2.4 单摆 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.4 单摆 重难分析 1. 单摆的回复力（重点） 2. 单摆的周期（难点） 知识点梳理 单摆、单摆的周期公式 (1)单摆 ①用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 ②单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。 (2)单摆的回复力 ①单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ 提供的，如图所示。 ②在最大偏角很小的条件下，sin θ≈，其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移。 单摆的回复力F＝－x，令k＝，则F＝－kx。 ③在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。 (3)周期公式 ①提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 ②公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 知识点梳理1：单摆的回复力 1．单摆的组成：由细线和小球组成。 2．理想化模型 (1)细线的质量与小球相比可以忽略。 (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略。 (3)细线的形变量与细线长度相比可以忽略。 (4)空气阻力与小球的重力及细线的拉力相比可以忽略。 3．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 一些技巧 1．单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。 例题精讲： 【例1】（2024春•通州区期中）如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置。下列说法正确的是（　　） A．摆球从A点向B点摆动过程中，重力的冲量为零 B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小 【例2】（2024春•北辰区校级期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向．则下列说法正确的是（　　） A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置 B．0～1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小 C．t＝3s时，摆球的位移为振幅的 D．t＝3s时，摆球的速度方向与加速度方向相反 【例3】（2023春•房山区期末）如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在摆动过程中细绳的拉力始终对小球不做功 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 【例4】（2023秋•兴庆区校级月考）荡秋千是一项古老的休闲体育运动。郭亮同学的质量为m（视为质点），他在荡秋千时，O和A分别为其运动过程中的最低点和最高点，如图所示。两根秋千绳均长为L，郭亮同学运动到O位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．在A位置时，郭亮同学所受的合力为零 B．在O位置时，郭亮同学处于失重状态 C．在O位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 【例5】（多选）（2024春•清远期末）振动是自然界中普遍存在的运动形式，简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动，甲、乙图对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点 C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 知识点梳理2：单摆的周期 1．单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2．单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 一些技巧 对单摆周期公式的理解 1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。 2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。 3．对l、g的理解 (1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。 ①普通单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 例题精讲： 【例6】（2025•西安校级模拟）忽略阻力，一小球单摆可看作简谐运动，小球内部填充物为细沙，其底部有一小孔，在运动过程中，细沙逐步泄漏，则小球的运动（　　） A．仍做原本的简谐运动 B．频率变大 C．周期变长 D．逐渐停止运动 【例7】（2025•白银区校级模拟）如图甲所示，水平放置在光滑地面上的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，规定向右为正方向，其自由振动图像如图乙所示。将小球Q用轻质细绳悬挂在O点正上方的O1点，小球Q静止时恰好未与地面接触，将小球P从A点由静止释放，运动到O点时与完全相同的、静止的小球Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间间隔为6s。小球P、Q始终在同一竖直面内运动，小球Q的摆角始终小于5°，空气阻力不计，当地重力加速度g＝9.87m/s2，π2≈9.87，则轻绳与小球Q组成的单摆的（　　） A．周期为2s B．周期为8s C．摆长为1m D．摆长为4m 【例8】（2025春•广州期中）2024年4月3日花莲发生规模7.2的地震，台北101大楼仅有轻微晃动，这是由于92楼到87楼间设有以多条钢缆悬挂重量660公吨的球形质量块，并以阻尼器与楼板连接所构成的减振系统。原理为：可将前述减振系统视为有效摆长约为12.1m的单摆式减振系统（示意图如图1），并设计其振动频率为接近大楼主结构的固有频率。当风力或地震使大楼以主结构的固有频率振动时，振动能量便能有效地转移到朝相反方向移动的球形质量块，使得阻尼器伸缩以吸收大楼的振动能量，如图2所示。估算101大楼主结构以固有频率的周期约为（可将减振系统视为理想单摆，且取重力加速度g＝10m/s2来估算）（　　） A．1.1s B．5.6s C．6.9s D．9.8s 【例9】（2025•如皋市模拟）如图所示，小球在竖直平面内的摆动可视为简谐运动，振动周期为0.6s，图示的位置为小球运动过程的最左侧位置。现每隔0.2s记录一次小球的位置，则一个周期内所记录的小球位置可能是（　　） A． B． C． D． 【例10】（2025•浙江模拟）如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小李同学利用传感器得到了单摆摆球在垂直摆线方向的加速度a与时间t的关系如图乙所示。为了进一步的研究单摆的特性，小李继续实验，先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在水平向右的匀强电场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小李的猜想正确的是（　　） A．由a﹣t图像可得单摆摆动的周期为t2﹣t1 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上水平向右的匀强电场后，小球不再做简谐运动 D．加上竖直向上的匀强电场后，单摆周期变小 课后提优练习 1．（2025•广州模拟）如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为T0（已知在一根竖直绳悬挂下做简谐运动的小物体的周期为T＝2π，l为绳长，g为重力加速度），已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子上的张力为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•浙江一模）在铁架台上挂一个盛沙的漏斗，下方放一张白纸，漏斗左右摆动的同时，沙子匀速流出，经过一段时间后，砂子堆积形成的剖面图是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•泗阳县期末）如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样，则注射器通过（　　） A．B点时向左摆动 B．C点时的速度最大 C．A点时的回复力最大 D．D点时的加速度最大 4．（2024秋•衢州期末）如图1所示，O点为单摆的固定悬点。现将摆球拉到A点静止释放，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为最低位置。从释放瞬间开始计时，细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像如图2所示，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为0.1m B．摆球的质量为0.05kg C．摆球经A点时处于平衡状态 D．摆球经B点时处于失重状态，速度达到最大值 5．（2025春•旌阳区校级期末）如图所示为一由轻绳与沙袋组成的单摆，摆长为1m，沙袋质量为0.99kg，一质量为10g的子弹以50m/s的速度水平射入沙袋并留在其中，重力加速度g≈π2，下列说法正确的是（　　） A．子弹刚射入沙袋时的速度为1m/s B．该单摆振动的周期为1s C．适当减小子弹的入射速度，单摆的周期减小 D．若将该摆固定在加速向下运动的电梯中，其周期增大 6．（2025春•宁德期末）某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 7．（2025•江西模拟）摆钟利用了单摆的周期性计时，摆钟内部擒纵机构是摆钟的灵魂，是人类智慧的结晶。擒纵机构的内部结构如图所示，其工作原理为金属球小角度摆动过程中带动擒纵叉周期性锁定与释放擒纵轮齿，同时擒纵叉与擒纵轮齿碰撞将部分能量传递给擒纵机构，使金属球做等幅振动，实现精准计时，摆钟在北京走时准确。下列说法正确的是（　　） A．摆钟在月球表面无法计时 B．将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快 C．气温升高使摆杆略微伸长，摆钟走时将变快 D．将摆钟从北京带到海南，为使摆钟走时准确，需要将微调螺母向下调节 8．（2025春•内江期末）如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为l，当地的重力加速度为g。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A．秒针的角速度是时针的360倍 B．若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C．摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 9．（2025春•宿迁期末）如图所示单摆摆线上端固定，下端悬挂一个小钢球。将小球拉离平衡位置一个小角度θ（θ＜5°）释放。欲增大该单摆的周期T，可行的方案是（　　） A．增大摆角θ B．换用质量更大的小钢球 C．换用更长的摆线 D．换用直径更小的小钢球 10．（2025春•河北期末）如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫。甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，两球第1次到达C点的时间之比为（　　） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 单摆 重难分析 1. 单摆的回复力（重点） 2. 单摆的周期（难点） 知识点梳理 单摆、单摆的周期公式 (1)单摆 ①用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 ②单摆是实际摆的理想化模型。我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。 (2)单摆的回复力 ①单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ 提供的，如图所示。 ②在最大偏角很小的条件下，sin θ≈，其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移。 单摆的回复力F＝－x，令k＝，则F＝－kx。 ③在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。 (3)周期公式 ①提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 ②公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 知识点梳理1：单摆的回复力 1．单摆的组成：由细线和小球组成。 2．理想化模型 (1)细线的质量与小球相比可以忽略。 (2)小球的直径与线的长度相比可以忽略。 (3)细线的形变量与细线长度相比可以忽略。 (4)空气阻力与小球的重力及细线的拉力相比可以忽略。 3．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。 (2)回复力的特点：在摆角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。从回复力特点可以判断单摆做简谐运动。 一些技巧 1．单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，用弧度表示的θ与它的正弦sin θ近似相等，即sin θ≈θ≈，因此单摆的回复力可表示为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。 例题精讲： 【例1】（2024春•通州区期中）如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置。下列说法正确的是（　　） A．摆球从A点向B点摆动过程中，重力的冲量为零 B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小 【解答】解：A、摆球从A点向B点摆动过程中，由冲量的公式：I＝mgt，即可知重力的冲量不可能为零，故A错误； B、摆球从A向B的过程中，由动能定理，可知：，回复力大小为：F＝mgsinθ，拉力大小满足：， 该过程中，θ减小，故拉力增大，回复力减小，故B正确； C、摆球从B到C的过程中，由功能关系可知，重力做负功，摆球的动能变小，速度变小； 由简谐运动的特点，可知摆球在A、C点时，速度为零，细线拉力为：T＝mgcosθ，回复力为：F＝mgsinθ，此时的θ为最大值，故拉力最小，回复力最大，故C正确； D、摆球在运动过程中，受到重力、拉力的作用，拉力始终与摆球的运动方向垂直，只有重力对物体做功； 由图可知，摆球在B点时，重力势能最小；由功能关系，可知机械能守恒，故D错误。 故选：C。 【例2】（2024春•北辰区校级期中）一单摆振动过程中离开平衡位置的位移随时间变化的规律如图所示，取向右为正方向．则下列说法正确的是（　　） A．第1s末和第5s末摆球位于同一位置 B．0～1s的时间内，摆球的回复力逐渐减小 C．t＝3s时，摆球的位移为振幅的 D．t＝3s时，摆球的速度方向与加速度方向相反 【解答】解：A、第1s末和第5s末摆球位于关于平衡位置对称的两个位置，故A错误； B、0～1s的时间内，位移x逐渐增大，由F＝﹣kx知摆球的回复力逐渐增大，故B错误； C、设振幅为A，则t＝3s时，摆球的位移为x＝AsinπA，故C正确； D、t＝3s时，摆球在做加速运动，摆球的速度方向与加速度方向相同，故D错误。 故选：C。 【例3】（2023春•房山区期末）如图所示，细绳的上端固定，下端挂一小球，现将小球拉到A点由静止释放，小球在竖直平面内沿曲线ABC摆动，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．在摆动过程中细绳的拉力始终对小球不做功 B．在B位置小球处于平衡状态 C．在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力大 D．在B位置小球受重力、拉力和向心力的作用 【解答】解：A、小球从A点静止释放后做单摆运动，绳子拉力的方向始终与运动的轨迹垂直，所以绳子的拉力不做功，故A正确； B、小球经过B点时速度不为零，由细绳对小球的拉力和小球重力的合力提供向心力，所以不是平衡状态，故B错误； C、小球在C点速度为零，没有向心力，所以小球在C位置小球的向心力比在B位置小球的向心力小，故C错误； D、小球在B点细绳对小球的拉力和小球重力，二者的合力提供向心力，不是受向心力，故D错误。 故选：A。 【例4】（2023秋•兴庆区校级月考）荡秋千是一项古老的休闲体育运动。郭亮同学的质量为m（视为质点），他在荡秋千时，O和A分别为其运动过程中的最低点和最高点，如图所示。两根秋千绳均长为L，郭亮同学运动到O位置时的速度大小为v，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，不计秋千绳受到的重力，下列说法正确的是（　　） A．在A位置时，郭亮同学所受的合力为零 B．在O位置时，郭亮同学处于失重状态 C．在O位置时，每根秋千绳的拉力大小为 D．在A位置时，每根秋千绳的拉力大小为 【解答】解：A.在A位置时，该人受到重力和秋千绳的拉力，合力不为零，故A错误； B.在O位置时，重力和秋千绳拉力的合力产生向上的向心加速度，该人处于超重状态，故B错误； C.在O位置时，由牛顿第二定律可得 可知每根秋千绳的拉力大小为 故C错误； D.在A位置时，设绳子与竖直方向成θ，从A到O，由动能定理有 在A位置，有 2T1＝mgcosθ 联立解得 故D正确。 故选：D。 【例5】（多选）（2024春•清远期末）振动是自然界中普遍存在的运动形式，简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动，甲、乙图对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点 C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 【解答】解：A、图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，故A错误； B、弹簧振子在弹簧弹力作用下做做简谐运动，其加速度方向总是指向平衡位置O点，故B正确； C、题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C错误； D、图乙中O点为单摆的平衡位置，在该位置单摆的速度最大，回复力最小，故D正确。 故选：BD。 知识点梳理2：单摆的周期 1．单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越大。 2．单摆周期公式 (1)提出：单摆周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 一些技巧 对单摆周期公式的理解 1．成立条件：单摆偏角很小(偏角小于5°)。 2．影响因素：周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。 3．对l、g的理解 (1)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离。 ①普通单摆，摆长l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。 ②等效摆长：(a)图中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的，甲摆的等效摆长为lsin α，其周期T＝2π。(b)图中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长。 (2)①公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 ②等效重力加速度：一般情况下，公式中g的值等于摆球静止在平衡位置时，摆线的拉力与摆球质量的比值。 例题精讲： 【例6】（2025•西安校级模拟）忽略阻力，一小球单摆可看作简谐运动，小球内部填充物为细沙，其底部有一小孔，在运动过程中，细沙逐步泄漏，则小球的运动（　　） A．仍做原本的简谐运动 B．频率变大 C．周期变长 D．逐渐停止运动 【解答】解：ABC．单摆周期公式为，其中l悬点到摆球重心的距离。当细沙泄漏时，摆球重心逐渐下移，导致l增大；漏完后重心回到球心，l恢复。在泄漏过程中，l持续增加，因此周期T逐渐变长，频率减小；由于摆长变化，运动不再是原本的简谐运动，故AB错误，C正确； D．忽略阻力，没有能量损失，运动不会停止，故D错误。 故选：C。 【例7】（2025•白银区校级模拟）如图甲所示，水平放置在光滑地面上的弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为平衡位置，规定向右为正方向，其自由振动图像如图乙所示。将小球Q用轻质细绳悬挂在O点正上方的O1点，小球Q静止时恰好未与地面接触，将小球P从A点由静止释放，运动到O点时与完全相同的、静止的小球Q发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后小球P从A点至再次回到A点的时间间隔为6s。小球P、Q始终在同一竖直面内运动，小球Q的摆角始终小于5°，空气阻力不计，当地重力加速度g＝9.87m/s2，π2≈9.87，则轻绳与小球Q组成的单摆的（　　） A．周期为2s B．周期为8s C．摆长为1m D．摆长为4m 【解答】解：碰后小球P从A点至再次回到A点的时间为6s，根据图乙可知，小球P的振动周期T1＝8s，因为小球P、Q完全相同且发生弹性碰撞，故小球P、Q碰后速度发生交换，小球Q在相邻两次碰撞之间的时间间隔为2s，恰好为单摆的半个周期，即单摆的周期为T＝4s，根据单摆的周期公式 解得单摆的摆长L＝4m，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【例8】（2025春•广州期中）2024年4月3日花莲发生规模7.2的地震，台北101大楼仅有轻微晃动，这是由于92楼到87楼间设有以多条钢缆悬挂重量660公吨的球形质量块，并以阻尼器与楼板连接所构成的减振系统。原理为：可将前述减振系统视为有效摆长约为12.1m的单摆式减振系统（示意图如图1），并设计其振动频率为接近大楼主结构的固有频率。当风力或地震使大楼以主结构的固有频率振动时，振动能量便能有效地转移到朝相反方向移动的球形质量块，使得阻尼器伸缩以吸收大楼的振动能量，如图2所示。估算101大楼主结构以固有频率的周期约为（可将减振系统视为理想单摆，且取重力加速度g＝10m/s2来估算）（　　） A．1.1s B．5.6s C．6.9s D．9.8s 【解答】解：依题可知，减振系统的振动频率接近101大楼主结构的固有频率，则101大楼主结构以固有频率振动的周期和有效摆长约为12.1m的单摆式减振系统的周期相等，则得，故ABD错误，C正确。 故选：C。 【例9】（2025•如皋市模拟）如图所示，小球在竖直平面内的摆动可视为简谐运动，振动周期为0.6s，图示的位置为小球运动过程的最左侧位置。现每隔0.2s记录一次小球的位置，则一个周期内所记录的小球位置可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：ABD、单摆的周期为0.6s，若从最左侧位置开始计时，小球到最低点位置时的时间是0.15s，因为每隔0.2s记录一次小球的位置，所以第一次记录小球的位置在最低点的右侧，根据简谐运动的对称性可知，第二次记录的位置还是刚才第一次记录的位置，这样再经过一个0.2s正好是一个周期，小球回到开始计时的位置，故AD错误，B正确； C、若是从最低点的左侧某一位置（该位置不是最左侧位置）开始计时，因为周期是0.6s，但是是经过0.2s记录一次位置，所以记录的小球应该有三个位置，不可能是两个位置，故C错误。 故选：B。 【例10】（2025•浙江模拟）如图甲所示，单摆在竖直面内的A、C之间做简谐运动。小李同学利用传感器得到了单摆摆球在垂直摆线方向的加速度a与时间t的关系如图乙所示。为了进一步的研究单摆的特性，小李继续实验，先使摆球（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在水平向右的匀强电场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小李的猜想正确的是（　　） A．由a﹣t图像可得单摆摆动的周期为t2﹣t1 B．摆球运动到最低点B时，回复力为零，所受合力为零 C．加上水平向右的匀强电场后，小球不再做简谐运动 D．加上竖直向上的匀强电场后，单摆周期变小 【解答】解：A、由图乙可知，单摆的振动周期为T＝t3﹣t1，故A错误； B、摆球运动到最低点时，回复力为零，但是速度最大，所以向心加速度最大，在沿摆线方向上的合力提供向心加速度，所以在最低点摆球所受合力不为零，故B错误； C、加上水平向右的匀强电场后，小球的平衡位置不再是这个最低点位置了，而是摆球在静止状态下的位置，在这个位置的左边，仍然会做简谐运动，但单摆的周期会发生变化，故C错误。 D、加上竖直向上的匀强电场后，小球受到的电场力方向向下，则等效重力加速度g'大于重力加速度g，根据单摆周期公式T＝2可知，单摆的周期会变小，故D正确。 故选：D。 课后提优练习 一．选择题（共10小题） 1．（2025•广州模拟）如图，用两根完全相同、不可伸长的轻绳将小沙包（大小可忽略）对称地吊在空中，轻推小沙包，测得其在垂直纸面平面内做简谐运动的周期为T0（已知在一根竖直绳悬挂下做简谐运动的小物体的周期为T＝2π，l为绳长，g为重力加速度），已知每根轻绳的长度为L，小沙包的质量为m，则小沙包静止时，每根绳子上的张力为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设静止时绳子与竖直方向夹角为θ，则可得沙包做简谐运动的周期：，解得：，对于沙包，受重力mg，绳子拉力F，根据共点力平衡可得：2Fcosθ＝mg，联立可得：，故A正确，BCD错误； 故选：A。 2．（2025•浙江一模）在铁架台上挂一个盛沙的漏斗，下方放一张白纸，漏斗左右摆动的同时，沙子匀速流出，经过一段时间后，砂子堆积形成的剖面图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：漏斗摆动时，经过最大位移处（左右两个端点）时，漏斗的速度最小，通过相同距离所用时间较长，而细沙匀速流出，则白纸上沙子堆积较多；漏斗经过平衡位置时速度最大，通过相同距离所用时间较短，而细沙匀速流出，说明平衡位置堆积的沙子较少，故ACD错误，B正确。 故选：B。 3．（2024秋•泗阳县期末）如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动方向匀速拖动木板，在木板上留下墨汁图样，则注射器通过（　　） A．B点时向左摆动 B．C点时的速度最大 C．A点时的回复力最大 D．D点时的加速度最大 【解答】解：A．由图可知，B点时向右摆动，故A错误； B．C点时位移最大，速度为0，故B错误； C．A点时单摆在平衡位置，回复力为0，故C错误； D．D点时的位移最大，根据牛顿第二定律F回＝﹣kx＝ma，可知加速度最大，故D正确。 故选：D。 4．（2024秋•衢州期末）如图1所示，O点为单摆的固定悬点。现将摆球拉到A点静止释放，摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为最低位置。从释放瞬间开始计时，细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像如图2所示，下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为0.1m B．摆球的质量为0.05kg C．摆球经A点时处于平衡状态 D．摆球经B点时处于失重状态，速度达到最大值 【解答】解：A．根据图乙可知，单摆的周期T＝0.4πs 根据周期公式有 解得L＝0.4m 故A错误； B．根据图像可知，摆球在最高点时绳拉力为0.495N，速度为0，所需向心力为0，令摆角为θ，则有Fmin﹣mgcosθ＝0 摆球在最低点时，绳拉力为0.510N，则有 根据动能定理有 解得m＝0.05kg 故B正确； C．摆球经过A点时，速度为0，沿切向的合力为mgsinθ，沿半径方向的合力为0，可知，此时摆球的加速度不为0，即摆球不处于平衡状态，故C错误； D．摆球经B点时，加速度方向向上，摆球处于超重状态，结合上述可以解得此时的最大速度 故D错误。 故选：B。 5．（2025春•旌阳区校级期末）如图所示为一由轻绳与沙袋组成的单摆，摆长为1m，沙袋质量为0.99kg，一质量为10g的子弹以50m/s的速度水平射入沙袋并留在其中，重力加速度g≈π2，下列说法正确的是（　　） A．子弹刚射入沙袋时的速度为1m/s B．该单摆振动的周期为1s C．适当减小子弹的入射速度，单摆的周期减小 D．若将该摆固定在加速向下运动的电梯中，其周期增大 【解答】解：A、子弹射入沙袋时，系统水平方向动量守恒，规定子弹射入的方向为正方向，有m子弹v子弹＝（m子弹+m沙袋）v 代入数据解得子弹刚射入沙袋时的速度为v＝0.5m/s 故A错误； B、单摆周期 故B错误； C、根据，单摆周期与子弹速度无关，故C错误； D、若将该摆固定在加速向下运动的电梯中，则等效重力加速度减小，根据 可知周期增大，故D正确。 故选：D。 6．（2025春•宁德期末）某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最低点时，合力为零 【解答】解：A、在一个周期内小球两次经过最低点，由图乙可知单摆的周期为2t0，故A错误。 B、根据T＝2π2t0，可得重力加速度大小为g，故B正确。 C、由T＝2π可知单摆的周期大小与单摆的振幅无关，即与小球拉起的幅度无关，故C错误。 D、小球经过最低点时，速度最大，合力方向指向悬挂点，小球做的是圆周运动，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，故D错误。 故选：B。 7．（2025•江西模拟）摆钟利用了单摆的周期性计时，摆钟内部擒纵机构是摆钟的灵魂，是人类智慧的结晶。擒纵机构的内部结构如图所示，其工作原理为金属球小角度摆动过程中带动擒纵叉周期性锁定与释放擒纵轮齿，同时擒纵叉与擒纵轮齿碰撞将部分能量传递给擒纵机构，使金属球做等幅振动，实现精准计时，摆钟在北京走时准确。下列说法正确的是（　　） A．摆钟在月球表面无法计时 B．将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快 C．气温升高使摆杆略微伸长，摆钟走时将变快 D．将摆钟从北京带到海南，为使摆钟走时准确，需要将微调螺母向下调节 【解答】解：A．月球表面的重力加速度不为零，则摆钟在月球表面仍然可以工作，故A错误； B．根据知，由于北极的重力加速度比北京的重力加速度大，所以将摆钟从北京带到北极，摆钟振动周期变小，将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快，故B正确； C．气温升高使摆杆略微伸长，摆钟周期变大，可知摆钟走时将变慢，故C错误； D．海南的重力加速度比北京的重力加速度小，将摆钟从北京带到海南，摆钟周期变大，走时将变慢，需要缩短摆长，即将微调螺母向上调节，故D错误。 故选：B。 8．（2025春•内江期末）如图，老式摆钟的摆锤可视为单摆，摆长为l，当地的重力加速度为g。摆钟的秒针、分针、时针均绕中心做匀速圆周运动，摆锤的最大摆角小于5°。下列说法正确的是（　　） A．秒针的角速度是时针的360倍 B．若将摆钟移到月球上，摆钟走得更慢，需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟 C．摆锤在最低点时速度最大，加速度为零 D．若把摆钟置于加速上升的电梯中，摆钟走得更慢 【解答】解：A、秒针转动一周为60s，时针转动一周为12小时＝12×3600秒；根据可知，秒针的角速度是时针的720倍，故A错误； B、若将摆钟移到月球上，重力加速度减小，根据 可知，周期变大，则摆钟走得更慢，则需要减小摆长，即需把摆锤上调至合适位置即可校准摆钟，故B正确； C、摆锤在最低点时速度最大，根据可知此位置向心加速度不为零，即加速度不为零，故C错误； D、若把摆钟置于加速上升的电梯中，等效加速度g等变大，则周期变小，摆钟走得更快，故D错误。 故选：B。 9．（2025春•宿迁期末）如图所示单摆摆线上端固定，下端悬挂一个小钢球。将小球拉离平衡位置一个小角度θ（θ＜5°）释放。欲增大该单摆的周期T，可行的方案是（　　） A．增大摆角θ B．换用质量更大的小钢球 C．换用更长的摆线 D．换用直径更小的小钢球 【解答】解：ABC.由可知单摆周期只有摆长和当地重力加速度有关，要增大该单摆的周期T，增大摆长或减小重力加速度，故C正确，AB错误； D.换用直径更小的小钢球，由于摆长等于线长加上小球半径，所以摆长变小，周期变小，故D错误； 故选：C。 10．（2025春•河北期末）如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，C为弧形槽最低点，R≫。甲球从弧形槽的球心处自由下落，乙球从A点由静止释放，两球第1次到达C点的时间之比为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：甲球做自由落体运动，根据匀变速直线运动的位移—时间公式可得： 所以 乙球沿弧形槽做简谐运动（由于AC≪R，可认为偏角θ＜5°）．此运动与一个摆长为R的单摆运动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为： 所以 故选：C。 2 学科网（北京）股份有限公司 $