专题01 分式和分式方程（期中复习讲义）（知识必备+16大核心题型+分层验收）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 分式和分式方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念 掌握分式的形式，了解分式的分母含有未知数 一般出现在小题中 分式有无意义的条件 掌握分式有意义的条件，确保分母不为0 一般出现在选择题、填空题中 分式的基本性质 掌握分式的基本性质，掌握分式的符号法则 高频考点，一般在选择题中出现 分式的约分与通分 能根据分式的基本性质对分式进行约分或通分 高频考点，在解答题中也会考查 最简分式、最简公分母 掌握最简分式、最简公分母的概念，不能留下公因式 重要考点，一般在小题中出现 分式的四则混合运算 掌握分式的四则混合运算规律 一般出现在计算题 分式方程的解法 掌握分式方程的解法，计算时要注意检验结果是否符合情况 一般出现在计算题 分式方程的应用 学会根据数量关系列出分式方程 一般在解答题中 知识点01 分式及其性质 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点03 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点04 分式的约分与通分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点05 分式的加减乘除法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。 分式的乘除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点06 分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点07 用分式方程解决问题 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 题型一 分式的相关概念 解｜题｜技｜巧 判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式 1．下列各式，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．设A、B都是整式，若表示分式，则（   ） A．A，B都必须含有字母 B．A必须含有字母 C．B必须含有字母 D．A，B都必须不含有字母 3．下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）属于分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 5．根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 题型二 分式有无意义的条件、分式值为0的条件 解｜题｜技｜巧 分式的值是在分式有意义的前提下考虑的 6．使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 9．在分式中，一定有意义的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 题型三 分式的求值 11．已知，则=（    ） A． B． C． D． 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．观察下表，随着x的值越来越大，代数式的值越来越接近于（    ） x 1 10 100 1000 10000 －7 2 2.9 2.99 2.999 A． B． C． D． 14．已知，则 ． 15．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 题型四 根据分式值的情况求未知数的取值范围 16．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 17．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 20．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 题型五 分式的求整问题 解｜题｜技｜巧 分式的求整问题，要学会对分式进行化简，保证分式的分子是个常数，这样就可以求出分式值的整数情况； 21．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 22．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 23．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 24．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 题型六 分式的基本性质 解｜题｜技｜巧 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 26．下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 27．若，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D．， 28．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 29．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 30．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 约分与通分 解｜题｜技｜巧 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值； 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式； 31．下列各式中，不能化简的分式是（    ） A． B． C． D． 32．分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 33．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 34．已知，则分式的值为 ． 35．（1）约分：．     （2）通分：和． 题型八 最简分式与最简公分母 解｜题｜技｜巧 分子与分母没有公因式的分式； 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 36．分式中，不是最简分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 37．分式、的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 38．分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 39．下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 40．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 题型九 分式的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 41．计算： (1)； (2)． 42．化简： 43．化简：． 44．计算： (1)； (2)． 45．计算： (1) (2) 题型十 已知分式恒等式确定分子或分母 46．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 47．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 48．若，求的值为 ． 49．若，其中a，b为常数，则 ． 50．已知实数，满足，求的值． 题型十一 分式运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 掌握分式运算的实际应用，关键要看题干中的数量关系列出分式； 51．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 52．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 53．列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 54．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 55．为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 题型十二 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 分式的化简求值要注意代入的值不能使分式无意义； 56．先化简，再求值：，其中． 57．下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 58．先化简，再求值： ，从1、2、3、4中选择一个合适的数作为的值求解 ． 59．对于代数式，小虎说，“当时，并且说只要小蓝任意报一个a的值（），他都可以马上求出这个代数式的值．你能通过计算说明小虎快速判断的依据吗？请说明理由． 60．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 题型十三 解分式方程 解｜题｜技｜巧 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 61．解方程： (1) (2) 62．解分式方程： (1) (2) 63．解方程： (1) (2) 64．解分式方程 65．解方程： (1)； (2)． 题型十四 根据分式方程解的情况求值 66．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 67．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 68．若分式方程的解是，则 ． 69．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 ． 70．若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围． 题型十五 分式方程的增根与无解问题 解｜题｜技｜巧 解决分式方程的增根与无解问题，要先解出该分式方程的含参结果，再将增根情况和无解情况代入即可求出参数范围； 增根是原分式方程的分母为零的根；无解一种情况是增根，另一种情况是解出的分式方程含参结果中分母为0的结果； 71．关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 72．若关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．4或 B．或 C．1或或6 D．1或4或6 73．若关于x的分式方程无解，则 ． 74．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 75．已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 题型十六 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 76．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 77．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？ 78．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 79．晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时 油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 ． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 80．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 3．（24-25八年级上·河北承德·期中）若分式的值为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如果把的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个分式的值（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．无法确定 5．（24-25八年级上·北京房山·期中）计算： ． 6．分式方程的解为 ． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）化简的结果是 ． 8．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知：，则 ． 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）计算：． 10．（24-25八年级上·北京房山·期中）解方程：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·北京·期中）如果a名同学b小时共搬运c块砖，那么c名同学以同样速度搬运a块砖所需的时间是（   ）小时 A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 14．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如果，那么 ． 16．（24-25八年级上·河北承德·期中）若整数m使为正整数，则m的值为 ． 17．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 19．（24-25八年级上·河北·期中）先化简，再求值：，其中． 20．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同． (1)求A，B两种文具的单价； (2)若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级下·河北·期末）若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 22．（24-25八年级下·衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．3 23．（24-25八年级下·河北·期末）若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 24．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 25．若，则 ． 26．（24-25八年级下·河北唐山·期末）若都是正实数，且，求 ． 27．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 28．对于，规定． （1） ． （2） ． 29．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知，试确定A，B的值． 30．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式和分式方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的概念 掌握分式的形式，了解分式的分母含有未知数 一般出现在小题中 分式有无意义的条件 掌握分式有意义的条件，确保分母不为0 一般出现在选择题、填空题中 分式的基本性质 掌握分式的基本性质，掌握分式的符号法则 高频考点，一般在选择题中出现 分式的约分与通分 能根据分式的基本性质对分式进行约分或通分 高频考点，在解答题中也会考查 最简分式、最简公分母 掌握最简分式、最简公分母的概念，不能留下公因式 重要考点，一般在小题中出现 分式的四则混合运算 掌握分式的四则混合运算规律 一般出现在计算题 分式方程的解法 掌握分式方程的解法，计算时要注意检验结果是否符合情况 一般出现在计算题 分式方程的应用 学会根据数量关系列出分式方程 一般在解答题中 知识点01 分式及其性质 一般的，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 注意：判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式。 知识点02 分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点03 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点04 分式的约分与通分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 注意：有些隐含的因式需要进行因式分解才能得到 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。 最简公分母： ①如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 ②当分子的分母是多项式式，先将他们因式分解，再确定最简公分母。 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点05 分式的加减乘除法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 注意：最后的结果需要化成最简分式或整式。 分式的乘除法 ①分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； ②分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ③分式的乘方，把分子和分母分别乘方。 注意：分式的乘、除混合运算，要从左往右依次进行。 分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点06 分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点07 用分式方程解决问题 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 题型一 分式的相关概念 解｜题｜技｜巧 判断是不是分式只看式子的原状态，不看化简之后，比如是分式 1．下列各式，，，，，中，分式有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，熟记分式的定义是解题的关键．根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得，是分式的有：，，，共个， 故选：B． 2．设A、B都是整式，若表示分式，则（   ） A．A，B都必须含有字母 B．A必须含有字母 C．B必须含有字母 D．A，B都必须不含有字母 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．利用分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，据此分析即可． 【详解】解：设A、B都是整式，若表示分式， 则B必须含有字母， 故选：C． 3．下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）属于分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义求解即可，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母． 【详解】解：（1）是整式；（2）是分式；（3）是分式；（4）是整式；（5）是整式；（6）是分式． 故分式有3个． 故选：C． 4．观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 5．根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的值，分式无意义的条件，根据时，分式的值无意义可知分母含有因式，再根据时，分式的值为解答即可． 【详解】解：满足条件的分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型二 分式有无意义的条件、分式值为0的条件 解｜题｜技｜巧 分式的值是在分式有意义的前提下考虑的 6．使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零且分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且， 故选：D． 7．若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件是分母不等于0可知：， 解得：， 故选：D． 8．要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得且， 故选：D． 9．在分式中，一定有意义的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是根据的取值，看分母的值是否为进行判断．依据分式有意义的条件进行判断． 【详解】解：当时，分式无意义； 因为，所以分式一定有意义； 当时，即，分式无意义； 当时，即，分式无意义， 所以一定有意义的有个． 故选：A． 10．已知当时，分式无意义，时，分式的值为0，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式无意义的条件和分式值为的条件，熟练掌握分式无意义的条件：分母为；分式值为的条件：分母不为且分子等于是解题的关键．根据分式无意义的条件得到的值，根据分式值为的条件得到的值，最后将、的值代入求解即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即，解得； 当时，分式的值为， 即且，解得， 则． 题型三 分式的求值 11．已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，首先根据，交叉相乘可得：，通过移项、合并同类项，可得：，再把等式的两边同时除以即可得到． 【详解】解：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 可得：． 故选：D． 12．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 13．观察下表，随着x的值越来越大，代数式的值越来越接近于（    ） x 1 10 100 1000 10000 －7 2 2.9 2.99 2.999 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的性质，注意分式的化简及因变量的取值与自变量的取值之间的联系．先化简代数式，再观察增大时的变化趋势，判断其接近的数值． 【详解】解： 当的值越来越大时，的值会越来越小，趋近， 那么就越来越接近， ∴随着x的值越来越大，代数式的值越来越接近于． 故选：B． 14．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式求值，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先整理得，，，再代入，进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则，， 则 ， 故答案为：． 15．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 题型四 根据分式值的情况求未知数的取值范围 16．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键． 根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，解得：． 故选C． 17．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 18．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的值、解不等式．根据分式的值为正数得到，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， 解得：． 故选：A 19．若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件，以及分式的值为正，掌握分式的性质是解题关键．根据分母有意义的条件可得，再结合分母为正数的分式若要值为正数，则分子为正数，得出，即可求解． 【详解】解：为分母， ， 分母一定大于0， 若分式的值为正数，则， 解得， 故答案为：且． 20．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 题型五 分式的求整问题 解｜题｜技｜巧 分式的求整问题，要学会对分式进行化简，保证分式的分子是个常数，这样就可以求出分式值的整数情况； 21．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 22．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 23．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 24．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 25．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 题型六 分式的基本性质 解｜题｜技｜巧 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 26．下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，分式的性质：分子和分母同时乘以或者除以非0的数或整式，分式的值不变；根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 27．若，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查分式与等式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 故A，B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，不符合题意； 由，可知，当时，， 即，只是所有解中的一种，故D错误，符合题意． 故选D． 28．能使等式成立的k的取值范围为（    ） A． B． C． D．k为任意实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．因此需确保分母不为零，从而确定k的取值范围． 【详解】解：若，则分子和分母可同时约去，得到，此时等式成立． 若，分母变为，分式无意义， 因此，k的取值范围是， 故选：B． 29．若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴若把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值变为原来的， 故选：C． 30．利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的基本性质，以及因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． （1）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （2）根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘以求解即可； （3）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以x求解即可； （4）先对进行因式分解，再根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时除以求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型七 约分与通分 解｜题｜技｜巧 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值； 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变成同分母的分式； 31．下列各式中，不能化简的分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，运用平方差公式进行因式分解，运用完全平方公式进行因式分解，正确的化简分式是解题的关键． 对各选项进行化简，然后判断作答即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，无法化简，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 32．分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最小公倍式作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：， 则分式与的最简公分母为， 所以分式与通分时，的分子、分母要同乘， 故选：B． 33．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 34．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．由条件可得，再把约分，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， . 故答案为： 35．（1）约分：．     （2）通分：和． 【答案】（1）；（2） 【详解】本题考查了分式的约分和通分． （1）先将原式的分子分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 解：（1）原式； （2），， 和的最简公分母是， ，． 题型八 最简分式与最简公分母 解｜题｜技｜巧 分子与分母没有公因式的分式； 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 36．分式中，不是最简分式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义判断即可，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：分子分母没有公因式，是最简分式； ，分子分母有公因式，不是最简分式； 分子分母有公因数，不是最简分式； 分子分母没有公因式，是最简分式； 综上，不是最简分式有个， 故选：． 37．分式、的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式． 根据最简公分母的定义求出所求即可． 【详解】解：分式、的最简公分母为． 故选：A． 38．分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当作一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得． 【详解】解：的分母是， 的分母是， 的分母是， 则分式的最简公分母是， 故选：D． 39．下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【分析】本题主要考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 40．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 题型九 分式的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意约分的灵活应用． （1）根据分式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式． 42．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、因式分解以及分式的乘除法法则．先算括号里的加减，再算乘除进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 43．化简：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先计算分式的除法，再计算分式的加减法即可． 【详解】解：原式． 44．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，提公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）括号里应用分式的减法运算法则，平方差公式化简，再用分式乘除运算法则，最后约分即可； （2）括号里应用分式的减法运算法则，提公因式化简，再用分式乘除运算法则，最后再根据减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 45．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）根据分式的乘除法和加法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型十 已知分式恒等式确定分子或分母 46．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 47．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 48．若，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 49．若，其中a，b为常数，则 ． 【答案】1 【分析】原等式整理变形后得：，可得，求出a、b即可得到答案． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴， 可得， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到是解题的关键． 50．已知实数，满足，求的值． 【答案】3 【分析】根据分式的性质对通分，运算得，由此可得方程组，解方程组即可求得，的值． 【详解】∵ ∴，解得 ∴． 【点睛】本题考查分式的通分，把通分化为是解题的关键． 题型十一 分式运算的实际应用 解｜题｜技｜巧 掌握分式运算的实际应用，关键要看题干中的数量关系列出分式； 51．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)乙的平均单价更便宜，见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 52．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 53．列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解； （2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可； （3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果． 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ， 解得， 故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：， 则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 54．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 55．为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 【答案】(1)A种健身器材的单价为：万元；B种健身器材的单价为：万元 (2)万元 【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键． （1）根据，列式即可． （2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：万元； B种健身器材的单价为：． （2）解： ， 答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共万元 题型十二 分式化简求值 解｜题｜技｜巧 分式的化简求值要注意代入的值不能使分式无意义； 56．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ； 把代入：． 57．下面是嘉嘉进行分式化简求值的过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 当时，原式．…第四步 (1)嘉嘉的解题过程中，从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)，原式的值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先计算分式的除法，再算加减，逐一判断即可解答； （2）先计算分式的除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：嘉嘉的解题过程中，从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解：正确的解题过程如下： 原式 ， 当时，原式． 58．先化简，再求值： ，从1、2、3、4中选择一个合适的数作为的值求解 ． 【答案】；当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加、减、乘、除运算，分式有意义的条件是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再根据分式有意义的条件确定所选的数，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ，，， ，， 当时，原式． 59．对于代数式，小虎说，“当时，并且说只要小蓝任意报一个a的值（），他都可以马上求出这个代数式的值．你能通过计算说明小虎快速判断的依据吗？请说明理由． 【答案】任意报一个a的值，小虎都可以用这个数减去1，马上说出这个代数式的值． 【分析】此题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简分式，再根据题意进行解答即可． 【详解】解： ． ∴任意报一个a的值，小虎都可以用这个数减去1，马上说出这个代数式的值． 60．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，熟练计算是解题的关键． 先通分括号内，再运算除法，进行化简，得，再解不等式，然后结合为正整数且，得，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ， 为正整数且， 当时，原式 综上，原式的值为． 题型十三 解分式方程 解｜题｜技｜巧 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 61．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）两边同乘去分母转化为整式方程，去括号，移项合并同类项，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解： 两边同乘得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根， ∴原方程无解． 62．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． （1）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得； （2）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． （2）解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 63．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的求解，根据分式方程的解题流程按步骤求解并检验是解决本题的关键． （1）先将分式方程两边同乘，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可． （2）先将分式方程两边同乘，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴经检验是原分式方程的根； （2）解：， 方程两边同乘，得：， ∴， ∴， 解得：， ∴经检验是原方程的增根， ∴原方程无解． 64．解分式方程 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程；将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：等式两边同乘以，得， 解得， 经检验，当时，， 原分式方程的解为． 65．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】（1）解：； 方程两边乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同乘以得， 解得， 检验：把代入， 所以不是原方程的解，原方程无解． 题型十四 根据分式方程解的情况求值 66．已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 67．已知关于的分式方程 的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解．解分式方程可得，即得，得到，又由得到，据此即可求解． 【详解】解：分式方程去分母得，， 解得， ∵分式方程 的解是非负数， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴且， 故选：C． 68．若分式方程的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的解是解题的关键；把代入分式方程中，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵分式方程的解是， ∴，即， 解得：， 故答案为：3． 69．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】将原方程去分母得，整理得，再根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可．本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 原方程的解为负数， 且， 解得：且， 故答案为：且 70．若关于的分式方程的解为正实数，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式；利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得，， 由题意得，， 解得，， ， ， 且． 题型十五 分式方程的增根与无解问题 解｜题｜技｜巧 解决分式方程的增根与无解问题，要先解出该分式方程的含参结果，再将增根情况和无解情况代入即可求出参数范围； 增根是原分式方程的分母为零的根；无解一种情况是增根，另一种情况是解出的分式方程含参结果中分母为0的结果； 71．关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 72．若关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．4或 B．或 C．1或或6 D．1或4或6 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 当时，方程无解； 当时，， 因为分式方程无解，且分式方程的增根为或， 所以或， 解得：或， 综上，k的值为1或或6， 故选：C． 73．若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题． 将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解， ∴，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 74．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，先解分式方程，求出分式方程的解，进而求出增根得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 75．已知关于的分式方程 (1)若分式方程无解，求的值； (2)若分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或或； (2)且． 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【详解】（1）解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，     综上所述，的值为或或； （2）解：由得： ， ， 解得：， 又， ， 且， 的取值范围为且． 题型十六 分式方程的实际应用 解｜题｜技｜巧 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 76．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 77．随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．求人工每人每小时分拣多少件？ 【答案】人工每人每小时分拣60件快件． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程求解． 设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件， 依题意列方程：． 解得：， 经检验是原方程的解且有实际意义 所以原方程的解为 答：人工每人每小时分拣60件快件． 78．随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 79．晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时 油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 ． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)①燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据每千米行驶费用相应的费用续航里程，即可求解； （2）①结合（1）列出分式方程，解方程求解即可；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 故答案为：； （2）解：①由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； ②设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 80．已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：由题易得，， 即， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解： ， ， ， ，b，n为正整数， 可取的最小值为6， 的最小值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，只要是分母中含有字母的代数式即为分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义逐一分析即可． 【详解】解：A：，分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式，故本选项不符合题意； B：，分母为字母，符合分式定义，故本选项符合题意； C：，分母为常数，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意； D：，分母为常数3，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）要使分式有意义，则x的取值需满足（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母，确定x的取值范围即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北承德·期中）若分式的值为，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为的条件，熟练掌握分式值为的条件是解题的关键． 根据分式值为可得分子为，分母不为，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ，且， 解得：， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如果把的x与y都扩大为原来的3倍，那么这个分式的值（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小为原来的 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 将原分式中的x和y分别替换为和，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：， 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京房山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程求解，最后要检验所得的根是否为增根．通过交叉相乘将分式方程化为整式方程，然后解整式方程，最后检验所得的根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项：， ∴， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，将分子，分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，进行约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）已知：，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了分式的求值，由得，然后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 9．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，把第二个分式变形后根据同分母分式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10．（24-25八年级上·北京房山·期中）解方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴ 原方程无解． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·北京房山·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A. ，故不符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，变形正确，符合题意． 故选：D． 12．（24-25七年级上·北京·期中）如果a名同学b小时共搬运c块砖，那么c名同学以同样速度搬运a块砖所需的时间是（   ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，分式的运算，列代数式时，应先求得1个人1小时的工作效率，进而求得c个同学1小时的工作效率；c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的小时数工作量个同学1小时的工作效率． 【详解】解：∵一名同学一小时搬运块，所以c名同学一小时运块， ∴c名同学以同样的速度搬运a块砖所需的时间为：（小时） 故选：D． 13．（24-25八年级上·河北保定·期中）若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零，据此列得等式或不等式，求出答案． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，且， 解得：或，且， ∴， 故选：B． 14．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法和增根的定义即可确定的取值范围． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 故选：C． 15．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意可得，然后代入，再化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 16．（24-25八年级上·河北承德·期中）若整数m使为正整数，则m的值为 ． 【答案】0，1，2，5 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，要使为正整数，则应是6的正因数，得到，2，3，6，从而解得m的值，熟练掌握分式的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵为正整数， ∴是6的正因数， 即，2，3，6． 解得，1，2，5， 故答案为：0，1，2，5． 17．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握处理增根问题的步骤：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到，把代入整式方程计算求出m的值即可． 【详解】解： ， 由分式方程有增根，得到，即， 将，代入上式得，． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·河北唐山·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·河北·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得到答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 20．为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的文具店购买A，B两种文具作为奖品．已知A文具的单价比B文具的单价贵5元，且用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同． (1)求A，B两种文具的单价； (2)若年级组需要购买A，B两种文具共100件，且购买这两种文具的总费用不超过1200元，则年级组至少购买B种文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元 (2)年级组至少购买B种文具60件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设文具的单价为元，则文具的单价为元，根据“用360元购买A文具的数量与用240元购买B文具的数量相同”列方程求解即可； （2）设年级组购买B种文具m件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：A文具的单价为15元，则B文具的单价为10元； （2）解：设年级组购买B种文具m件，则购买A种文具件， 根据题意，得， 解得， 答：年级组至少购买B种文具60件． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25八年级下·河北·期末）若，那么的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出x与y的关系式，进而求出结果． 【详解】解：， 交叉相乘得：， 将移到左边，合并同类项：， 两边同时除以2，得：， ， 故选：D． 22．（24-25八年级下·衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程增根的概念及应用．解题的关键是先根据分母为零确定增根，再把增根代入去分母后的整式方程求解 m 的值． 【详解】方程两边同乘最简公分母，得． 分式方程的增根是使分母为零的根，即，解得增根为． 将代入整式方程，得． 化简得，解得． 因此，的值为2， 故选：B． 23．（24-25八年级下·河北·期末）若关于的方程有正数解，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】本题考查了解分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，结合解为正数及分母不为零的条件确定参数范围． 【分析】解：原方程两边同乘，得：， 解得： ∵关于的方程有正数解， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是且， 故选：D． 24．新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（   ） A．是的“3分式” B．若的值为，则是的“2分式” C．若是的“1分式”，则 D．若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】 解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 25．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 26．（24-25八年级下·河北唐山·期末）若都是正实数，且，求 ． 【答案】3 【分析】计算，再利用解答即可． 本题考查了公式应用，等式变形，熟练掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 【详解】解：两边同乘a，得， 故， 同理可得，， ， 故 27．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，求不等式的解集，先求出分式方程的解，再根据解的情况得到关于的不等式，求出的取值范围，并求出最简公分母不等于时的取值即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， ∴， ∵方程的解是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 28．对于，规定． （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，将代入计算即可； （2）根据新定义，得，求出，然后将分组得，再计算即可． 【详解】解：（1）∵对于，规定， ∴当时，得： ， 故答案为：； （2）∵对于，规定， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，数字的变化规律，分式的混合运算，有理数的混合运算．理解新定义、确定是解题的关键． 29．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知，试确定A，B的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． 30．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （1）分别计算出，然后根据“差整分式”定义判断即可； （2）根据“差整分式”定义列出关于G的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：， A不是B的“差整分式”， ②， ； A是B的“差整分式”， ③ ； A不是B的“差整分式”， 故答案为：② （2）分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”为， ， ∴， 解得：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $