专题4.3 组合（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题4.3 组合 教学目标 1、理解组合、组合数概念，掌握组合数公式及组合数运算性质； 2、掌握组合数应用的常用模型及解法； 教学重难点 1、重点：组合数公式及运算性质，组合数常用模型及解法； 2、难点：组合数方程与不等式、几何中的组合数计算； 知识点01 组合概念、组合数公式 1．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①包含两个基本内容，一是取出元素；二是合成一组，没有顺序之分； ②两个组合相同的条件：元素完全相同； (3)记数原理、排列与组合的区分：分类加法、分步乘法；有序排列、无序组合； 2．组合数 (1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式:C＝；这里，n,m∈N*，并且m≤n. (3)特殊地：，，. 3.排列组合综合问题的策略：先选后排； 【即学即练1-1】(24-25高二下·广东江门·期末)计算的值是( ) A．41 B．61 C．62 D．82 【即学即练1-2】(24-25高二下·江苏南通·阶段练习)集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是(   ) A． B． C． D． 知识点02 组合数的应用：隔板法 模型：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种； 解法：“隔板法”，因为元素相同，所以可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子； 应用：不定方程的正整数解的个数； 【即学即练2】(24-25高二下·内蒙古·期末)方程的正整数解共有(   ) A．组 B．组 C．组 D．组 题型01 组合数公式计算 【典例1-1】(24-25高二下·福建福州·期末)计算的值是(   ) A．48 B．76 C．148 D．176 【典例1-2】(多选)(24-25高二下·广东广州·期中)已知m，且，则下列结论正确的是( ) A． B．若，则 C． D． 【典例1-3】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知m，且，则下列等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例1-4】(24-25高二下·河北石家庄·期末)计算： 【变式1-1】(24-25高二下·吉林长春·期末)计算(   ) A．6 B．35 C．41 D．45 【变式1-2】(23-24高二下·广东清远·阶段练习)计算(    ) A．252 B．126 C．84 D．63 【变式1-3】(23-24高二下·江苏镇江·期末)化简结果为(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(23-24高二下·山东·期中)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(2025高二·全国·专题练习)(多选题)下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是(    )． A． B． C． D．是一个常数 【变式1-6】(24-25高二下·广西南宁·期中)计算 ．(用数字作答) 题型02 组合数方程、不等式 【典例2-1】(多选)(23-24高二下·福建南平·期末)若，则n的值可能为(    ) A．3 B．4 C．6 D．8 【典例2-2】(24-25高二下·江苏南通·阶段练习)若，则(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2-3】(23-24高二上·福建宁德·期末)若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(多选)(24-25高二下·云南昆明·期中)若，则x的值为(   ) A．8 B．5 C．12 D．7 【变式2-1】(25-26高三上·河北·开学考试)若，则的值为(    ) A．12 B．5 C．12或5 D．3或5 【变式2-2】(24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末)若，则(   ) A． B． C． D． 【变式2-3】(24-25高二下·广西百色·期末)若，则(   ) A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【变式2-4】(多选)(22-23高二下·贵州·阶段练习)下列结论正确的是(    ) A． B． C．若，则 D． 【变式2-5】(多选)(23-24高二下·河北张家口·期中)已知m，且，则下列结论正确的是(    ) A． B．若，则 C． D． 【变式2-6】(24-25高二下·上海宝山·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是 题型03 代数中的组合数计算 【典例3-1】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(24-25高二下·北京丰台·期中)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(    ) A．24 B．18 C．12 D．6 【典例3-3】(多选)(24-25高二下·山东济宁·期中)下列说法正确的是(   ) A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 【典例3-4】(24-25高二下·陕西安康·期末)从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ． 【变式3-1】(24-25高二下·江苏徐州·阶段练习)用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(   ) A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【变式3-2】(23-24高二下·山东菏泽·期末)从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为(    ) A．45 B．60 C．90 D．180 【变式3-3】(2024·河南商丘·模拟预测)已知，且，则在空间直角坐标系中，对应的点的个数为(   ) A．48 B．24 C．12 D．6 【变式3-4】(2024高三·全国·专题练习)大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为( ) A．6 B．13 C．19 D．60 【变式3-5】(多选)(23-24高二下·广东深圳·阶段练习)用数字组成无重复数字的四位数，则( ) A．可组成个四位数 B．可组成个是的倍数的四位数 C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为 【变式3-6】(24-25高二下·江苏·期末)已知，，且．则满足条件的集合共有 个． 题型04 几何中的组合数计算 【典例4-1】(24-25高二下·山东烟台·阶段练习)正八边形的对角线的条数为(    ) A．20 B．28 C．40 D．56 【典例4-2】(2025·安徽·模拟预测)在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 【典例4-3】(多选)(23-24高二下·广东江门·期末)在正方体中，下列说法正确的是(    ) A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 【典例4-4】(24-25高二下·安徽六安·期中)以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ； 【变式4-1】(24-25高三·上海·课堂例题)有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．(    ) A．28 B．42 C．56 D．112 【变式4-2】(24-25高二下·广东汕头·期末)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是(   ) A．70 B．66 C．62 D．58 【变式4-3】(24-25高二下·广东·阶段练习)现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有(   ) A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【变式4-4】(24-25高二下·山西·期中)已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有(    ) A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 【变式4-5】(多选)(2024·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)(    ) A．可以围成20个不同的正方形 B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等) C．可以围成516个不同的三角形 D．可以围成16个不同的等边三角形 【变式4-6】(24-25高三下·重庆·阶段练习)在组合学重要分支“图论”中，把经过点的线段的条数定义为该点的“度”，记作，比如在左图中，，在右图中，保留左图，右图原有的连线，增加连线得到的图形中所有点的度数之和为 ． 题型05 分组分配问题 【典例5-1】(24-25高二下·广东江门·期末)把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有(   ) A．4 B．6 C．10 D．24 【典例5-2】(25-26高三上·重庆·阶段练习)某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有(   ) A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【典例5-3】(多选)(2025高三·全国·专题练习)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( ) A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【典例5-4】(23-24高二下·江苏淮安·期中)某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．(用数字表示) (1)有 种不同的安排方法； (2)由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法． 【变式5-1】(24-25高二下·湖北·期末)某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有(    )种? A．18 B．24 C．30 D．36 【变式5-2】(24-25高二下·浙江温州·期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有( ) A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【变式5-3】(2025·全国·模拟预测)2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有(    ) A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 【变式5-4】(24-25高二下·福建福州·期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有( ) A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【变式5-5】(多选)(24-25高二下·江苏南京·期中)下列说法正确的是(    ) A．4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B．4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C．6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D．6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 【变式5-6】(2025·河南·三模)将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有 种.(用数字作答) 题型06 不定方程的正整数解的个数 【典例6-1】(24-25高二下·广东东莞·阶段练习)方程的正整数解的个数为(   ) A．15 B．35 C．40 D．20 【典例6-2】(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有(    ) A．120 B．240 C．300 D．360 【典例6-3】(多选)(23-24高三上·江苏·开学考试)有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是(    ) A．若，，均为正整数，则解的个数为 B．若，，均为非负整数，则解的个数为 C．若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044 D．若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044 【典例6-4】(2025高三·全国·专题练习)从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【变式6-1】(24-25高二下·安徽安庆·阶段练习)已知，，，则关于，，的方程共有(    )组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【变式6-2】(24-25高二下·青海西宁·期末)已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有(    )个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 【变式6-3】(24-25高二下·山东·阶段练习)方程的正整数解共有(   ) A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【变式6-4】(多选)(24-25高二下·湖北·阶段练习)下列说法正确的是(   ) A．集合的子集共有32个 B．若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C．3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 【变式6-5】(22-23高二下·山东菏泽·期中)现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是(    ) A．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法 B．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 C．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 【变式6-6】(2025·湖南长沙·三模)在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部(不包括表面)的整点(横、纵、竖坐标均为整数的点)的个数为 ．(用数字作答) 题型07 其它组合模型 【典例7-1】(23-24高二上·江西南昌·期末)在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有(    ) A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 【典例7-2】(24-25高二下·江西景德镇·期中)总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有(    )种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【典例7-3】(多选)(24-25高二下·广东清远·期中)下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有60种 C．过三棱柱任意两顶点的直线中，异面直线共有36对 D．用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252 【典例7-4】(24-25高二下·陕西·阶段练习)集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为 . 【变式7-1】(24-25高二下·安徽安庆·期中)一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有(    )个 A．10 B．20 C．30 D．40 【变式7-2】(23-24高三上·河南驻马店·期末)用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有(    ) A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【变式7-3】(23-24高二下·浙江宁波·期末)已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为(    ) A．58 B．71 C．85 D．96 【变式7-4】(2024·湖北·模拟预测)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( ) A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【变式7-5】(多选)(24-25高二下·江苏镇江·期中)现有本不同的书，下列说法正确的有(   ) A．如果平均分成堆，则共有种分法 B．如果分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，则共有种不同分法 C．如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有种不同分法 D．如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有种分法 【变式7-6】(24-25高三上·云南昆明·阶段练习)如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构 成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑(不能跨越通行)．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 一、单选题 1.(24-25高二下·河北承德·期末)某班选派6名同学到学校的这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为(    ) A．90 B．360 C．450 D．990 2.(24-25高二下·重庆·期中)若，则(   ) A． B． C． D． 3.(24-25高二下·河南郑州·期中)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为(   ) A．6 B．10 C．12 D．18 4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法(    ) A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 5.(2025高三·全国·专题练习)在正方体中，下列说法不正确的是( ) A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 6.(23-24高三下·云南昆明·阶段练习)把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为(    ) A．60 B．36 C．30 D．12 7.(2025·重庆·模拟预测)某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为(   ). A．240 B．270 C．480 D．540 8.(2024·山东日照·模拟预测)设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是(    ) A．12 B．21 C．27 D．33 二、多选题 9.(24-25高二下·福建三明·期中)福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是(     ) A．若展馆需要种花卉，有种安排方法 B．若“绿水晶”去展馆，有种安排方法 C．若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法 D．若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法 10.(24-25高二下·江苏·期中)下列说法正确的是(    ) A． B．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D． 11.(23-24高二下·重庆·期末)设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则(    ) A．若，则或 B．若，则的可能取值为3或4或5 C．若的值确定，则 D．若为奇数，则的最大值为 三、填空题 12.(24-25高二下·陕西咸阳·期中)若，则正整数的值为 . 13.(2025高二·全国·专题练习)方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 14.(2024·甘肃张掖·一模)将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种. 四、解答题 15.(24-25高二下·广东深圳·期中)(1)解方程：(). (2)甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？ 16.(22-23高二下·湖北·阶段练习)(1)将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? (2)将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? (3)将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? (4)将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? (注：要写出算式，结果用数字表示) 17.(2025高二·全国·专题练习)(1)把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ (2)把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ (3)把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ (4)把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 18.(23-24高二下·重庆·阶段练习)在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；(2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 19.(23-24高二下·浙江绍兴·期末)已知集合，对于，，定义与之间的距离为. (1)若，求所有满足的点所围成的图形的面积; (2)当时，，并且，求的最大值(用表示); (3)当时，求集合中任意两个元素之间的距离的和. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 组合 教学目标 1、理解组合、组合数概念，掌握组合数公式及组合数运算性质； 2、掌握组合数应用的常用模型及解法； 教学重难点 1、重点：组合数公式及运算性质，组合数常用模型及解法； 2、难点：组合数方程与不等式、几何中的组合数计算； 知识点01 组合概念、组合数公式 1．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①包含两个基本内容，一是取出元素；二是合成一组，没有顺序之分； ②两个组合相同的条件：元素完全相同； (3)记数原理、排列与组合的区分：分类加法、分步乘法；有序排列、无序组合； 2．组合数 (1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式:C＝；这里，n,m∈N*，并且m≤n. (3)特殊地：，，. 3.排列组合综合问题的策略：先选后排； 【即学即练1-1】(24-25高二下·广东江门·期末)计算的值是( ) A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】，，, 因此.故选：B. 【即学即练1-2】(24-25高二下·江苏南通·阶段练习)集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从集合A中取1个元素有种方法，从集合B中取1个元素有种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有种方法.故选：B. 知识点02 组合数的应用：隔板法 模型：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种； 解法：“隔板法”，因为元素相同，所以可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子； 应用：不定方程的正整数解的个数； 【即学即练2】(24-25高二下·内蒙古·期末)方程的正整数解共有(   ) A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C【难度】0.85【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组．故选：C 题型01 组合数公式计算 【典例1-1】(24-25高二下·福建福州·期末)计算的值是(   ) A．48 B．76 C．148 D．176 【答案】B【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案. 【详解】.故选：B 【典例1-2】(多选)(24-25高二下·广东广州·期中)已知m，且，则下列结论正确的是( ) A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解；对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为m，且，对于选项A：由排列与组合的含义可以推出，故A正确； 对于选项B：因为，整理得，解得或(舍去)，故B正确； 对于选项C：因为， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则，可知，故D错误； 故选：ABC. 【典例1-3】(多选)(25-26高二上·全国·单元测试)已知m，且，则下列等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.85【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，．故选：BC. 【典例1-4】(24-25高二下·河北石家庄·期末)计算： 【答案】【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【详解】，故答案为： 【变式1-1】(24-25高二下·吉林长春·期末)计算(   ) A．6 B．35 C．41 D．45 【答案】C【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算【分析】根据组合数及排列数计算求解. 【详解】，，，故选：C． 【变式1-2】(23-24高二下·广东清远·阶段练习)计算(    ) A．252 B．126 C．84 D．63 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【详解】．故选：B． 【变式1-3】(23-24高二下·江苏镇江·期末)化简结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.4【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可. 【详解】 ，故选：D 【点睛】本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 【变式1-4】(23-24高二下·山东·期中)已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】组合数的计算、比较指数幂的大小、排列数的计算【分析】先借助排列数的定义与指数定义得到与的关系后，借助组合数定义结合放缩可比较与的关系，即可得解. 【详解】，，均由20个数相乘组成， 其中前两项和最后一项比较， 其他项，直到，故， ， 其中里面前四项大于中的后五项， 即， 其他项均要对应大于或等于剩余中的每一项，故.故选：C. 【变式1-5】(多选)(2025高二·全国·专题练习)(多选题)下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是(    )． A． B． C． D．是一个常数 【答案】BD【难度】0.85【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算【分析】由排列数公式判断AB，由组合数的性质化简判断C，根据组合数的性质得，然后代入计算判断D. 【详解】由排列数公式知A不正确， ，B正确， 由组合数的性质可知，，故C不正确， D选项中，n应该满足，且，，解得， 因此，D正确．故选：BD． 【变式1-6】(24-25高二下·广西南宁·期中)计算 ．(用数字作答) 【答案】【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数以及组合数的计算公式即可求解. 【详解】,故答案为： 题型02 组合数方程、不等式 【典例2-1】(多选)(23-24高二下·福建南平·期末)若，则n的值可能为(    ) A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】BC【难度】0.94【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算、组合数方程和不等式【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出n的值. 【详解】依题意，，因此，所以或.故选：BC 【典例2-2】(24-25高二下·江苏南通·阶段练习)若，则(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 综上，得到，故B正确.故选：B 【典例2-3】(23-24高二上·福建宁德·期末)若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故. 故选：D. 【典例2-4】(多选)(24-25高二下·云南昆明·期中)若，则x的值为(   ) A．8 B．5 C．12 D．7 【答案】AC【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】因为，所以或，解得或， 因为，故或均符合题意.故选：AC 【变式2-1】(25-26高三上·河北·开学考试)若，则的值为(    ) A．12 B．5 C．12或5 D．3或5 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质列出方程求解即可. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或，解得(舍去)或.故选：B 【变式2-2】(24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末)若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】，整理得，因为，解得.故选：B. 【变式2-3】(24-25高二下·广西百色·期末)若，则(   ) A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】∵， ∴由组合数的性质可得或，则或5.故选：B. 【变式2-4】(多选)(22-23高二下·贵州·阶段练习)下列结论正确的是(    ) A． B． C．若，则 D． 【答案】AD【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、排列数的计算、组合数的性质及应用、组合数的计算【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，，故，故B错误， 对于C，则或，解得 或，故C错误， 对于D，,故D正确，故选：AD 【变式2-5】(多选)(23-24高二下·河北张家口·期中)已知m，且，则下列结论正确的是(    ) A． B．若，则 C． D． 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】组合数方程和不等式、利用组合数公式证明 【分析】对于A：根据阶乘的定义分析判断；对于B：根据组合数公式列式求解； 对于C：根据组合数公式分析证明；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为m，且，对于选项A：由阶乘的定义可知，故A正确； 对于选项B：因为， 整理得，解得或(舍去)，故B正确； 对于选项C：因为， 即，故C正确； 对于选项D：例如，则，可知，故D错误； 故选：ABC. 【变式2-6】(24-25高二下·上海宝山·期中)若 为正整数，则不等式 的解集是 【答案】【难度】0.65【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】 化为，即.解得，因为，则.故原不等式的解集为.故答案为：. 题型03 代数中的组合数计算 【典例3-1】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】组合数的计算、代数中的组合计数问题 【分析】由组合数的意义即可求解. 【详解】因为一个自然数从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”， 在0，1，2，3，…，9中任取4个数，其大小关系确定，所以“渐降数”共有个，故选：C. 【典例3-2】(24-25高二下·北京丰台·期中)用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(    ) A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】C【难度】0.85【知识点】元素(位置)有限制的排列问题、代数中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用【分析】先排个位，再排千位、百位和十位，即得结果. 【详解】先排个位，有种选法，再排千位、百位和十位，有种排法， 因此共有种排法，故选：C. 【典例3-3】(多选)(24-25高二下·山东济宁·期中)下列说法正确的是(   ) A．用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是 B．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是 C．用1～9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字的四位数的个数是 D．用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 【答案】BC【难度】0.65【知识点】数字排列问题、代数中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，利用排列数公式判断B，利用组合数公式判断C，先排两个数，再利用插空法判断D. 【详解】对于A：用1～9这9个自然数组成的四位数的个数是，故A错误； 对于B：用1～9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是，故B正确； 对于C：因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字， 所以这样的四位数有个，故C正确； 对于D：首先从其余个数字中选出个数字并排列好，有种， 再将1和3插入所形成的三个空中，则有种插法， 按照分步乘法计数原理可知一共有个数字，故D错误.故选：BC 【典例3-4】(24-25高二下·陕西安康·期末)从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为 ． 【答案】20【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题、分类加法计数原理【分析】先求出八个连续整数任选3个数的情况数，再分别求出三个连续数和三个数中只有两个数连续的个数，相减可得答案. 【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8, 先任选3个数，有种取法， 其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8； 三个数中只有两个数连续， 比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种， 同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种， 比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种， 同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种， 所以此时共有种， 综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1， 共有种选法．故答案为：20． 【变式3-1】(24-25高二下·江苏徐州·阶段练习)用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(   ) A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A【难度】0.85【知识点】数字排列问题、代数中的组合计数问题 【分析】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个.故选：A 【变式3-2】(23-24高二下·山东菏泽·期末)从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为(    ) A．45 B．60 C．90 D．180 【答案】C【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分两步完成，第一步从张卡片中任取张卡片放入、，第二步从剩下的张卡片中任取张卡片放入、，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】首先从张卡片中任取张卡片放入、(较大的数放入)有种方法； 再从剩下的张卡片中任取张卡片放入、(较大的数放入)有种方法； 综上可得一共有种不同的排法.故选：C 【变式3-3】(2024·河南商丘·模拟预测)已知，且，则在空间直角坐标系中，对应的点的个数为(   ) A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】B【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题 【分析】根据坐标的特点确定元素取值情况，再根据排列组合计数即可得结论. 【详解】已知，且， 则在或里取一个值，或里取一个值，必取值， 故符合的取法对应的点的个数为.故选：B. 【变式3-4】(2024高三·全国·专题练习)大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数每个比1大的正整数要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数不为素数能唯一地写成其中是素数，是正整数，，，将上式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为( ) A．6 B．13 C．19 D．60 【答案】B【难度】0.4【知识点】排列数的计算、代数中的组合计数问题【分析】根据题意，得出从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，分三种情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解. 【详解】根据自然数的标准分解式可得， 故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况： ①选取3个2，可以组成1个三位数； ②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成个不同的三位数； ③选取2，3，5，可以组成个不同的三位数， 所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成个不同的三位数．故选：B. 【变式3-5】(多选)(23-24高二下·广东深圳·阶段练习)用数字组成无重复数字的四位数，则( ) A．可组成个四位数 B．可组成个是的倍数的四位数 C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个 D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】元素(位置)有限制的排列问题、代数中的组合计数问题 【分析】结合千位数字不能为，利用分步乘法计数原理列出式子可判断选项A；根据的倍数的数字特点分类讨论可判断选项B；先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，再根据计数原理列出式子可判断选项C；对四位数的千位和百位进行讨论可判断选项D. 【详解】对于选项A：先安排千位上的数字，有种；再安排百位、十位和个位上的数字，有种； 根据分步乘法计数原理可得，共组成个四位数，故选项A错误； 对于选项B：因为的倍数的四位数个位上为或， 所以分为两类：当个位是时，有种；当个位上时，有种， ∴共有种，故选项B正确； C选项，先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，有，，，，，，，，； 再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共种，故选项C正确； 对于选项D选：因为千位为的四位数有个； 千位为，百位为的四位数有个； 千位为，百位为的四位数有个； 共； 而千位为，百位为的四位数从小到大排列有：，，， 所以第个数为，故选项D正确.故选：BCD. 【变式3-6】(24-25高二下·江苏·期末)已知，，且．则满足条件的集合共有 个． 【答案】410【难度】0.4【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数、代数中的组合计数问题 【分析】由题意，除以3的余数相同，按照，除以3的余数相同，，被3除余1，，被3除余2分类讨论，结合组合数的运算求解即可. 【详解】因为，所以能被3整除，所以，除以3的余数相同， 中的元素能被3整除的整数有，被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当，都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或，可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， 所以的个数为， 当，被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或，可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， 所以的个数为， 当，被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个， 或，可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， 所以的个数为， 所以满足条件的集合共有个．故答案为：410 题型04 几何中的组合数计算 【典例4-1】(24-25高二下·山东烟台·阶段练习)正八边形的对角线的条数为(    ) A．20 B．28 C．40 D．56 【答案】A【难度】0.94【知识点】几何组合计数问题 【分析】正八边形中，分析可得：任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，排除其中正八边形的8条边即可得答案． 【详解】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条.故选：A. 【典例4-2】(2025·安徽·模拟预测)在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D【难度】0.65【知识点】几何组合计数问题【分析】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【详解】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种.故选：D. 【典例4-3】(多选)(23-24高二下·广东江门·期末)在正方体中，下列说法正确的是(    ) A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、几何组合计数问题 【分析】利用几何组合计数问题，结合正方体及直三棱柱、三棱锥、四棱锥的构造特征，列式计算即得. 【详解】对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，A正确； 对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上， 以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个， 因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，B正确； 对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法， 其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，因此三棱锥共有个，C错误； 对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种，每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥， 因此四棱锥共有，D正确.故选：ABD. 【典例4-4】(24-25高二下·安徽六安·期中)以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ； 【答案】58【难度】0.65【知识点】几何组合计数问题 【分析】由八个顶点任选四个的所有种数减去四点共面的个数计算即可. 【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况， 所以以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58.故答案为：58 【变式4-1】(24-25高三·上海·课堂例题)有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作__________个三角形．(    ) A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C【难度】0.94【知识点】几何组合计数问题 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个.故选：C. 【变式4-2】(24-25高二下·广东汕头·期末)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是(   ) A．70 B．66 C．62 D．58 【答案】D【难度】0.85【知识点】棱锥的结构特征和分类、几何组合计数问题 【分析】应用组合数求从8个顶点任选4个的情况数，再排除4点共面的情况数，即可得. 【详解】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有个， 其中有12种情况4点共面(6个侧面，6个对角面)， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个.故选：D 【变式4-3】(24-25高二下·广东·阶段练习)现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有(   ) A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B【难度】0.85【知识点】涂色问题、几何组合计数问题 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种．故选：B. 【变式4-4】(24-25高二下·山西·期中)已知平面平面，平面内有共5个点，其中有且仅有三点共线，平面内有共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多有(    ) A．80个 B．86个 C．116个 D．136个 【答案】C【难度】0.65【知识点】组合数的计算、几何组合计数问题 【分析】由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论：从平面内取3个点不共线，平面内取1个点，从平面内取2个点，平面内取2个点，从平面内取1个点，平面内取3个点，结合数的计算公式和分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，由三棱锥的几何结构特征，可分三类情况讨论： 从平面内取3个点不共线，平面内取1个点共有种情况； 从平面内取2个点，平面内取2个点共有种情况； 从平面内取1个点，平面内取3个点共有种情况， 所以从这9个点为顶点的三棱锥最多有个三棱锥.故选：C. 【变式4-5】(多选)(2024·重庆·模拟预测)如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)(    ) A．可以围成20个不同的正方形 B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等) C．可以围成516个不同的三角形 D．可以围成16个不同的等边三角形 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】分类加法计数原理、几何组合计数问题 【分析】利用分类计算原理及组合，结合图形，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】不妨设两个钉子间的距离为1， 对于选项A，由图知，边长为1的正方形有个，边长为的正方形有个， 边长为3的正方形有1个，边长为的有个，边长为的有2个，共有20个，选项A正确， 对于选项B，由图知，宽为1的长方形有个，宽为2的长方形有个， 宽为3的长方形有5个，宽为的有2个，共有24个，所以选项B正确， 对于选项C，由图知，可以围成个不同的三角形，所以选项C正确， 对于选项D，由图可知，不存在等边三角形，所以选项D错误，故选：ABC. 【变式4-6】(24-25高三下·重庆·阶段练习)在组合学重要分支“图论”中，把经过点的线段的条数定义为该点的“度”，记作，比如在左图中，，在右图中，保留左图，右图原有的连线，增加连线得到的图形中所有点的度数之和为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】几何组合计数问题 【分析】计算出所有边的边数，分析可知，所有的点的度数之和为边数的倍，即可得解. 【详解】原图中共有个点，如果这个点全部相连的边数为， 其中缺失的边为、，所有边的边数为， 故所有的点的度数之和为边数的倍，故所有点的度数之和为.故答案为：. 题型05 分组分配问题 【典例5-1】(24-25高二下·广东江门·期末)把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有(   ) A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C【难度】0.94【知识点】分组分配问题【分析】根据插板法和组合数计算得出结果 【详解】根据插板法公式，方法数为.故选：C. 【典例5-2】(25-26高三上·重庆·阶段练习)某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作. 每名学生都要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有(   ) A．300 种 B．90 种 C．240 种 D．150 种 【答案】D【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、排列组合综合、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用先分组后分配原则来进行求解即可. 【详解】先将5名学生分成三组的分法有：(种) 再将这三组学生分配到三个地段共有：(种) 所以利用分步乘法原理，可知每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有(种)故选：D. 【典例5-3】(多选)(2025高三·全国·专题练习)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有( ) A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD【难度】0.65 【知识点】全排列问题、实际问题中的组合计数问题、排列组合综合、分组分配问题 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确．故选：ABD. 【典例5-4】(23-24高二下·江苏淮安·期中)某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．(用数字表示) (1)有 种不同的安排方法； (2)由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法． 【答案】540；100【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题 【分析】(1)首先将6位同学分成三组，分三类计算不同的情况，然后进行全排列.(2)去掉甲同学还有4位同学和乙同学共5位同学.根据乙不去涟水战役烈士纪念馆，可以按照去涟水战役烈士纪念馆的人数分为三类讨论，然后相加可得答案. 【详解】(1)6位同学分为3组可以分三类. 第一类：1人，1人，4人分组，有种； 第二类：1人，2人，3人分组，有种； 第三类：2人，2人，2人分组，有种.根据分类加法计数原理，共种. 再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 根据分步乘法计数原理，共种. (2)由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆. 按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类. 第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种. 第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 第二类共种. 第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种. 根据分类加法计数原理，共种.故答案为：540；100. 【点睛】解决分组分配问题的策略： (1)对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题. (2)对于整体均分，分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数. (3)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以. 【变式5-1】(24-25高二下·湖北·期末)某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那么不同的人员分配方案共有(    )种? A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】A【难度】0.94【知识点】分组分配问题【分析】先分组，再排列即可求解. 【详解】.故选：. 【变式5-2】(24-25高二下·浙江温州·期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有( ) A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A【难度】0.85【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有.故选：A 【变式5-3】(2025·全国·模拟预测)2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震．现从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有(    ) A．1800 B．16800 C．14280 D．25200 【答案】B【难度】0.65【知识点】排列组合综合、分组分配问题【分析】先分组后分配，分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式，再结合排列组合数计算即可. 【详解】分组分配上有3，1，1，1，1与2，2，1，1，1两种方式． 若是3，1，1，1，1，则有种； 若是2，2，1，1，1，则有种． 所以共有种.故选：B． 【变式5-4】(24-25高二下·福建福州·期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有( ) A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D【难度】0.65【知识点】分组分配问题【分析】先将论文分成3组，再分配给专家. 【详解】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式.故选：D 【变式5-5】(多选)(24-25高二下·江苏南京·期中)下列说法正确的是(    ) A．4个不同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 B．4个不同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 C．6个相同的小球，放入个不同的盒中，不能有空盒，共有种不同的放法 D．6个相同的小球，放入个不同的盒中，共有种不同的放法 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对于A，由分步乘法原理验算即可；对于B，先分组再排列即可验算；对于C，由分类加法原理验算即可；对于D，由隔板法即可验算. 【详解】对于A，共有种不同的放法，故A正确； 对于B，先确定两个小球在同一个盒子，有种排法，再进行排列，有种排法，共有种不同的放法，故B不正确； 对于C，共有共种分组方式，共有种不同的放法，故C正确； 对于D，相当于找到方程的非负整数解的数目，令， 则问题相当于找到方程的正整数解的数目， 相当于在9个球中间产生的8个空格插入两个隔板，故所求为，故D正确.故选：ACD. 【变式5-6】(2025·河南·三模)将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有 种.(用数字作答) 【答案】1512;324【难度】0.4【知识点】分类加法计数原理、元素(位置)有限制的排列问题、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用【分析】求出将这9个数填入，不同的填法种数，分两个1在同一行时和两个1不在同一行两种情况即可求解. 【详解】将这9个数填入，不同的填法种数为， 这9个数中有4个奇数，5个偶数， 因为填入的每行数之和为偶数，故每行有偶数个奇数，则只需将4个奇数按分成三组， 当两个1在同一行时，不同的填法种数为， 当两个1不在同一行时，不同的填数方法种数为. 故不同的填法种数为.故答案为：1512；324. 题型06 不定方程的正整数解的个数 【典例6-1】(24-25高二下·广东东莞·阶段练习)方程的正整数解的个数为(   ) A．15 B．35 C．40 D．20 【答案】D【难度】0.85【知识点】x+y+z=n的整数解的个数【分析】转化为将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球，利用隔板法进行求解. 【详解】原问题相当于将7个相同的小球装入4个不同的盒子里，每个盒子中至少有1个小球， 可采用隔板法，将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空位上插入3个隔板， 故共有种方法.故选：D 【典例6-2】(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有(    ) A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数【分析】将问题化为17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中，再应用组合数求不同的放法数. 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有(种)方法．故选：A 【典例6-3】(多选)(23-24高三上·江苏·开学考试)有方程，试讨论有序数对解的个数．下列分析正确的是(    ) A．若，，均为正整数，则解的个数为 B．若，，均为非负整数，则解的个数为 C．若，，均为正整数，且，，两两不等，则解的个数为341044 D．若，，均为正整数且满足，则解的个数为341044 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】分类加法计数原理、x+y+z=n的整数解的个数、分组分配问题 【分析】AB可转化为排列组合问题用档板法可得；C选项可先求，，相等时的解个数，再用排除法可得；D选项分为由相等和不相等并且的不同的类，利用分类加法可得. 【详解】选项A：因，，均为正整数， 则解的个数相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，， 所以解的个数为，故A正确； 选项B： 由得， 因，，均为非负整数，所以，，均为正整数， 与一一对应， 相当于把个用两个档板分成3份，分别对应，，， 所以解的个数为，故B正确； C选项：因，，均为正整数，， 若，则，不满足为正整数， 故，，至多有两个相等， 若，则,故的取值为从到的整数，共个， 所以，，有两个相等时的个数为个， 故，，两两不等时，解的个数为个，故C错误； 选项D：若，，均为正整数且满足， 当时，因， 所以，得，即， 所以的取值为从1到的整数，共674个，此时的个数为674个. 当时，因，所以，得，即， 因取正整数，所以的取值为从1到的奇数，共337个，此时的个数为337个. 当时，个用两个隔板分成3份，将其从小到大，分别对应，，， 有共有，故D正确.故选：ABD 【典例6-4】(2025高三·全国·专题练习)从3个箱子(每个箱子里的球足够多)里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【答案】6【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】应用隔板法，将5个小球排成一排，用2块挡板插入四个空中的2个，即可得. 【详解】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种．故答案为：6 【变式6-1】(24-25高二下·安徽安庆·阶段练习)已知，，，则关于，，的方程共有(    )组不同的解. A．36 B．45 C．50 D．24 【答案】A【难度】0.85【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案. 【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同的小球，将其分成3组，每组至少1个， 第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解， 所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可， 所以共有组不同的解.故选：A 【变式6-2】(24-25高二下·青海西宁·期末)已知方程，若x，y，z均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有(    )个正整数解. A．171 B．190 C．342 D．380 【答案】A【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、组合数的计算 【分析】先将题目问题进行转化；再利用隔板法进行求解. 【详解】因为x，y，z均为正整数，所以方程正整数解的个数问题可以转化为： 将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种.故选：A 【变式6-3】(24-25高二下·山东·阶段练习)方程的正整数解共有(   ) A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组．故选：B. 【变式6-4】(多选)(24-25高二下·湖北·阶段练习)下列说法正确的是(   ) A．集合的子集共有32个 B．若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C．3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 【答案】ABD【难度】0.85【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、元素(位置)有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用【分析】根据元集合的子集共有个判断A；利用排除法列式计算判断B；根据分步乘法计数原理判断C；利用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，集合有5个元素，子集个数为个，故A正确； 对于B，“small”的所有字母排列总数为种，其中1种是正确的排列， 因此，错误的排列共有共有种，故B正确； 对于C，3封信投入5个信箱，不同方法数有种，故C不正确； 对于D，将6个人站成一排，每班至少要1名，就有5个空然后插入2个板子把他们隔开， 从5个里选2五个，即有种．故D正确.故选：ABD. 【变式6-5】(22-23高二下·山东菏泽·期中)现有个小球和个盒子，下面的结论正确的是(    ) A．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空，则共有种放法 B．若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 C．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒的放法共有种 D．若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒的放法共有种 【答案】BC【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、分组分配问题 【分析】利用隔板法可判断AB选项；利用分组分配计数原理可判断CD选项. 【详解】对于A选项，若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，每个盒子都不空， 只需在个相同的小球中间形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种，A错； 对于B选项，若个相同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况，然后在个相同的小球中间形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种，B对； 对于C选项，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有一个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况，然后将这个不同的小球分为三组， 每组小球的个数分别为、、或、、或、、，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中， 所以，不同的放法种数为种，C对； 对于D选项，若个不同的小球放入编号为、、、的盒子，且恰有两个空盒， 先要指定空盒的编号，有种情况， 然后将这个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为、或、或、， 然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中， 所以，不同的放法种数为种，D错.故选：BC. 【变式6-6】(2025·湖南长沙·三模)在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部(不包括表面)的整点(横、纵、竖坐标均为整数的点)的个数为 ．(用数字作答) 【答案】969【难度】0.4【知识点】分类加法计数原理、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】根据给定条件，利用隔板法列式求出正整数解个数即可. 【详解】点是三棱锥内部(不包括表面)的整点，则 当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为；， 当时，不同的正整数解个数为；当时，不同的正整数解个数为， 所以三棱锥内部的整点的个数为 . 故答案为：969 题型07 其它组合模型 【典例7-1】(23-24高二上·江西南昌·期末)在空间直角坐标系中，已知点，若，，，且，则满足条件的点共有(    ) A．15个 B．20个 C．35个 D．56个 【答案】D【难度】0.85【知识点】分类加法计数原理、其他组合计数模型 【分析】根据讨论是否相等，结合组合数运算求解. 【详解】若，则满足条件的点共有个； 若中只有2个相等，可知或，则满足条件的点共有个； 若互不相等，则满足条件的点共有个； 综上所述：满足条件的点共有个.故选：D. 【典例7-2】(24-25高二下·江西景德镇·期中)总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有(    )种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D【难度】0.65【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、其他组合计数模型 【分析】将其转化为隔板法解决即可. 【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得(种).故选：D. 【典例7-3】(多选)(24-25高二下·广东清远·期中)下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有60种 C．过三棱柱任意两顶点的直线中，异面直线共有36对 D．用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】数字排列问题、实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】利用组合数的性质可判断A；根据排列数的概念可判断B；利用组合的定义结合四面体的性质可判断C；利用间接法结合分步计数原理可判断D. 【详解】对A，由，则或，解得或，故A错误； 对B，从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有种，故B正确； 对C，三棱柱有六个顶，可组成个四面体，而每个四面体有3对异面直线，则共有对，故C正确； 对D，根据分步计数原理可知用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成三位数的个数为，其中没有重复数字的三位数的个数为， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为，故D正确.故选：BCD 【典例7-4】(24-25高二下·陕西·阶段练习)集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为 . 【答案】1084【难度】0.65【知识点】其他组合计数模型 【分析】首先判断中的元素个数，再利用组合的定义，利用间接法，即可求解. 【详解】由条件可知, 因为，且集合中有3个元素，所以个， 因为满足的集合有个， 所以既满足，又满足的集合有个.故答案为：1084 【变式7-1】(24-25高二下·安徽安庆·期中)一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有(    )个 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A【难度】0.94【知识点】其他组合计数模型 【分析】根据题意结合组合数运算求解即可. 【详解】根据题意可知：集合的含有3个元素的子集有个.故选：A. 【变式7-2】(23-24高三上·河南驻马店·期末)用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有(    ) A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C【难度】0.85【知识点】分类加法计数原理、元素(位置)有限制的排列问题、其他组合计数模型 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【详解】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个.故选：C. 【变式7-3】(23-24高二下·浙江宁波·期末)已知实数，将这7个数适当排列成一列数，满足，则满足要求的排列的个数为(    ) A．58 B．71 C．85 D．96 【答案】B【难度】0.65【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、其他组合计数模型 【分析】根据题意，都比大，所以可能取或，分，和三类进行讨论. 【详解】根据题意，都比大，所以可能取或， 当时，有种选法，剩余数字中最大， 有种选法，最后剩下一个就是，共有种， 当时，，有种选法，剩余数字中最大， 而，有种选法，共有种， 当时，，，有种选法， 剩余数字，只有1种，共有种， 则满足要求的排列的个数为种.故选：B 【变式7-4】(2024·湖北·模拟预测)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( ) A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】D【难度】0.65【知识点】不相邻排列问题、其他组合计数模型 【分析】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得. 【详解】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有； 红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可，故； 红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故； 综上，共有种摆放方法.故选：D 【变式7-5】(多选)(24-25高二下·江苏镇江·期中)现有本不同的书，下列说法正确的有(   ) A．如果平均分成堆，则共有种分法 B．如果分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，则共有种不同分法 C．如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有种不同分法 D．如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有种分法 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、其他组合计数模型 【分析】利用平均分组原理可判断A选项；利用组合计数原理可判断B选项；利用分步乘法计数原理可判断C选项；考虑在所有的分法中除去甲乙两人分得书本的数量相同的情况，剩余的为甲乙两人分得书的数量不相同，且甲分得的书比乙多和乙分得的书比甲多的分法种数相等，结合间接法可判断D选项. 【详解】对于A选项，将本不同的书平均分成堆，则不同的分法种数为种，A对； 对于B选项，将本不同的书分给甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本， 则不同的分法种数为种，B对； 对于C选项，将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，则每本书有种不同的选择， 所以，不同的分法种数为种，C错； 对于D选项，将本不同的书任意分给甲、乙、丙三人，共有种， 在所有的分法中除去甲乙两人分得书本的数量相同的情况，剩余的为甲乙两人分得书的数量不相同， 且甲分得的书比乙多和乙分得的书比甲多的分法种数相等， 若甲乙分得书的数量相等，则甲乙丙三人分得书的数量可以为、、、， 所以，甲乙分得书的数量相等的分法种数为， 因此，甲分得的书比乙多的分法种数为种，D对.故选：ABD. 【变式7-6】(24-25高三上·云南昆明·阶段练习)如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构 成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑(不能跨越通行)．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 【答案】;【难度】0.65【知识点】实际问题中的组合计数问题、其他组合计数模型 【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可. 【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道． 所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法； 同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种． 故答案为：210，90 一、单选题 1.(24-25高二下·河北承德·期末)某班选派6名同学到学校的这3个活动场地做志愿者工作，每个场地至少去1名同学，每名同学只能去1个场地，且3个场地去的同学人数互不相同，则不同的选派方法种数为(    ) A．90 B．360 C．450 D．990 【答案】B【难度】0.85【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】先分三组，再进行全排列即可求解. 【详解】先分组有种方式，然后对这三组进行全排列有种方式， 由分步乘法计数原理可知，所求为.故选：B. 2.(24-25高二下·重庆·期中)若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】组合数方程和不等式、排列数的计算、排列数方程和不等式、组合数的计算 【分析】根据排列数、组合数公式得出关于的等式，结合求得值，进而可得出的值. 【详解】由题意可知，由可得， 整理可得，即， 因为，解得，故.故选：C. 3.(24-25高二下·河南郑州·期中)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为(   ) A．6 B．10 C．12 D．18 【答案】C【难度】0.85【知识点】元素(位置)有限制的排列问题、数字排列问题、代数中的组合计数问题 【详解】由能被整除的数个位为或，则若个位为，情况数为， 若个位为，当选中时，情况数为，当选中时，情况数为， 所以.故选C. 4.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)哈尔滨市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等六名教师被随机地分到四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法(    ) A．1080 B．1560 C．2640 D．3960 【答案】B【难度】0.65【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】根据分类加法计数原理和部分平均分组计数方法计算即得. 【详解】依题意，可分为两类情况：第一类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法； 第二类，将六名教师按照分配到四个不同的中学，有种分法. 故由分类加法计数原理，共有种不同分法.故选：B. 5.(2025高三·全国·专题练习)在正方体中，下列说法不正确的是( ) A．正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段 B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个 C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 【答案】C【难度】0.65【知识点】几何组合计数问题 【分析】利用几何组合计数问题，结合正方体，直三棱柱，三棱锥，四棱锥的结构特征，列式计算即可. 【详解】对于A，每两点确定一条线段，则正方体的8个顶点可确定不同的线段有条，A正确； 对于B，直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等，因此直三棱柱两底面在正方体相对面上， 以正方形的顶点为顶点的三角形有4个，从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个， 因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有个，B正确； 对于C，正方体顶点任取4个点，共有种选法， 其中四点共面的共有6个面和6个对角面共12种，因此三棱锥共有个，C错误； 对于D，由选项C，知正方体四点共面的情况有12种， 每一种情况，余下每个点对应1个四棱锥，因此四棱锥共有，D正确.故选：C. 6.(23-24高三下·云南昆明·阶段练习)把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为(    ) A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、全排列问题 【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解. 【详解】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法.故选：A． 7.(2025·重庆·模拟预测)某化工厂园区内有4个仓库，现要将A，B等6种化工原料储存在仓库中.为了方便使用，每种原料平分为2份储存在2个不同的仓库中，每个仓库储存3种不同的原料，且考虑到安全因素，原料A，B不能储存在同一个仓库，则不同的储存方案数为(   ). A．240 B．270 C．480 D．540 【答案】D【难度】0.4【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用【分析】先安排好A，B，再分类讨论安排C的组合方式及放法，由计数原理得解. 【详解】先把A分成两份放入两个仓库，再把B分成两份放入剩余两个仓库，共有种方法， 再把C分成两份，从剩余的D、E、F中取出一种分成两份与C组成一组，放入两个仓库，剩余的两种组合放入另外两个仓库，共有种放法， 也可从剩余的D、E、F中取出两种，与C组合成两份，则剩余的两种组合成两份，共有四种不同的组合，分别放入四个仓库，共有种种放法， 由分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得，共有种不同的方法，故选：D 8.(2024·山东日照·模拟预测)设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是(    ) A．12 B．21 C．27 D．33 【答案】C【难度】0.4【知识点】判断面面平行、证明线面垂直、几何组合计数问题 【分析】如图正方体，设直线为直线，可证平面，故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行，再结合图象确定与平面平行的平面，最后利用组合数公式计算可得. 【详解】如图正方体，设直线为直线， 如下图所示，对应棱上的点为对应棱的中点，连接，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，， ，平面，平面，平面，， 同理可证，又，平面，平面， 故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行， 易知与平面平行的平面有平面、平面、平面、平面， 所以满足条件的且与对角线垂直的线段共(个).故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题放到具体的图象中，从而确定所求线段(直线)的位置特征. 二、多选题 9.(24-25高二下·福建三明·期中)福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有种兰花，种三角梅共种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有种花卉参展，下列选项正确的是(     ) A．若展馆需要种花卉，有种安排方法 B．若“绿水晶”去展馆，有种安排方法 C．若“绿水晶”不去展馆，有种安排方法 D．若种三角梅不能去往同一个展馆，有种安排方法 【答案】AB【难度】0.85【知识点】排列组合综合、分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】对于A，从种精品花卉中安排种花卉给展馆即可；对于B，若“绿水晶”去 展馆，将剩下种花卉分到展馆即可；对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可；对于D，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，根据排列组合计算即可. 【详解】对于选项A，若展馆需要种花卉，种精品花卉选种安排在展馆即可，有种安排方法，所以选项A正确； 对于选项B，若“绿水晶”去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可，展馆至少有一种， 则有种安排方法，所以选项B正确； 对于C，若“绿水晶”不去展馆，则其必须去展馆，将剩下种花卉分到展馆即可， 则展馆至少有一种，则有种安排方法，所以选项C错误； 对于选项D，若种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在两个展馆，有种安排方法， 将种兰花安排在两个展馆，每种兰花都有种安排方法，则种兰花共有种安排方法， 则有种安排方法，所以选项D错误.故选：AB. 10.(24-25高二下·江苏·期中)下列说法正确的是(    ) A． B．将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C．某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D． 【答案】AC【难度】0.65【知识点】其他排列模型、x+y+z=n的整数解的个数、排列数的计算、组合数的计算【分析】对于A，根据排列数公式和阶乘运算性质即可判断；对于B，先给每个班分一个名额，然后利用挡板法即可判断；对于C，求出总情况，减去一种正确的情况即可判断；对于D，根据组合数的性质，得出或，逐一验证即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，先给每个班分一个名额，共用去3个名额，还剩6个名额分给3个班级，要求每个班级至少一个名额，利用挡板法，共有种，故B错误； 对于C，“apple”有 5 个字母，其中“p”重复 2 次，所以总的排列个数为， 除去一种正确的情况，所以可能出现的错误共有种，故C正确； 对于D，，解的，又为正整数，所以或， 当时，； 当时，，故D错误；故选：AC. 11.(23-24高二下·重庆·期末)设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则(    ) A．若，则或 B．若，则的可能取值为3或4或5 C．若的值确定，则 D．若为奇数，则的最大值为 【答案】ABD【难度】0.15【知识点】其他组合计数模型 【分析】根据题中的定义，结合选项，即可求解. 【详解】对A，当，则，则，则可取1或2， 由于不能同时成立，则或，A成立； 当时，则，设，则可以是或或，所以的值可以是，B成立； 对于，因为不能同时出现，所以满足条件的数对至多，则， 下归纳说明奇数时候能取等，已证， 若时候存在一个长为的数列满足题意， 不妨首项为1，设数列为， 当时，在数列前面添加如下的项， (在中插空，交替插入)， 则新生成的数列共有项满足条件，则D正确，C错误.故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意中元素与集合的关系. 三、填空题 12.(24-25高二下·陕西咸阳·期中)若，则正整数的值为 . 【答案】5或7【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】根据组合数的性质化简，列出方程，并计算出结果. 【详解】由组合数的性质，可得， 则，可得或，解得或.故答案为：5或7. 13.(2025高二·全国·专题练习)方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 【答案】455；969【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题、x+y+z=n的整数解的个数 【分析】第一空：将方程正整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法，第二空，通过转化为将方程正整数解的组数，采用隔板法求解即可. 【详解】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由，得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解．故答案为：455，969 14.(2024·甘肃张掖·一模)将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种. 【答案】5【难度】0.4【知识点】分组分配问题 【分析】间接法：利用分类加法原理求出“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面的情形，利用组合知识求解平均分两组的情形，作差即可求解； 直接法：由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组，利用分类加法原理和组合数求解即可. 【详解】方法一(间接法)：“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面是“标号为4的小球是所在组标号最大的”“标号为3的小球是所在组标号最小的”至少一个成立. 当标号分别为3和4的小球不在同一组时，有124，356一种分法， 且“标号为4的小球是所在组标号最大的”和“标号为3的小球是所在组标号最小的”同时成立. 当标号分别为3和4的小球在同一组时， 若“标号为4的小球是所在组标号最大的”成立，则有134，256和234，156两种分法； 若“标号为3的小球是所在组标号最小的”成立，则有126，345和125，346两种分法． 综上，不符合题意的分法有5种. 将6个小球平均分成两组，有种分法，所以符合题意的分法有种． 方法二(直接法)：当标号分别为3和4的小球在同一组时， 不论和它们在一组的小球的标号是1，2，5，6中的哪一个， “标号为4的小球不是所在组标号最大的”和“标号为3的小球不是所在组标号最小的”不能同时成立， 所以标号分别为3和4的小球不在同一组. 由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组． 故符合题意的分组方式有种．故答案为：5 【点睛】对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题； 组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． ②“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理． 四、解答题 15.(24-25高二下·广东深圳·期中)(1)解方程：(). (2)甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？ 【答案】(1)或；(2)【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用、分组分配问题【分析】(1)根据组合数的性质计算可得； (2)先分组，再分配，部分平均分组需除以组(相等的组)数的全排列. 【详解】(1)因为，所以或，解得或，经检验符合题意. (2)先把人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法，因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同的游玩方法有种. 16.(22-23高二下·湖北·阶段练习)(1)将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? (2)将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? (3)将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? (4)将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? (注：要写出算式，结果用数字表示) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【难度】0.65【知识点】x+y+z=n的整数解的个数、分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题【分析】(1)先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； (2)确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； (3)只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； (4)问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【详解】解：(1)将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； (2)每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； (3)将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； (4)将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 17.(2025高二·全国·专题练习)(1)把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放1个球，共有多少种不同的方法？ (2)把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子里至少放2个球，共有多少种不同的方法？ (3)把7个相同的小球放在3个不同的盒子里，其中可以有空盒子，共有多少种不同的方法？ (4)把7个不同的小球放在3个相同的盒子里，要求每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？ 【答案】(1)15种(2)15种(3)36种(4)301种【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】(1)法一利用排列数的性质求解，法二利用隔板法求解即可. (2)先将问题合理转化，再利用隔板法求解即可. (3)法一对空盒子的个数进行分类讨论，再求和即可，法二利用隔板法求解即可. (4)利用组合数的性质求解即可. 【详解】(1)法一：问题相当于先把7个相同的小球分成3堆，再分配到不同的盒子里. 把7个相同的小球分成3堆，有4种分法. 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 法二：在7个相同的小球中间的6个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. (2)可以先在每个盒子中放1个球，问题就变成将7个相同的小球放入3个不同的盒子， 每个盒子里至少放1个球，即将小球分为堆，会产生个空档， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. (3)法一：空0个盒子共有种，空1个盒子共有种， 空2个盒子共有种，综上，共有种方法. 法二：先借3个相同的球，在每个盒子里先放入1个借来的球， 则问题就转化为把10个相同的小球放在3个不同的盒子里，要求每个盒子都不空， 即在10个相同的小球中间的9个空档里， 选择2个空档，插入2块隔板，共有种方法. (4)由题意得盒子相同，按照球的个数可以分为，共4种， 第一类，按照来分，有种方法； 第二类，按照来分，有种方法； 第三类，按照来分，有种方法： 第四类，按照来分，有种方法 综上，共有种方法. 18.(23-24高二下·重庆·阶段练习)在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数；(2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 【答案】(1)120；(2)63；(3)518【难度】0.4【知识点】实际问题中的组合计数问题、几何组合计数问题 【分析】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数. 【详解】(1)点的横、纵坐标均有4种可能，则，所以所求线段的条数为. (2)如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条， 仅有3点共线的直线有6条， 所以这个点能确定的直线的条数为 (3)从这个点中选出3个点，共有种选法. 在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为. 19.(23-24高二下·浙江绍兴·期末)已知集合，对于，，定义与之间的距离为. (1)若，求所有满足的点所围成的图形的面积; (2)当时，，并且，求的最大值(用表示); (3)当时，求集合中任意两个元素之间的距离的和. 【答案】(1)8；(2)；(3)【难度】0.15 【知识点】绝对值三角不等式、代数中的组合计数问题、集合新定义 【分析】(1)根据可得，即可分类去掉绝对值求解， (2)分两种情况，结合绝对值不等式的性质放缩即可求解； (3)对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得个，可得个，可得个,即可求解和. 【详解】(1)由可得， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故围成的图形为正方形, 其中,如下：    故面积为 (2)设，， ， 所以，， 当， 当时， 综上所述，； (3)， 设 其中中均有个元素，, 共有个不同的元素，从的个不同的元素任取2个不同的元素共有种选法， 从中任选一个元素，对第一个位置的数字两两作差并取绝对值，可得个， 可得个，可得个， 其中个， 所以中所有元素的第一位的数字之和为， 对于中所有元素的其他同等位置的数字之和为均为， 故集合中任意两个元素之间的距离的和， 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题4.3组合 内容概览 1.教学目标、教学重难点 题型01组合数公式计算 题型02组合数方程、不等式 题型03代数中的组合数 4.3组合 2.知识点01组合概念、组合数公式 题型04几何中的组合数 题型05分组分配问题 题型06不定方程的正整数解的个数 3.知识点02组合数的应用：隔板法 题型07其它组合模型 教学目标、教学重难点 1、理解组合、组合数概念，掌握组合数公式及组合数运算性质； 教学目标 2、掌握组合数应用的常用模型及解法： 1、重点：组合数公式及运算性质，组合数常用模型及解法； 教学重难点 2、 难点：组合数方程与不等式、几何中的组合数计算： 知识清单 知识点01组合概念、组合数公式 1。组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出（≤n,n,m∈N)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①包含两个基本内容，一是取出元素；二是合成一组，没有顺序之分： ②两个组合相同的条件：元素完全相同： (3)记数原理、排列与组合的区分：分类加法、分步乘法；有序排列、无序组合； 2。组合数 (1)组合数定义：从n个不同元素中取出(m≤n,n,∈N)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号C”表示. ②组合数公式C一怎=分=n这里，m∈X,并且mS Am(m-1)(m-2)…21 (3)特殊地：Ch=C9=1,C”=C-m,C+1=C+C-1 3.排列组合综合问题的策略：先选后排： 【即学即练1-1】(24-25高二下·广东江门·期末)计算C+2A?的值是() A.41 B.61 C.62 D.82 【答案】B【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可. 第1页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解1C=521x2 7L-6x7-21,A=4x5=20,2A=2×20=40, 3! 因此C+2A2=21+40=61.故选：B. 【即学即练1-2】(24-25高二下江苏南通阶段练习)集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集 合中各取1个元素，不同方法的种数是() A.Ct B.CC C.A D.A 【答案】B【难度】0.94【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果 【详解】从集合A中取1个元素有C种方法，从集合B中取1个元素有C种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有CC种方法.故选：B. 知识点02组合数的应用：隔板法 模型：将n个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有C种： 解法：“隔板法”，因为元素相同，所以可将这n个元素排成一列，共有(n-1)个空，使用(-1)个“挡板” 进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子： 应用：不定方程的正整数解的个数： 【即学即练2】(24-25高二下.内蒙古期末)方程X1+X2+X3+X,+X,=21的正整数解共有() A.C组 B.C组 C.C2o组 D.C组 【答案】C【难度】0.85【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法？ 由隔板法可得，方程X1+X2+X,+X4+X,=21的正整数解共有C2。组.故选：C 题型精讲 题型01组合数公式计算 【典例1-1】(24-25高二下·福建福州期末)计算A+2C的值是() A.48 B.76 C.148 D.176 【答案】B【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数和组合数的计算公式得到答案， 【详解】A:+2C=56+2×10=76.故选：B 【典例1-2】（多选(2425高二下广东广州·期中）已知，n∈N且n≥，则下列结论正确的是() A.A%=CA%B.若C=21,则n=6C.C%=C1+CD.C=(+1)C 【答案】ABC【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算【分析】对于A:根据阶乘的定义分析 第2页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 判断：对于B:根据组合数公式列式求解：对于C:根据组合数公式分析证明：对于D:举反例说明即可. 【详解】因为，neN且n≥m,对于选项A:由排列与组合的含义可以推出，故A正确： 对于选项：因为C以-仁2-山，整理得+=0，解得川=6或刀=-7（舍去放B正确： 2 n！ n！ n! 选项C:因为C+cmmm+ma-m！ka-m+m+2-m+1一h m(a-m+1功C, 即C%=CW+C,故C正确： 对于选项D:例如m=n=1,则C=C=1,(n+1)C=2C=2,可知C1≠(n+1)C,故D错误： 故选：ABC 【典例1-3】（多选25-26高二上·全国.单元测试）己知m,n∈N且≤n,则下列等式正确的是() A.A1o=Ao B.C= C.(n+1A"=A 3 D.C=m+lc" n+1n 【答案】BC【难度】O.85【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可， 【详解】A错，A。=10×9×8×7=5040,A。=10×9×8×7×6×5=151200. B对，C=7x6x5A 3×2×13! C对，（红+1）A=+=(n+1 (n+1) (n+1) a-m1次mAa+1-m-司-m ,所以(+1)A=A. n m+1、(2+1 D错，C= 三nka-mn+1(m+1ka-mj2+iC.故选：BC. 【典例1-4】(24-25高二下河北石家庄·期末)计算：A-15C=」 【答案】60【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可 【详解】A:-15C=15x14-15× 5！ (3)×(21 =15x14-15x5X4=60,故答案为：60 2 I变式1-1】(24-25高二下.吉林长春期末)计算A+C=() A.6 B.35 C.41 D.45 【答案】C【难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算【分析】根据组合数及排列数计算求解 【详解】A=3×2×1=6,C=7x6x5=35,6+35=41,故选：C. 3×2×1 【变式1-2】(23-24高二下广东清远阶段练习)计算CA=() A.252 B.126 C.84 D.63 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数和组合数运算法则计算即可 【详解】CA=C-A;=76x3×2=126.枚选：B. 2×1 第3页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式13】(23-24高二下-江苏镇江期末)化简C+9 1×22×33×4 C器一-结果为() 25×2626×27 A. 226-26 B. 226-27 C. 227-27 D. 227-28 650 650 702 702 【答案】D【难度】0.4【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可 【详解】 C+坠+C+ 1×22×33×4 25×2626×272!3!4! 26!27! -A+A+A++AA+A兰-A+超，学A兰++ CACAS 271 27! 271 27！271-271 271 271 271 271 C C C2 C,=C+C+C+C4+C++C+C-28 十 十十 26×2726×2726×27 26×27'26x27 26×27 227-28227-28 故选：D 26×27 702 【点睛】本题解匙的关健是利用排列数和利组合数性质将可低次巧妙变形得一A-个。 (n+1)H 27 271 然后根据此式依次变形计算即可求解， 【变式1-4】(23-24高二下山东期中)已知a=A8,b=1020,c=C0,则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 【答案】C【难度】0.4【知识点】组合数的计算、比较指数幂的大小、排列数的计算【分析】先借助排列数 的定义与指数定义得到a与b的关系后，借助组合数定义结合放缩可比较a与c的关系，即可得解 【详解】a=20×19×18××2×1,b=10×10×10×…×10×10,均由20个数相乘组成， 其中前两项和最后一项比较20×19×1<10×10×10， 其他项18×2<10×10,17×3<10×10直到11×9<10×10，故a<b, c=40X39X38xx22x21<2x3°×4x×5°×6×8×11x21, 20×19×18×.-×2×1 其中a=20×19×18×.…×2×1里面前四项大于2×31°×43×52×6×8x11x21中的后五项， 即20×19×18×17>5×6×8×11×21， 其他项均要对应大于或等于剩余2×31×4×5中的每一项，故c<a.故选：C. 【变式1-5】（多选2025高二全国.专题练习（多选题）下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是(). A.A=四 B.(n+2)(n+1)A=A n! C.C+C+C号++Ci0=Cio D.C+C是一个常数 【答案】BD【难度】0.85【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算【分析】由排列数 公式判断AB,由组合数的性质化简判断C,根据组合数的性质得=2，然后代入计算判断D. m! 【详解】由排列数公式A(m一m知A不正确， 第4页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a+ae-e+a+。名+-A,B正痛， 由组合数的性质可知，C+C+C+…+C0=C+C+C+…+C0-1=C+C+C+.+C。-1=Co1-1, 故C不正确， 2n-1≥n-2 D选项中，n应该满足 n+122-1'且2n-1≥0，n-2≥0，neN,解得n=2, 因此C品+C=C+C=2,D正确.故选：BD 【变式1-6】(24-25高二下广西南宁期中)计算3A;+4C。 (用数字作答) 〔答案】0难度】0.94【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据排列数以及组合数的计算公式即可求解 6×5×4 【详解】3A;+4C& 3×5×4×3+4× 130 3×2×1- 3×60+4×20130,故答案为：3 3! 3×2×1 6 3 题型02组合数方程、不等式 【典例2-1】（多选23-24高二下福建南平期末若A=C,则n的值可能为） A” A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】BC【难度】0.94【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、排列数的计算、组合数方程和不 等式【分析】利用组合数公式化简，再利用组合数性质求出的值. 【详解】依题意， A0=101 =Co,因此C。=C1。,所以n=4或n=6.故选：BC A:10-m！ 【典例2-2】(24-25高二下-江苏南通阶段练习)若C%=C%-3，则n=(） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为C%=Cg3,所以n=2n-3或n+21-3=6, 当n=2n-3时，解得n=3,经检验，符合题意， 当n+2n-3=6时，解得n=3,经检验，符合题意， 综上，得到n=3,故B正确故选：B 【典例2-3】(23-24高二上福建宁德期末)若C%=C+,则C3+C+C++C2的值为) A.45 B.55 C.120 D.165 【答案】D【难度】0.65【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质可求得C+C+C:++C的值. 【详解】因为C%=C2,则m+m+2=22,解得m=10, 第5页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故C经+C好+C子+…+C0=C3+C3+C学+…+C0=C+C隆+…+C0=…=Ci0+C1o=Ci1=165. 故选：D. 【典例2-41（多选24-25高二下·云南昆明，期中）若C8=C-8，则x的值为) A.8 B.5 C.12 D.7 【答案】AC【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质计算即可. 【详解】因为C=C8,所以x=2x-8或x+2x-8=28,解得x=8或x=12, 因为8<28,12<28，故x=8或x=12均符合题意.故选：AC 【变式21】(25-26高三上河北开学考试)若C+4=C,则n的值为） A.12 B.5 C.12或5 D.3或5 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质列出方程求解即可」 0≤2n+4≤21 【详解】由组合数的性质可得 0≤3n-8≤21' 解得8≤n≤85， 又C4=C1-8，所以2n+4=3n-8或2n+4+3n-8=21,解得n=12(舍去)或n=5.故选：B 〖变式2-2】(24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末)若C=6,则n=() A.2 B.3 c.4 D.5 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式可得出关于n的等式，结合neN可求得n的值. 【详解】C= n+=n+山-6，整理得2+n-12=0,因为n∈N,解得1=3.故选：B. (n-1)x2！2 【变式2-3】(24-25高二下广西百色期末)若C3=C(neN,),则n=() A.5 B.6或5 C.7 D.7或8 【答案】B【难度】0.85【知识点】组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】：C3=C(neN), .由组合数的性质可得2n-3=n+3或2n-3+n+3=15,则n=6或5.故选：B. 【变式2-4】（多选）22-23高二下·贵州阶段练习)下列结论正确的是() A.3×4×5=AB.C+C=C%C.若Ci0=C62,则x=3D.C+C+C+C=64 【答案】AD【难度】085【知识点】组合数方程和不等式、排列数的计算、组合数的性质及应用、组合数 的计算【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解. 【详解】对于A,3×4×5=A,故A正确， 3,C?+C=2C=2×,=20,G=。=5,故C5+C≠C6,故B 2 第6页共37页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 对于C,Ci0=C2则x=2x-2或x+2x-2=10,解得x=2或x=4,故C错误， 对于D,Cg+C+Cg+C9=C9+C+Cg+C=1+7X6+7X6x5+7=64,赦D正确，赦选：AD 23×2 【变式2-5】（多选）23-24高二下.河北张家口·期中)已知，neN且n≥m,则下列结论正确的是() A.nl=n(n-1)!B.若C=21,则n=6C.C%1=C1+C D.C"=(n+1)C" 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】组合数方程和不等式、利用组合数公式证明 【分析】对于A:根据阶乘的定义分析判断：对于B:根据组合数公式列式求解： 对于C:根据组合数公式分析证明；对于D:举反例说明即可. 【详解】因为m,neN且n≥m,，对于选项A:由阶乘的定义可知n!=n(n-l)!,故A正确： 对于选项B:因为C-1x22 (n+1)!n(n+1) =21, 整理得n2+n-42=0,解得n=6或n=-7(舍去)，故B正确： n! (n+1)1 对于选项C:因为C+G-收依-m+m-m(-阳+-+-园C, 即C=C+C,故C正确： 对于选项D:例如m=n=1,则C=C=1,(n+1)C=2C-2,可知Cm≠(n+1)C,故D错误： 故选：ABC 【变式2-6】(24-25高二下.上海宝山期中)若n为正整数，则不等式C%<4的解集是 【答案】{2,3}【难度】0.65【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】C<4化为0n-24,即-n-8<0解得)空<n<22,因为meN,22,则n=2,3 2 2 故原不等式的解集为{2,3}故答案为：{2,3}. 题型03代数中的组合数计算 【典例3-1】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小， 则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为) A.C B.Ag C.Clo D.Aio 【答案】C【难度】0.85【知识点】组合数的计算、代数中的组合计数问题 【分析】由组合数的意义即可求解， 【详解】因为一个自然数从左往右，每一位上的数字依次减小，则称自然数是“渐降数”， 在0,1,2,3，…，9中任取4个数，其大小关系确定，所以”渐降数”共有C。个，故选：C I典例3-2】(24-25高二下·北京丰台·期中)用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数 为) A.24 B.18 C.12 D.6 第7页共37页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【答案】C【难度】0.85【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、代数中的组合计数问题、分步乘法计数原 理及简单应用【分析】先排个位，再排千位、百位和十位，即得结果。 【详解】先排个位，有C种选法，再排千位、百位和十位，有A种排法， 因此共有C2A=12种排法，故选：C. 凰典例3-3】（多选24-25高二下·山东济宁·期中）下列说法正确的是() A.用1~9这9个自然数组成的四位数的个数是4 B.用1~9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是A C.用1~9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字 的四位数的个数是C。 D.用1~9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 A2xC 【答案】BC【难度】0.65【知识点】数字排列问题、代数中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】按照分步乘法计数原理判断A,利用排列数公式判断B,利用组合数公式判断C,先排两个数，再 利用插空法判断D. 【详解】对于A:用1~9这9个自然数组成的四位数的个数是9x9x9x9=94,故A错误： 对于B:用1~9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是A,故B正确： 对于C:因为各位数字从左到右依次递增，所以排列方法唯一且不能出现重复数字， 所以这样的四位数有C,个，故C正确： 对于D:首先从其余7个数字中选出2个数字并排列好，有A?种， 再将1和3插入所形成的三个空中，则有A种插法， 按照分步乘法计数原理可知一共有A?×A个数字，故D错误故选：BC 【典例3-4】(24-25高二下·陕西安康·期末)从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之 差不为1，则这样的取法总数为 【答案】20【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题、分类加法计数原理【分析】先求出八个连续整 数任选3个数的情况数，再分别求出三个连续数和三个数中只有两个数连续的个数，相减可得答案。 【详解】八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8， 先任选3个数，有C=56种取法， 其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4：3,4,5；4,5,6：5,6,7；6,7,8： 三个数中只有两个数连续， 比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种， 同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种， 比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种， 同理，3,4：4,5；5,6：6,7均有4种， 所以此时共有5×2+4×5=30种， 第8页共37页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1， 共有56-6-30=20种选法.故答案为：20 【变式31】(24-25高二下江苏徐州阶段练习)用0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的 三位数，其中偶数共有() A.105个 B.42个 C.146个 D.52个 【答案】A【难度】O.85【知识点】数字排列问题、代数中的组合计数问题 【分析】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【详解】若个位数字为0，则有A2=30个 若个位数字为2，则有CC=25个： 若个位数字为4，则有CC=25个： 若个位数字为6，则有CC=25个； 综上可得一共有30+25×3=105个.故选：A 【变式32】(23-24高二下山东菏泽.期末)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中， 使得表中数字满足α>b,c>d,则满足条件的排法种数为() a b c d A.45 B.60 C.90 D.180 【答案】C【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分两步完成，第一步从6张卡片中任取2张卡片放入a、b,第二步从剩下的4张卡片中任取2张 卡片放入C、d,按照分步乘法计数原理计算可得 【详解】首先从6张卡片中任取2张卡片放入a、b(较大的数放入a)有C%种方法： 再从剩下的4张卡片中任取2张卡片放入c、d(较大的数放入C)有C?种方法： 综上可得一共有CC?=90种不同的排法故选：C 【变式3-3】(2024河南商丘模拟预测)已知x,y,二∈{-2，-1,0,1,2}，且x2+y2+z2=5,则在空间直角坐标系 Oxz中，(x,y,=)对应的点的个数为) A.48 B.24 C.12 D.6 【答案】B【难度】0.65【知识点】代数中的组合计数问题 【分析】根据坐标的特点确定元素取值情况，再根据排列组合计数即可得结论. 【详解】已知x,y,二∈{-2，-1,0,1,2}，且x2+y2+z2=5, 则x,y,2在-2或2里取一个值，-1或1里取一个值，0必取值， 故符合的取法对应的点(x,y,=)的个数为C,CA;=2×2×6=24.故选：B 【变式3-4】(2024高三·全国专题练习)大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术 基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘 积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数(N不 第9页共37页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为素数)能唯一地写成N=p·p…p(其中P,是素数，4是正整数，1≤i≤k,P<P2<…<P),将上 式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有4+4+·+4个素数.从120的标准分解式中任取 3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为) A.6 B.13 C.19 D.60 【答案】B【难度】0.4【知识点】排列数的计算、代数中的组合计数问题【分析】根据题意，得出从2,2， 2,3,5这5个素数中任取3个组成三位数，分三种情况，结合排列数和组合数的公式，即可求解 【详解】根据自然数N的标准分解式可得120=23×3x5, 故从2,2,2,3,5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况： ①选取3个2，可以组成1个三位数： ②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成C2·C=6个不同的三位数： ③选取2,3,5，可以组成A=6个不同的三位数， 所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成1+6+6=13个不同的三位数.故选：B. 【变式3-5】（多选23-24高二下广东深圳阶段练习）用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则() A.可组成360个四位数 B.可组成108个是5的倍数的四位数 C.可组成各位数字之和为偶数的四位数有180个 D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第88个数为2310 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、代数中的组合计数问题 【分析】结合千位数字不能为0，利用分步乘法计数原理列出式子可判断选项A:根据5的倍数的数字特点 分类讨论可判断选项B:先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，再根据计数原理列出式子可判断选 项C:对四位数的千位和百位进行讨论可判断选项D. 【详解】对于选项A:先安排千位上的数字，有C种；再安排百位、十位和个位上的数字，有A种； 根据分步乘法计数原理可得，共组成CA?=300个四位数，故选项A错误： 对于选项B:因为5的倍数的四位数个位上为0或5， 所以分为两类：当个位是0时，有A:=60种；当个位上5时，有CA=48种， .共有60+48=108种，故选项B正确： C选项，先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，有(01,2,3)，(0,1,2,5)，(0,1,3,4)，(0,1,4,5)，(0,2,3,5)， (0,3,4,5),1,2,3,4),1,2,4,5),(2,3,4,5): 再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共CA×6+A4×3=180种，故选项C正确： 对于选项D选：因为千位为1的四位数有A=60个： 千位为2，百位为0的四位数有A号=12个： 千位为2，百位为1的四位数有A?=12个： 共60+12+12=84： 而千位为2，百位为3的四位数从小到大排列有：2301,2304,2305,2310， 第10页共37页丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.3组合 内容概览 1.教学目标、教学重难点 题型01组合数公式计算 题型02组合数方程、不等式 题型03代数中的组合数 4.3组合 2.知识点01组合概念、组合数公式 题型04几何中的组合数 题型05分组分配问题 题型06不定方程的正整数解的个数 3.知识点02组合数的应用：隔板法 题型07其它组合模型 教学目标、教学重难点 1、 理解组合、组合数概念，掌握组合数公式及组合数运算性质： 教学目标 2、掌握组合数应用的常用模型及解法： 1、重点：组合数公式及运算性质，组合数常用模型及解法； 教学重难点 2、 难点：组合数方程与不等式、几何中的组合数计算： 知识清单 知识点01组合概念、组合数公式 1。组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出（≤n,n,m∈N)个元素，合成一组，叫做从n个不同元素中取出 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①包含两个基本内容，一是取出元素；二是合成一组，没有顺序之分： ②两个组合相同的条件：元素完全相同： (3)记数原理、排列与组合的区分：分类加法、分步乘法；有序排列、无序组合； 2。组合数 (1)组合数定义：从n个不同元素中取出(m≤n,n,∈N)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号C”表示. ②组合数公式C一悬=2=：这里，儿mEN,并且m≤n Am(m-1)(m-2)…21 (3)特殊地：Ch=C9=1,C”=C-m,C+1=C+C-1 3.排列组合综合问题的策略：先选后排： 【即学即练1-1】(24-25高二下·广东江门·期末)计算C+2A?的值是() A.41 B.61 C.62 D.82 【即学即练1-2】(24-25高二下·江苏南通阶段练习)集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集 第1页共16页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 合中各取1个元素，不同方法的种数是() A.Ct B.CC C.Am D.Am 知识点02组合数的应用：隔板法 模型：将n个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有C,种； 解法：“隔板法”，因为元素相同，所以可将这n个元素排成一列，共有(n-1)个空，使用(-1)个“挡板” 进入空档处，则可将这n个元素划分为个区域，刚好对应那m个盒子： 应用：不定方程的正整数解的个数： 【即学即练2】(24-25高二下内蒙古期末)方程X,+X2+X,+X4+X,=21的正整数解共有() A.C组 B.C21组 C.C20组 D.C1组 题型精讲 题型01组合数公式计算 【典例1-1】(24-25高二下·福建福州期末)计算A:+2C的值是() A.48 B.76 C.148 D.176 【典例1-2】（多选）(24-25高二下.广东广州期中)已知，n∈N且n≥m,则下列结论正确的是(） A.A"CMAm B.C=21,=6 C.Cm Ca+C D.Ca =(n+1)C 【典例1-3】（多选25-26高二上·全国.单元测试）已知，n∈N,且≤n,则下列等式正确的是() A.A。=A。B.Cg=A 31 C.n+)A”=AHD.C=n+1Cn 【典例1-4】(24-25高二下河北石家庄·期末)计算：A-15C= 【变式1-1】(24-25高二下·吉林长春.期末)计算A+C=() A.6 B.35 C.41 D.45 【变式1-2】(23-24高二下广东清远阶段练习)计算CA=() A.252 B.126 C.84 D.63 【变式131(2324商二下江苏镇江期未化简24十+C6,7结果州) 1×22×33×4 25×2626×27 第2页共16页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 226-26 B. 226-27 C. 227-27 D. 227-28 650 650 702 702 【变式1-4】(23-24高二下山东期中)已知a=A0,b=1020,c=C0,则(） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 【变式1-5】（多选)2025高二全国专题练习)川多选题)下列关于排列数、组合数的计算中，正确的是(). A.A=四 B.(n+2)n+1)A=A n! C.j+C+++Cioo=Clor D.C2+Cm是一个常数 【变式1-61(24-25高二下广西南宁期中计算3A+4C。 (用数字作答) 31 题型02组合数方程、不等式 【典例21】（多选23-24高二下福建南平期末）若A=C,则n的值可能为) A A.3 B.4 C.6 D.8 【典例2-2】(24-25高二下江苏南通阶段练习)若C%=C%-3,则n=() A.2 B.3 C.4 D.5 凰典例2-3】(23-24高二上福建宁德期末)若C2=C2,则C+C+C++Cm的值为) A.45 B.55 C.120 D.165 【典例2-4】（多选24-25高二下云南昆明期中）若C=C-8,则x的值为） A.8 B.5 C.12 D.7 【变式21】(25-26高三上河北开学考试)若C4=C1-8,则n的值为(） A.12 B.5 C.12或5 D.3或5 【变式2-2】(24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期末)若C%=6,则n=() A.2 B.3 C.4 D.5 【变式2-3】(24-25高二下广西百色期末)若C-3=C(nEN+),则n=() A.5 B.6或5 C.7 D.7或8 第3页共16页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-4】（多选22-23高二下·贵州阶段练习）下列结论正确的是() A.3×4×5=AB.C+C=CC.若C。=C-2,则x=3D.C9+C+C+C=64 凰变式2-5】（多选23-24高二下·河北张家口·期中)己知，neN且n≥，则下列结论正确的是() A.n!=n(n-l) B.若C%=21,则n=6C.Cm1=C1+CD.C1=(n+1)C网 【变式2-6】(24-25高二下·上海宝山期中)若n为正整数，则不等式C%<4的解集是 题型03代数中的组合数计算 凰典例3-1】(24-25高二下.云南昆明阶段练习)对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次减小， 则称自然数是“渐降数”，那么四位数的“渐降数”的个数为) A.C B.A C.Cio D.Aio 【典例3-2】(24-25高二下.北京丰台期中)用数字1,2,3,4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数 为) A.24 B.18 C.12 D.6 【典例3-3】（多选24-25高二下·山东济宁·期中）下列说法正确的是(） A.用1~9这9个自然数组成的四位数的个数是4 B.用1~9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数的个数是A C.用1~9这9个自然数组成的千位数字小于百位数字，百位数字小于十位数字，十位数字小于个位数字 的四位数的个数是C D.用1~9这9个自然数组成的没有重复数字的四位数中，包含1和3，且1和3不相邻的四位数的个数是 A2xC 【典例3-4】(24-25高二下·陕西安康期末)从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之 差不为1，则这样的取法总数为一· 【变式31】(24-25高二下江苏徐州阶段练习)用0,1,2,3,4,5,6这七个数字组成没有重复数字的 三位数，其中偶数共有() A.105个 B.42个 C.146个 D.52个 【变式32】(23-24高二下山东菏泽期末)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中， 使得表中数字满足a>b,c>d,则满足条件的排法种数为() 第4页共16页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 d A.45 B.60 c.90 D.180 【变式3-3】(2024河南商丘模拟预测)已知x,y,二∈{-2，-1,0,1,2}，且x2+y2+z2=5,则在空间直角坐标系 Oxz中，(x,y,=)对应的点的个数为) A.48 B.24 C.12 D.6 【变式3-4】(2024高三·全国.专题练习)大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术 基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘 积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数(W不 为素数)能唯一地写成N=p·p…p(其中P,是素数，a4是正整数，1≤i≤k,，B<P2<…<P),将上 式称为自然数N的标准分解式，且N的标准分解式中有4+4，+·+a,个素数.从120的标准分解式中任取 3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为) A.6 B.13 C.19 D.60 【变式3-5】（多选23-24高二下广东深圳阶段练习）用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，则() A.可组成360个四位数 B.可组成108个是5的倍数的四位数 C.可组成各位数字之和为偶数的四位数有180个 D.若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第88个数为2310 【变式36】(2425高二下-江苏期末)已知M=1≤x≤16，x∈N),A={:,5,x}cM,且+2+3x∈Z.则 3 满足条件的集合A共有个. 题型04几何中的组合数计算 【典例4-1】(24-25高二下.山东烟台阶段练习)正八边形的对角线的条数为) A.20 B.28 C.40 D.56 【典例42】(2025安徽模拟预测)在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有() A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 《典例43】（多选23-24高二下·广东江门期末)在正方体中，下列说法正确的是(） A.正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段B.以正方体的项点为顶点的直三棱柱有12个 C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个 D.以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个 第5页共16页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例44】(24-25高二下·安徽六安·期中)以平行六面体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 【变式41】(24-25高三·上海·课堂例题)有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶 点，可以作 个三角形.() A.28 B.42 C.56 D.112 【变式42】(24-25高二下广东汕头期末)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是() A.70 B.66 C.62 D.58 【变式4-3】(24-25高二下.广东阶段练习)现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色， 要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有() A.360种 B.420种 C.120种 D.480种 ④ ① ⑤ ③ ② 【变式4-4】(24-25高二下山西期中)己知平面/平面B,平面内有A,B,C,D,E共5个点，其中有且仅 有A,B,C三点共线，平面阝内有F,G,H,J共4个点，任意三点不共线，则以这9个点为顶点的三棱锥最多 有() A.80个 B.86个 C.116个 D.136个 【变式45】（多选2024重庆模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下 列说法正确的有（不同的图形指两个图形中至少有一个项点不同(） A.可以围成20个不同的正方形 B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等） C.可以围成516个不同的三角形 D.可以围成16个不同的等边三角形 【变式46】(24-25高三下·重庆阶段练习)在组合学重要分支“图论”中，把经过点P的线段的条数定义为该 点的“度”，记作d(P),比如在左图中，d(A)=2,在右图中d(B)=3,保留左图，右图原有的连线，增加 连线AB,(i=1,2,3,j=1,2,3,4)得到的图形中所有点的度数之和为 第6页共16页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05分组分配问题 【典例5-1】(24-25高二下广东江门期末)把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的 分法共有() A.4 B.6 C.10 D.24 【典例5-2】(25-26高三上重庆阶段练习)某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作.每名学生都 要参与且只负责某个地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有() A.300种 B.90种 C.240种 D.150种 【典例5-3】（多选(2025高三全国·专题练习）现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4 的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有() A.没有空盒子的方法共有16种 B.有空盒子的方法共有256种 C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【典例54】(23-24高二下江苏准安期中)某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来 纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人.（用数字表示） (1)有 种不同的安排方法： (2)由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有 种不同的安排方法。 【变式51】(24-25高二下·湖北期末)某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与， 要求每个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一 个活动项目，那么不同的人员分配方案共有()种？ A.18 B.24 C.30 D.36 第7页共16页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式52】(24-25高二下浙江温州期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名 英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有() A.12种 B.14种 C.24种 D.48种 【变式5-3(2025·全国模拟预测)2025年1月7日9时5分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地震.现 从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有() A.1800 B.16800 C.14280 D.25200 《变式5-4】(24-25高二下·福建福州期末)某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名 专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有() A.60种 B.90种 C.120种 D.150种 【变式5-5】（多选）24-25高二下…江苏南京·期中)下列说法正确的是() A.4个不同的小球，放入3个不同的盒中，共有81种不同的放法 B.4个不同的小球，放入3个不同的盒中，不能有空盒，共有12种不同的放法 C.6个相同的小球，放入3个不同的盒中，不能有空盒，共有10种不同的放法 D.6个相同的小球，放入3个不同的盒中，共有28种不同的放法 凰变式5-6】(2025河南·三模)将1,1,2,2,2,2,2,3,5这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入， 且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有 种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的 填法共有 种（用数字作答） 第1行 第2行 第3行 题型06不定方程的正整数解的个数 凰典例6-1】(24-25高二下，广东东莞阶段练习)方程x+x2+x+x4=7的正整数解的个数为) A.15 B.35 C.40 D.20 【典例6-2】(24-25高二下·江苏南京·期中)20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每 个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有() A.120 B.240 C.300 D.360 【典例6-3（多选(23-24高三上江苏·开学考试）有方程x+y+二=2023，试讨论有序数对(x,y,)解的个数.下 第8页共16页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 列分析正确的是() A.若x,y,，z均为正整数，则(x,y,)解的个数为Co22 B.若x,y,z均为非负整数，则(x,y,)解的个数为Co2s C.若x,y,z均为正整数，且x,y,z两两不等，则(x,y,)解的个数为341044 D.若x,y,z均为正整数且满足x≤y≤z,则(xy,=)解的个数为341044 〖典例64】(2025高三·全国专题练习)从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选 2个小球，不同的选法有种。 凰变式61】(24-25高二下，安徽安庆阶段练习)已知x∈N,y∈N,zeN,则关于x,y,z的方程 x+y+z=10共有()组不同的解， A.36 B.45 C.50 D.24 【变式62】(24-25高二下·青海西宁期末)己知方程x+y+z=20,若x,y,z均为正整数，则称(x,y,)为 该方程的正整数解.则方程x+y+z=20共有()个正整数解 A.171 B.190 C.342 D.380 【变式6-3】(24-25高二下山东阶段练习)方程x+x2++2x,+2x+3x。=15的正整数解共有() A.50组 B.58组 C.60组 D.66组 【变式6-4】（多选24-25高二下·湖北阶段练习)下列说法正确的是() A.集合{a,b,C,d,e}的子集共有32个 B.若把英文“sal的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C.3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D.6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 【变式6-5】(22-23高二下山东菏泽期中)现有6个小球和4个盒子，下面的结论正确的是() A.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，每个盒子都不空，则共有24种放法 B.若6个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有40种 C.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有2160种 D.若6个不同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有384种 【变式6-6】(2025·湖南长沙.三模)在空间直角坐标系Oxz中，点A(20,0,0),B(0,20,0),C(0,0,20),已知若点 P(a,b,c)在平面ABC内，则a+b+c=20,则在三棱锥O-ABC内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均 为整数的点)的个数为 (用数字作答) 第9页共16页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型07其它组合模型 【典例7-1】(23-24高二上江西南昌·期末)在空间直角坐标系中，己知点P(a,b,c),若a,b,c∈N,且 a≤b≤c<7,则满足条件的点P共有() A.15个 B.20个 C.35个 D.56个 【典例7-2】(24-25高二下·江西景德镇期中)总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、 ②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放 三个小球，问总共有( )种放小球方法 ① ② ③ A.120 B.84 C.45 D.36 凰典例7-3】（多选）(24-25高二下广东清远·期中)下列说法正确的是() A.若C8=C-8,则x=4 B.从五个人中选三个人站成一排，则不同的排法有60种 C.过三棱柱任意两顶点的直线中，异面直线共有36对 D.用0,1,2，，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为252 【典例7-4】(24-25高二下·陕西·阶段练习)集合A和集合B各含有12个元素，A⌒B含有4个元素，集合C 满足：①C二(AUB):②C∩A≠：③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为 【变式7-1】(24-25高二下·安徽安庆期中)一个集合有5个元素，这个集合的含有3个元素的子集有()个 A.10 B.20 C.30 D.40 【变式7-2】(23-24高三上河南驻马店·期末)用2个0,2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有 () A.8个 B.12个 C.18个 D.24个 【变式7-3(23-24高二下浙江宁波期末)已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数4,42，，a, 满足4<42<4>44>4，<4。<a,,则满足要求的排列的个数为) A.58 B.71 C.85 D.96 第10页共16页