13.1《三角形的概念》 同步练习 2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 三角形 第1节 三角形的概念 目录： 一、核心知识管理 二、易错点辨析 三、考点例题精析与变式练习题 四、基础拔高练习 1、 核心知识点梳理 知识点1 三角形的定义与基本元素 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形（三要素缺一不可）。 ▶ 易错警示：“不在同一直线” 是关键，若三条线段共线则无法构成三角形。 2.基本元素： 边：3 条线段（如△ABC 的边为 AB、BC、CA，可表示为 a、b、c，其中 a 对应顶点 A 的对边 BC，b 对应顶点 B 的对边 AC，c 对应顶点 C 的对边 AB）； 顶点：3 个公共端点（A、B、C）； 内角：3 个相邻边组成的角（∠A、∠B、∠C）。 2. 表示方法： 记作 “△ABC”，顶点字母顺序可任意调整（如△ACB 与△ABC 为同一三角形）。 知识点2 三角形按边的分类 二、易错点辨析 误区1：“等腰三角形就是等边三角形”（反例：腰长 5、底边长 3 的三角形是等腰非等边三角形）； 误区2：“三角形按边分为等腰三角形和等边三角形”（正确分类：三边都不相等的三角形 + 等腰三角形）。 三、考点例题精讲与变式练习 考点一：三角形概念的理解 【例1】（2024・福州期中）下列图形中，符合三角形概念的是（　　） A.三条线段任意相交 B. 三条线段首尾顺次相接但共线 C. 不在同一直线的三条线段首尾顺次相接 D. 两条线段首尾相接 【分析】紧扣定义三要素 “不在同一直线、三条线段、首尾顺次相接”。 【解答】A 缺少 “首尾顺次相接”，B 违反 “不在同一直线”，D 只有两条线段，均不符合；C 满足所有条件。 故选：C． 【方法总结】判断时逐一核对定义的三个核心条件，缺一不可。 【变式练习1】（2024・武汉期中）下列说法正确的是（　　） A. 由三条线段组成的图形是三角形 B. △ABC 可读作 “ABC 三角形” C. 等边三角形是等腰三角形 D. 三角形的顶点一定在同一直线上 【分析】利用三角形定义解决此类问题。 【解答】A 缺少 “首尾顺次相接”，B 读法顺序错误，D 三角形三个顶点不在同一直线上，均不符合；C 正确。 故选：C． 【方法总结】掌握三角形定义即可。 考点二：三角形分类的应用 【例2】下列说法正确的是（　　） A. 锐角三角形中一定没有钝角 B. 直角三角形中一定有一个角不大于45° C. 等腰三角形一定不是等边三角形 D. 钝角三角形中可以只有一个锐角 A. 13cm B. 17cm C. 13cm 或 17cm D. 10cm 【分析】利用三角形分类及各类三角形的定义即可解决。 【解答】解：B、C、D均不符合题意，故都错误。A符合锐角三角形的定义，故A正确。 故选：A。 【方法总结】等腰三角形边长问题需分类讨论，且必须验证三边关系。 【变式练习2】（2024鄞州期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三角形的分类及相关定义。 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【方法总结】熟练掌握三角形定义及分类即可。 4、 基础拔高练习 时间：60分钟 总分：100分 一、选择题（本大题共8小题，总分32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A C D B C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 9．12． 10．∠A＝60°或∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝BC． 11．AF． 12．10． 13．3． 三、解答题（本大题共5小题，总分48分） 14．已知等腰△ABC的周长是32，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰△ABC的三条边的长． 解：设等腰△ABC的腰长为x，底边长为y， 根据题意得，， 解得，， ∴等腰△ABC的三边的长为12，12，8． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 15．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE． 解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD∥CB， ∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠CAD， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴AD平分∠CAE． 16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，AF平分∠DAC，作∠ACE的平分线交AF于点G． （1）求证：AF∥BC； （2）若∠AGC比∠B多30°，求∠B的度数． （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B， ∴， 由角平分线的定义可知，， ∴∠B＝∠DAF， ∴AF∥BC； （2）解：∵AF∥BC， ∴∠AGC＝∠GCE， ∵GC平分∠ACE， ∴∠ACG＝∠GCE＝∠AGC， 设∠B的度数为x，则∠ACG＝∠GCE＝∠AGC＝x+30°，∠DAF＝∠GAC＝∠B＝x， 可得：x+x+30°+x+30°＝180°， 解得：x＝40°， ∴∠B＝40°． 17．如图，在△ABC中，AD＝BD＝CD，BA平分∠DBE，EF⊥CA交CA的延长线点F． （1）求证：AB∥EF． （2）若∠E＝150°，求∠ADB的度数． （1）证明：∵AD＝BD＝CD， ∴∠ABD＝∠BAD，∠CAD＝∠ACD， ∵∠ABD+∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠ABD+∠BAD+∠CAD+∠ACD＝180°， ∴2∠BAD+2∠CAD＝180°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， 即∠BAC＝90°， ∵EF⊥CF， ∴∠F＝90°， ∴∠BAC＝∠F＝90°， ∴AB∥EF； （2）解：∵AB∥EF， ∴∠E+∠ABE＝180°， ∵∠E＝150°， ∴∠ABE＝180°﹣∠E＝30°， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABD＝∠ABE＝30°， ∴∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝180°﹣30°﹣30°＝120°． 18．【综合与实践】 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠A＝θ（0°＜θ＜90°），小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． （1）活动一： 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考： 小棒能无限摆下去吗？答：　 　 ；（填“能”或“不能”） （2）若AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝ 　 　 度； （3）活动二： 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： 若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝ 　 　 ，θ2＝ 　 　 ，θ3＝ 　 　 ；（用含θ的式子表示）； （4） 若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去． 故答案为：能； （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3＝45°， ∴∠AA2A1+∠θ＝45°， ∵∠AA2A1＝∠θ， ∴∠θ＝22.5°； 故答案为：22.5°； （3）∵A1A2＝AA1， ∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ． ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ． ∴θ1＝2θ． 同理可得：θ2＝3θ，θ3＝4θ． 故答案为：2θ，3θ，4θ． （4）如图： ∵A4A3＝A4A5， ∴∠A4A3A5＝∠A4A5A3＝4θ°， ∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质， 当∠A5A4B是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了， ∴当∠A4A3A5是锐角，∠A5A4B＝5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒， ∴5θ≥90°，且4θ＜90°， ∴18°≤θ＜22.5°． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 第1节 三角形的概念 目录： 一、核心知识管理 二、易错点辨析 三、考点例题精析与变式练习题 四、基础拔高练习 1、 核心知识点梳理 知识点1 三角形的定义与基本元素 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形（三要素缺一不可）。 ▶ 易错警示：“不在同一直线” 是关键，若三条线段共线则无法构成三角形。 2.基本元素： 边：3 条线段（如△ABC 的边为 AB、BC、CA，可表示为 a、b、c，其中 a 对应顶点 A 的对边 BC，b 对应顶点 B 的对边 AC，c 对应顶点 C 的对边 AB）； 顶点：3 个公共端点（A、B、C）； 内角：3 个相邻边组成的角（∠A、∠B、∠C）。 2. 表示方法： 记作 “△ABC”，顶点字母顺序可任意调整（如△ACB 与△ABC 为同一三角形）。 知识点2 三角形按边的分类 二、易错点辨析 误区1：“等腰三角形就是等边三角形”（反例：腰长 5、底边长 3 的三角形是等腰非等边三角形）； 误区2：“三角形按边分为等腰三角形和等边三角形”（正确分类：三边都不相等的三角形 + 等腰三角形）。 三、考点例题精讲与变式练习 考点一：三角形概念的理解 【例1】（2024・福州期中）下列图形中，符合三角形概念的是（　　） A.三条线段任意相交 B. 三条线段首尾顺次相接但共线 C. 不在同一直线的三条线段首尾顺次相接 D. 两条线段首尾相接 【变式练习1】（2024・武汉期中）下列说法正确的是（　　） A. 由三条线段组成的图形是三角形 B. △ABC 可读作 “ABC 三角形” C. 等边三角形是等腰三角形 D. 三角形的顶点一定在同一直线上 考点二：三角形分类的应用 【例2】下列说法正确的是（　　） A. 锐角三角形中一定没有钝角 B. 直角三角形中一定有一个角不大于45° C. 等腰三角形一定不是等边三角形 D. 钝角三角形中可以只有一个锐角 A. 13cm B. 17cm C. 13cm 或 17cm D. 10cm 【变式练习2】（2024鄞州期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 4、 基础拔高练习 时间：60分钟 总分：100分 一、选择题（本大题共8小题，总分32分） 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．如图，点B在∠A的一条边上固定不动，点C在∠A的另一条边上可以任意移动，连接BC，三角形ABC（　　） ①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④等腰三角形 A．只能是① B．只能是④ C．可能是①②③ D．可能是①②③④ 4．一个锐角三角形的任意两个锐角的和一定（　　）第三个锐角． A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 5．如图，等边△ABC纸片的边长为12，E，F是边BC的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 6．如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　） A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70° 7．如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．65° 8．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　） A．22° B．23° C．24° D．25° 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 9．如图，共有　 　 个直角三角形． 10．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　 　 ．（只需填上一个即可） 11．如图，在△ABF中，顶点B的对边是　 　 ． 12．如图，平面内有5个点A，B，C，D，E且任意三个点都不在同一条直线上，以其中任意3个点组成的三角形共有　 　 个． 13．若干个三角形中，共有2个钝角、4个直角、21个锐角，这些三角形中锐角三角形的个数为　 　 个． 三、解答题（本大题共5小题，总分48分） 14．已知等腰△ABC的周长是32，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰△ABC的三条边的长． 15．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥CB，求证：AD平分∠CAE． 16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，AF平分∠DAC，作∠ACE的平分线交AF于点G． （1）求证：AF∥BC； （2）若∠AGC比∠B多30°，求∠B的度数． 17．如图，在△ABC中，AD＝BD＝CD，BA平分∠DBE，EF⊥CA交CA的延长线点F． （1）求证：AB∥EF． （2）若∠E＝150°，求∠ADB的度数． 18．【综合与实践】 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设∠A＝θ（0°＜θ＜90°），小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上． （1）活动一： 如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒． 数学思考： 小棒能无限摆下去吗？答：　 　 ；（填“能”或“不能”） （2）若AA1＝A1A2＝A2A3＝1，则θ＝ 　 　 度； （3）活动二： 如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： 若已经向右摆放了3根小棒，则θ1＝ 　 　 ，θ2＝ 　 　 ，θ3＝ 　 　 ；（用含θ的式子表示）； （4）若只能摆放4根小棒，求θ的范围． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $