第13讲 二次函数的实际应用-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（大庆市专版）

中专123 第13讲二次函数的实际应用 基础集训 [答案P15] ⊙命题点1位用二次函数解决抛物线实际问题 类型一隧道和拱桥问题 1.(2025·哈尔滨模拟)如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m, 涵洞顶点0与水面的距离C0是2m,则当水位上升1.5m时，水面的宽度为 A.0.4m B.0.6m 1题图 C.0.8m D.1m 2.(2024·大连模拟)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图，线段OE表示水平的路面，以0为 坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据 设计要求：OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m. (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已 知点A,B到OE的距离均为6m,求点A,B的坐标 y/m B E 2题图 类型二运动轨迹问题 3.(2025·重庆二模)如图，水池中心点0处竖直安装一水管.水管喷头喷出抛 高度/m 物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点 与点0在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距02.5 点2.5m;喷头高4m时，水柱落点距0点3m,那么喷头高 m时，水 柱落点距0点4m. 0 2.534落点/m 3题图 -61- ⊙命题点2利润最大化问题 类型一顶点处取最值 4.(2025·天津二模)端午节前夕，某批发部购人一批进价为8元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量 y(袋)与售价x(元/袋)满足如图所示的一次函数关系. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？ ◆y/袋 280 120 0 1014x1元/悔袋) 4题图 类型二不在顶点处取最值 5.(2025·沈阳模拟)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销 售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应 数据如下表所示： 销售单价x/元 … 50 60 70 月销量y/台 90 80 70 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ -62 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第三章函数 类型三在自变量不同取值范围内求最值 6.(2025·绥化模拟)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件.已知A产品 成本价为m元/件(m为常数，且4≤m≤6)，售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专 利费30元；B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y 元，y(元)与每日产销x(件)满足关系式y=80+0.01x2. (1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1,w2与x的函数关系式，并写出 x的取值范围； (2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润；(A产品的最大日利润用含m的代数式表示) (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由， 【利润=（售价-成本）×产销数量-专利费】 ⊙命题点3几何图形面积问题 7.（2025·长春模拟)某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,AF:BF=3:4, 点G,H,F分别是边AB,AC,BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥W∥MN∥CD,制造窗户 框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米 (1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积 G H F M 7题图 —63 数学·精练本1 中考集训 [答案P16] 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（2024·自贡)九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边 靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠 墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是 () A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 y/m EPE2226F11222222142142261442 iih D 菜园 方案1 方案2 方案3 x/m 1题图 5题图 6题图 2.(2025·北京模拟)向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+ c(α≠0)，若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是() A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒 3.（2025·无锡)某宾馆共有80间客房.宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数 y(间)与定价x(元/间)之间满足y=4x-42(x≥168)，若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客 人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客 人得到实惠，应将房间定价确定为 () A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 4.(2024·山西)竖直上抛物体离地面的高度h()与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h= -52+ot+h表示，其中ho(m)是物体抛出时离地面的高度，(m/s)是物体抛出时的速度.某人将 一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为 （) A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m 5.(2025·甘肃)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水，水 流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y()与 水平距离x(m)之间的关系式是了=-2+2x+子(x>0),则水流喷出的最大高度是 () A.3 m B.2.75m C.2 m D.1.75m 6.(2024·天津)如图，要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的 三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：①AB的长可以为6m;②AB的长有两个 不同的值满足菜园ABCD面积为192m;③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中，正确结论的个 数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 -64 二、填空题（每小题5分，共25分） 7.（2025·南充模拟)如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD, 已知房屋外墙足够长，当矩形ABCD的边AB= m时，羊圈的面积最大 y H 7题图 8题图 9题图 8.(2024·连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入 篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离OH是 m. 9.(2024·甘肃)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一 条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关 系：h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t= S. 10.（2025·广安)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面 宽8米 -6米 5m M 10题图 11题图 1.(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度0P是子m,出手后实心球沿一段 抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则OM的长为 m. 三、解答题（共45分） 12.(15分)(2025·菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足 够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A,B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已 定购篱笆120米， (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； (2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株 售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. iliiiailiiaililssliiiilliiaii 12题图 —65 13.(15分)(2024·江西)如图，一小球从斜坡点0以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 y=心2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=子x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行 的高度y(米)的变化规律如下表： 0 m 4 5 6 0 15 15 2 2 (1)①m= ②小球的落点是A,求点A的坐标； (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y=-5t2+t. ①小球飞行的最大高度为 米； ②求v的值. /米 小球 斜坡 0 x米 13题图 14.（15分)新考法(2024·河南)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛 球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点P在 y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8; 若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2. (1)求点P的坐标和a的值； (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计 算判断应选择哪种击球方式。 y=a(x-1)2+3.2 y=-0.4x+2.8,B C 14题图 —6617.解：(1)①当b=4,c=3时， y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7, 顶点坐标为(2,7). ②当-1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， .当x=2时，y有最大值7. 当x=-1时，y=-2,当x=3时，y=6, .当-1≤x≤3时，-2≤y≤7. (2):当x≤0时，y的最大值为2，当x>0时，y的最大值 为3， 一抛物线的对称轴x=号在y轴的右侧6>0。 .抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， c=2. 4x(-）×6-B=3,6=±2， 4×(-1) b>0,∴.b=2 ∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2. 18.解：(1)当x1=1,x2=2时，y1=y2, ·抛物线的对称轴为直线x=1+2.3 2=2， 43 21 (2)a>0,∴.抛物线开口向上， ∴.抛物线上离对称轴越远的点纵坐标越大 又：y1<y2,抛物线的对称轴为直线x=t, ∴点M到直线x=t的距离小于点N到直线x=t的距离， 由题意知点M在点N左侧 连接MY,则MN中点的横坐标为色 由y1<y2可知MW的中点在直线x=t的右侧， t×花+多 2 0<x1<1,1<x2<2, 1<x1+<3, 19.解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0), B(4,0), [1-b+c=0, rb=-3, 解得 116+4b+c=0, lc=-4, ∴.抛物线对应的解析式为y=x2-3x-4. P，) (2)连接0OP 4-1,0),B4,0),C(0.-4),P-空)} 3 .S△oc7×4×) =3, Sam×4x空-空， 1 1 S△B0c=2×4×4=8. S△BCP=S△0CP+S△0BP-S△BOc, S-3+空-8-号 第13讲二次函数的实际应用 基础集训 1.c 2.解：(1)依题意可知抛物线的顶点P的坐标为(5,9)，设抛 物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9(a≠0)，将(0,0)代 9 入，得0=a(0-5)2+9,解得a=-2 抛物线的函数表达式为y=名（红-5）2+9， (2)令y=6,得-3(x-5)2+9=6, 55+5,= 解得= 55+5. 3 A5-556),8(5+556} 3.8 4.解：(1)设y与x的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 把x=10,y=280和x=14,y=120分别代入， r10k+b=280, rk=-40, 得 解得 14k+b=120, b=680, ∴.y与x的函数关系式为y=-40x+680. (2)设这种粽子日销售利润为w元， w=(x-8)(-40x+680) =-40x2+1000x-5440 =-40(x-12.5)2+810. -40<0,抛物线开口向下， ∴.x=12.5时，0有最大值. 0最大值=810. 答：当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最 大日销售利润是810元， 5.解：(1)由题意设y=x+b(k≠0)，将(50,90)，(60,80)分别 代入， 15 r50k+b=90, rk=-1, 得 解得 l60k+b=80, 1b=140, .y与x之间的函数关系式为y=-x+140. (2)由题意可知40≤x≤80. 设商店每月出售这种护眼灯所获的利润为W元， 则W=(x-40)y=(x-40)(-x+140)=-x2+180x-5600 =-(x-90)2+2500. -1<0,40≤x≤80， ,∴.当x=80时，W有最大值，最大值为2400. 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护 眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 6.解：(1)根据题意，得w1=(8-m)x-30,0≤x≤500. w2=(20-12)x-(80+0.01x2) =-0.01x2+8x-80,0≤x≤300 (2)对于01=(8-m)x-30, :8-m>0,.01随x的增大而增大， 又.0≤x≤500， .当x=500时，01的值最大，01最大=-500m+3970. 故A产品的最大日利润为(-500m+3970)元， w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1520. ·-0.01<0,对称轴为直线x=400 ∴.当0≤x≤300时，02随x的增大而增大， ·.当x=300时，02的值最大，02最大=-0.01×(300- 400)2+1520=1420. 故B产品的最大日利润为1420元. (3)①若01最大=02最大，即-500m+3970=1420, 解得m=5.1; ②若01最大>02最大，即-500m+3970>1420, 解得m<5.1; ③若01最大<02最大，即-500m+3970<1420, 解得m>5.1. 又，4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m=5.1时，选择A,B产品产销均可； 当4≤m<5.1时，选择A种产品产销； 当5.1<m≤6时，选择B种产品产销 7.解：(1)：△ABC是等腰三角形，F是BC的中点， .BF=CF,AF⊥BC,AB=AC. .·BF=x米， .CF=x米，BC=2BF=2x米 .AF:BF=3:4, 3 AF=全x米 在Rt△AFB中，由勾股定理，得 B=a+丽-√（子+2-名（米）， AC=AB=系x米 点G,H分别是边AB,AC的中点， ∠AFB=∠AFC=90°， fG=26=名米， m=子4C=米 四边形BCDE是矩形， .ED=BC=2x米，BE=CD=y米. .:BE∥IU∥MN∥CD. .BE=J=MW=CD=y米. 制造窗户框的材料总长为16米， ...AB +AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+I+MN CD= 16米， 5 5 3 4+ 5 4*+8x+8x+子x+2x+2x+4y=16. 17 整理，得y=-8x+4, 由题意，得>0，-名+4>0， 32 解得0<x< (2)SAABC= 5eam=BcxE=2x×(-名+4-2+8x 设窗户的面积为W平方米， 则W=Sac+笼aE=}子-子2+8= 4 7 “-2<0,W有最大值。 当：=号米时，即最大最大值为号平方米 中考集训 1.C2.C3.B 4.C[解析]由已知可得to=20m/s,h0=1.5m,则h= -52+20:+1.5（t>0),其图象的对称轴为直线 20 【2×（-5)=2,图象开口向下，当1=2时，h最大，为 -5×22+20×2+1.5=21.5,故选C. 5.B[解折1)=-2+2x+子=-(x-1)2+1+子=-(x 7 -1)2+朵：-1<0，当x=1时，y取最大值，最大值为 16 号，即275来成选R 6C[解析]设B=xm,则BC=(40-2x)m由题意知40- 2x≤26，解得x≥7，.AB的长不可以为6m,故结论①不正 确；S莱网ABD=x(40-2x).令x(40-2x)=192,整理，得xX2- ! 20x+96=0,解得x1=8,x2=12,经检验，这两个根都符合题 意，故结论②正确；S茱网ABcD=x(40-2x)=-2x2+40x= -2(x-10)2+200,-2<0,.当x=10时，S装mA8cn最大，最 大值为200，故结论③正确.故选C. 7.15 8.4[解析]当y=3.05时，3.05=-0.2x2+x+2.25,x2-5x +4=0,(x-1)(x-4)=0,解得x1=1,2=4,故他距篮筐 中心的水平距离OH是4m. 9.2[解析]：h=-52+20t=-5(t-2)2+20,且-5<0， .当t=2时，h取最大值20. 10.号[解析]以直线AB为x轴，以过拱顶C且套直于AB 的直线为y轴建立平面直角坐标系，0为原点，如答图. ↑y 0 10题答图 由题意可得A0=0B=3,∴.A(-3,0).又C(0,2),.可 设抛物线解析式为y=ax2+2(a≠0)，代入A(-3,0),得9a+ 2=0,解得a=弓礼物钱的部折式为y=-弓2+ 2言=4时y=号x16+2=-号水两下降号来 11.35[解析]如答图，以，点0为原，点，0M所在直线为x轴， 3 0P所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则P(0,子）厂 抛物线的顶点坐标为(5,4).设抛物线的解析式为y=a(x -5)2+4,将P(0,子R入，得=a(0-5)2+4,解得a =品心然物线的解折式为y=品(：-5)炉+4当y =0时品-52+4=0，解得名-的=-号（不 符合题意，合去)0M=m 4 m 0-5m- M 11题答图 1> 12.解：(1)设花园平行于墙的一边长为x米，面积为y平方 米，则垂直于墙的一边长为120*米， 3 y=x×2120-号2+40 3 =-g(x-60)2+120, .当x=60时，y有最大值，最大值是1200， 此时120-=20. 3 答：当花园平行于墙的一边长为60米，垂直于墙的一边长 为20米时，花园面积最大，最大面积为1200平方米. (2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为 (1200-a)平方米. 由题意可得25×2a+15×2(1200-a)≤50000， 解得a≤700，即牡丹最多种植700平方米， 700×2=1400(株). 答：最多可以购买1400株牡丹. 3.解：(1)①36 rx=1, ②方法一：把{7和{ 和=2分别代入y=a2+, 1y=2y=6 a+b=2' 得 【4a+2b=6. 1 解得 Lb=4, y=24 解得=0（舍），名=5 将x=空代入y=名，得y 15 8 “点4的坐标是（受，智） 方法二：设y=a(x-4)2+8, 将(2,6)代人，得a(2-4)2+8=6, 解得a=-2: 1 y=2a-42+8 即y=-+4红 解得=0（会），=空 将=空代入y=，得y= 81 ∴点4的坐标是（只，智） ②08集分亦可到 ②方法-y=-5+=-5(-0)+ v 20=8, .1=4√10,2=-4√10（舍）， .D=4√0.（答案写“4√0米/秒”亦可） 方法二：y=-52+t图象的顶点纵坐标为8， :4×(-5)x0- -=8 4×(-5) .1=4√/10,2=-4√10（舍）， .0=4√10.（答案写“4√10米/秒”亦可） 14.解：(1)依题意知，点P为直线y=-0.4x+2.8与y 交点。 当x=0时，y=-0.4×0+2.8=2.8, ∴.点P的坐标为(0,2.8). ,抛物线y=a(x-1)2+3.2经过点P, .2.8=a(0-1)2+3.2,解得a=-0.4. (2),OA=3,CA=2, .0C=5. 若选择扣球，当y=0时，得-0.4x+2.8=0, 解得x=7, 此时，球的落地点到C点的距离为7-5=2. 若选择吊球，由(1)知，y=-0.4(x-1)2+3.2. 当y=0时，得-0.4(x-1)2+3.2=0, 解得x1=22+1,x2=-22+1(舍)， 此时球的落地点到C点的距离为 5-(22+1)=4-22. 4-22<2, .应选择吊球 第四章三角形 第14讲线段、角、相交线与平行线 基础集训 1.两点之间，线段最短2.43.C4.B 5.解：(1)8146'.(2)8238'54”， 6.C7.D8.C9.C 综合集训 1.D2.D3.B 4.c [解析]逐项分析如下： 选项 分析 结论 平行四边形是中心对称图形，不一定是 A 假命题 抽对称图形 B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 假命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在 真命题 这条线段的垂直平分线上 设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x,则3x+ 0 4x+5x=180°，解得x=15°，·.5x= 假命题 75°，∴.△ABC为锐角三角形 5.C6.307.908.909.105 10.(1)解：AD∥BC, ! .∠B+∠BAD=180°. ∠B=80°，.∠BAD=100° 轴的 (2)证明：AE平分∠BAD,.∠DAE=50 ·AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAE=50°. ∠BCD=50°， .∠AEB=∠BCD,.AE∥DC. 第15讲一般三角形及其性质 基础集训 1.C 2.-3<a<-2 3.C4.D5.B6.B7.35 8.1[解析]如答图，过，点D作DF⊥AC于点F,:AD平分 ∠BMC,DE LAB,DF=DE=1,Sad=AC·DF= ×2×1=1. 1 E B D 8题答图 9.解：AD平分∠BAC,∠BAC=60°， ∴.∠BAD= 2∠BAC=309 CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∠B=50°， .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=100. 综合集训 1.C2.B 18-