）观察题干的各个数，结合分数的概念，即可作答． （3）观察题干的各个数，结合无理数的概念，即可作答． 【详解】（1）解：， 整数：； （2）解：分数：1.6，，； （3）解：无理数：，，1.3030030003…（每相邻两个3之间的0的个数依次加1） 题型十六 实数与数轴 76．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的估算．利用实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的定义求解即可． 【详解】解：根据数轴图可以发现点的整数部分是1， ∴只有选项C符合题意． 故选：C． 77．把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵；，即；；； ∴在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故选：C； 78．如图，为原点，，，以点圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，利用数形结合的思想解答，根据圆的性质即可得，进而求出的值． 【详解】解：∵以点为圆心，为半径画弧， ∴， ∵，， ∴， ∵交数轴负半轴于点， ∴点表示的数是， 故答案为：． 79．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，实数与数轴． 由正方形的面积，结合已知可得，根据点和点的位置关系，即可得点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，点在数轴上，且在点的右侧， ∴点所表示的数为． 故答案为：． 80．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）把的值代入代数式，再根据绝对值的性质化简即可； 本题考查了实数与数轴，代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬行个单位长度到达点， ∴点所表示的数比点表示的数大， ∵点表示，点表示的数为， ∴； （2）解：∵， ∴原式 ． 题型十七 实数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； 2、数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； 3、法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； 4、作差比较法：当时，；当时，；当时，. 5、作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 6、倒数比较法：a、b为正数，若，则； 7、平方比较法：a、b为正数，若，则. 81．实数，，，1在数轴上对应的点距离原点最远的是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，实数的比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．一个数的绝对值是这个数到原点的距离，求出每个数的绝对值比较大小即可解答． 【详解】解：，，，， ， ∴在数轴上对应的点距离原点最远． 故选：C． 82．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通常用求差法比较两个无理数的大小，根据，可知． 【详解】解： ． 故答案为： ． 83．我国古代数学家祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为，张衡将圆周率取值为，比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】分别计算和的近似值，再比较大小．本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的近似值计算是解题的关键． 【详解】解：，，因为， 所以． 故答案为：． 84．通过估算，比较两个数的大小． (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握比较无理数的大小的方法是解题的关键， （1）根据 ，即可判断和的大小； （2）先估算的范围，再判断和的大小，进而得到答案． 【详解】（1）解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴． 85．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法可得，据此可得的整数部分是5，则可推出，的整数部分是1，由此可得答案； （2）求出，再仿照题意可证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是5，的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十八 近似数 解｜题｜技｜巧 1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值. 2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数. 3.一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 86．下列说法正确的是（   ） A．近似数1.7与1.70表示的意义相同 B．0.30万精确到百分位 C．0.000668用科学记数法表示并保留两个有效数字得 D．49554精确到万位是49000 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度的求法及科学记数法，解题的关键是明确数的精确度的求法．根据近似数的精确度的求法，即可求解． 【详解】解：A、近似数1.7精确到十分位，1.70精确到百分位，所以近似数1.7与1.70表示的意义不同，A选项错误，不符合题意； B、0.30万精确到百位，B选项错误，不符合题意； C、0.000668用科学记数法表示并保留两个有效数字得，C选项正确，符合题意； D、49554精确到万位是50000，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 87．下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数的精确度概念，熟记概念是解题的关键．近似数的精确度由其最后一位有效数字所在的数位决定，有效数字就是从数的左边第一个不为零的数起，后面的所有数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：A．300万精确到万位，3百万精确到百万位，300万与3百万精确度不同，故A不符合题意； B．精确到百位，万精确到百位，与万精确度相同，故B符合题意； C．精确到十位，3450精确到个位，与3450精确度不同，故C不符合题意； D．精确到千分位，精确到百分位，与精确度不同，故D不符合题意． 故选：B． 88．近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数精确到千位． 故答案为：千． 89．用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到个位） ； （2）（精确到十分位） ； （3）（精确到） ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到十分位，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】解：（1）（精确到个位）； 故答案为：0； （2）（精确到十分位）； 故答案为：； （3）（精确到）； 故答案为：． 90．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）． (2)0.1395（精确到0.001）． (3)123410000（精确到十万位，并用科学记数法表示）． (4)（精确到百位，并用科学记数法表示）． 【答案】(1)2.72 (2) (3) (4) 【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答． （1）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位； （2）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到； （3）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到十万位，并用科学记数法表示； （4）根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百位，并用科学记数法表示． 【详解】（1）解：． （2）． （3）． （4）． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北衡水·期中）在哪两个整数之间（    ） A．2，3 B．1，2 C．3，4 D．0，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 用无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴，即在1和2之间． 故选B． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）在下列各数 ，3.1415926，0.23，， ，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的概念，解题的关键是熟练掌握无理数的概念．无理数：无限不循环小数．根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：，，0.2020020002……（每两个2之间依次多1个0）是无理数，其它是有理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，则的平方根是（   ） A． B．1 C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根，通过变量替换简化方程，求出中间变量后求解平方根． 【详解】解：设，则，．代入原方程得： 展开并整理： 解得，即，故． 当时，； 当时，实数范围内无平方根． 因此，的平方根为， 故选A． 5．（24-25八年级上·河北衡水·期中）若，则 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义直接开平方得，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 或． 故答案为：7或． 6．根据你发现的规律填空：若，则 ． 【答案】7.696 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：若， 则， 故答案为：7.696． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）正整数、分别满足、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 【详解】解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 【答案】4或5 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 9．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解方程即可得解，熟练掌握平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 10．（1）观察发现：表格中___________，___________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向___________移动___________位； … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】（1）0.1；10（2）右；1（3）①22.4；②50 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴． ②∵，， ∴． 故答案为：22.4；50． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北衡水·期中）下列实数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数．根据无理数的概念、立方根及算术平方根逐项进行验证即可． 【详解】解：A．是无理数，故本选项符合题意； B．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 12．（24-25七年级下·河北承德·期末）若，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，平方根，利用非负数的性质求出的值，进而求出代数式的值，最后根据平方根的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为， 故选：D． 13．（24-25七年级下·河南周口·期末）对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，平方根；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是， ∴的平方根是； 故选：B． 14．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点边上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离．根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为6，且， ∴， ∵点A表示的数是，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：，故B正确． 故选：B． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．先求出算术平方根，再求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求出的值，进而确定这个正数的两个平方根，再根据平方根的定义进行计算即可． 本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 解得， 当时，， 这个数为． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·北京东城·期末）已知，则的近似值是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题干所给数据作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·北京丰台·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先根据 得，结合，且为整数，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为整数， ∴， 故答案为：9 19．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，根据定义计算即可． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∵的立方根是 − 1  ， ∴， 解得：， 的平方根是． 20．（24-25八年级上·河北承德·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 22．（24-25七年级下·北京·期末）如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有，，，四个， 故选：B． 23．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 24．观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的定义，乘方的计算，根据表格数据逐一验证选项的正确性，重点分析平方根的范围及函数单调性． 【详解】解：A、当时，，正确； B、由表格可知，，，因，故，原结论错误； C、，故5.76的算术平方根为2.4，正确； D、表格中x从2.1到2.9时，依次递增，正确， 故选：B． 25．（24-25八年级上·河北保定·期中）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 （用含的代数式表示），若，则棱长应减少 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 26．（24-25八年级上·河北承德·期中）已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键． 先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的小数部分是． 故答案为：9，． 27．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键． 28．观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算规律探究，分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． 根据题意找规律写出结果即可． 【详解】解：由， ， ， 所以． 故答案为：． 29．是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的小数部分， 的小数部分， ∴． 30．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法： ∵，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用） 问题： (1)请你依照小明的方法，估算（结果保留两位小数）； (2)请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则（用含、的代数式表示）． 【答案】(1)8.25 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键． （1）仿照提供的解法进行解答即可； （2）根据题目中提供的方法用含有、的代数式表示即可． 【详解】（1）解：∵， 设， ， ，解得， ， 故答案为：8.25； （2）解：∵， 设， ， ， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $