22.1二次函数的图象和性质（二）讲义2025-2026学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数y=a(x-h)²和y=a(x-h)²+k的图象与性质及平移规律，先通过表格梳理两种顶点式函数的开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性，再以平移步骤和“左加右减，上加下减”规律构建从性质到变换的学习支架。 资料特色在于结构化知识梳理与分层练习设计，通过表格对比培养抽象能力和几何直观，例题中顶点坐标判断等问题发展推理能力。课中辅助教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用与数学语言表达。

二次函数的图象与性质（二）讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点二：二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点三：平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 知识点四：平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数的图象与性质 【典型例题】 例1．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【巩固训练】 1．点、在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 类型二：二次函数的图象与性质 【典型例题】 例2．在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为（－2，－1）的是（     ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．已知二次函数，则有（ ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 2．抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1 3．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（ 9，3） B．（9，﹣3）C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3） 4．若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ． 类型三：二次函数平移 【典型例题】 例3．将抛物线 向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【巩固训练】 1.把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（　　） A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3 2．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应的函数表达式为 ． 3．把二次函数y＝mx2＋n的图象向下平移2个单位长度，再关于x轴对称的抛物线解析式y＝2x2＋4，则m﹣n＝ ． 【综合训练】 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2.二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的对称轴是(     ) A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣5 D．直线x＝5 3．关于二次函数，以下说法正确的是（　　） A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而增大 4.将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+6 B．y＝（x﹣4）2﹣2 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2+6 5．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 6．抛物线可由抛物线如何平移得到的（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 7．在下列二次函数中：①，②，③，图象开口最小的是 （填序号）． 8．若二次函数的图象上三点、、，则，，的大小关系是 ． 【答案】 二次函数的图象与性质（二）讲义2025-2026学年 人教版九年级上册 【知识梳理】 知识点一：二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点二：二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 知识点三：平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 知识点四：平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 【典型例题与巩固练习】 类型一：二次函数的图象与性质 【典型例题】 例1．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．最大值是3 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【巩固训练】 1．点、在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 类型二：二次函数的图象与性质 【典型例题】 例2．在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为（－2，－1）的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【巩固训练】 1．已知二次函数，则有（ ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 2．抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A．x=2 B．x=-2 C．x=1 D．x=-1 【答案】A 3．抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（ 9，3） B．（9，﹣3）C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3） 【答案】D 4．若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ． 【答案】m＞﹣1 类型三：二次函数平移 【典型例题】 例3．将抛物线 向右移动 1 个单位，再向下移动 7 个单位，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【巩固训练】 1.把抛物线y＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（　　） A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝﹣x2﹣3 C．y＝﹣x2+3 D．y＝﹣（x+2）2+3 【答案】D 2．将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应的函数表达式为 ． 【答案】 3．把二次函数y＝mx2＋n的图象向下平移2个单位长度，再关于x轴对称的抛物线解析式y＝2x2＋4，则m﹣n＝ ． 【答案】0 【综合训练】 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.二次函数y＝﹣（x﹣3）2+5的对称轴是(     ) A．直线x＝﹣3 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣5 D．直线x＝5 【答案】B 3．关于二次函数，以下说法正确的是（　　） A．当时，随增大而减小 B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而增大 【答案】C 4.将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+6 B．y＝（x﹣4）2﹣2 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2+6 【答案】D 5．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1） 【答案】A 6．抛物线可由抛物线如何平移得到的（    ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 7．在下列二次函数中：①，②，③，图象开口最小的是 （填序号）． 【答案】① 8．若二次函数的图象上三点、、，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 学科网（北京）股份有限公司 $