精品解析：天津市第二中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

2025-2026（一）天津二中高一年级第一次月考 数学学科试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列关系：①；②；③；④；⑤，正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 已知，则的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 1或 3. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 命题“，”为真命题一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式解集为 B. 若，则函数的最小值为2 C. 不等式的解集是 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 9. 当时，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 10. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 满足戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M没有最大元素，N没有最小元素 D. M有一个最大元素，N有一个最小元素 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 命题“”否定是__________. 12. 不等式的解集为__________. 13. 若，则的最大值是 _______ 14. 已知，，且，则的最小值为______． 15. 若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是__________________． 三、解答题（本题包括4道题，共40分） 16. 已知集合，，且. （1）写出集合的所有子集； （2）求实数的值组成的集合. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若求实数a取值范围. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（一）天津二中高一年级第一次月考 数学学科试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列关系：①；②；③；④；⑤，正确的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数集符号的意义，元素与集合的关系，空集的性质判断作答. 【详解】对于①，R表示实数集，是实数，所以，故①正确； 对于②，N表示自然数集，，故②错误； 对于③，Q表示有理数集，是无理数，所以，故③错误； 对于④，N表示自然数集，，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合子集，所以正确，故⑤正确. 综上，①⑤正确，②③④错误，所以正确的个数为2. 故选：D. 2. 已知，则的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性可得. 【详解】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以． 故选：C 3. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 4. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A选项，，，又，由不等式的性质得，A选项中的不等式正确； 对于B选项，若，则，，B选项中的不等式正确； 对于C选项，取，则，C选项中的不等式不成立； 对于D选项，，，则，则， ，D选项中的不等式正确. 故选C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题. 5. 设a，b是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 当时，符合，但不符合， 所以“”是“”不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解绝对值不等式和分式不等式，再根据充要条件的要求判断即得. 【详解】由 ，即得； 由，解得：. 因为由“”推不出“”，而由“”可以推出“” 故可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步即可判断. 【详解】若，，即，，所以当且仅当， 所以对比选项可知，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 若，则函数的最小值为2 C. 不等式的解集是 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由一元二次不等式的解法求解即可；对于B,由基本不等式求解即可；对于C，由绝对值不等式求解即可；对于D，分和讨论即可求解. 【详解】对A，由解得或，故A错误； 对B，利用基本不等式知， 由得，故不等式取不到等号，所以2不是函数的最小值，故B错误； 对C，根据已知可得：，解得：,故C正确； 对D，①当时，不等式为，恒成立； ②当时，若要使不等式恒成立，则，解得， 所以当时，不等式恒成立，则k的取值范围是，故D错误； 故选：C 9. 当时，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式直接可得最大值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以原式的最大值为. 故选：A 10. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 满足戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M没有最大元素，N没有最小元素 D. M有一个最大元素，N有一个最小元素 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例判断B;结合A中例子可判断C; 假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D. 【详解】对于A，满足戴德金分割的定义，A正确； 对于B,取，符合戴德金分割， M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确； 对于C，取满足戴德金分割的定义， M没有最大元素，N没有最小元素，C正确； 对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义， 必有，则无法满足，D错误， 故选： . 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 命题“”的否定是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题可得出结论. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为： 12. 不等式的解集为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式求解即得. 【详解】由移项通分，可得，与同解， 解得或，即原不等式的解集为或. 故答案为：或 13. 若，则的最大值是 _______ 【答案】 【解析】 【分析】即可求得最值. 【详解】，故，则， 当且仅当即时取“=”， 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由题可得，利用基本不等式可得，求解不等式即可. 【详解】因为，所以， 所以，即， 解得（舍去）或, 当且仅当时取等号, 则的最小值为. 故答案为： 15. 若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是__________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值即得. 【详解】由正数满足，得， 则，当且仅当时取等号， 由使恒成立，得， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 三、解答题（本题包括4道题，共40分） 16. 已知集合，，且. （1）写出集合的所有子集； （2）求实数的值组成的集合. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程求集合A，然后由子集定义即可得答案； （2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解. 【小问1详解】 由解得或， 所以， 所以集合的所有子集为，，，. 【小问2详解】 由得， ①当时，，满足条件. ②当时，，因为， 所以或，解得或. 综上，实数的值组成集合为. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若求实数a的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再利用交集，补集，并集的定义求解； （2）利用交集的结果，按照集合A是否为空集分类，列式求解. 【小问1详解】 由，即，解得或， 所以或， 所以， 当时，， ∴或，. 【小问2详解】 因为，当时，即，解得，符合题意； 当时，可得，解得， 综上可得a的取值范围是 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集 （2）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）R； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由一元二次不等式求解即可； （2）分和讨论，进行不等式恒成立求解． 【小问1详解】 ， ∴， ， ∴不等式的解集为R 【小问2详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得， 解得 综上所述，实数m的取值范围是. 19. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. 【小问2详解】 由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $