精品解析：2024年河南省对口升学学前教育类数学试卷

2024年河南省对口升学数学试卷 学前教育类 一、选择题：每小题2分，共30分． 1. 若集合，，则集合（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义及运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：D. 2. 下列四个函数中，是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义及常见函数的单调性求解即可即可得解. 【详解】选项A：的定义域为，且，所以该函数是奇函数. 因为，所以是单调递减的，不符合题意. 选项B：的定义域为，且，所以该函数不是奇函数，不符合题意. 选项C：的定义域为，且，所以该函数是奇函数. 因为，所以幂函数在定义域上单调递增，符合题意. 选项D：的定义域为，且，所以该函数不是奇函数，不符合题意. 故选：C. 3. 如果，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解. 【详解】因为，所以，又，则. 故选：D. 4. 函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数型复合函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于的定义域，有， 即，则或，解得或， 所以的定义域是. 故选：D. 5. 若等比数列的前3项之和等于3，且，，则（ ）. A. B. 8 C. D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式和通项公式求解即可. 【详解】因为等比数列的前3项之和等于3，， 所以， 整理得：， 即， 解得：或， 又因为，所以， 所以， 故选：A. 6. 已知，且是第四象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系求解即可. 【详解】∵, ∴, ∵是第四象限角, ∴. ∴. 故选：C. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 8. 若复数，则（ ）. A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与模的公式依次计算即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则. 故选：C. 9. 某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生抽取30人，则（ ）． A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出分层抽样的抽取比例，再利用样本容量总体抽取比例，计算即可. 【详解】因为中学有高中生1500人，从高中生抽取30人 ， 所以抽取比例为， 所以， 故选：D. 10. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加巴黎奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差分别为，，，，，，，，根据以上数据，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为（ ）. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数与方差的实际意义即可得解. 【详解】因为平均成绩反映了运动员的射击水平高低，平均成绩越高，说明射击水平越高； 标准差反映了成绩的稳定性，标准差越小，说明成绩越稳定， 因为甲的平均成绩，在四人中最低，首先排除甲， 乙、丙、丁的平均成绩均为，处于同一水平， 但，，，因为， 所以丙的标准差最小，成绩最稳定. 综上，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为丙. 故选：C. 11. 直线与圆的位置关系是（ ）. A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的标准方程得到其圆心与半径，再利用圆心到直线的距离与半径比较即可得解. 【详解】由圆，可知其圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. 故选：B. 12. 若直线l经过两点和，则直线l的方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两点坐标可得直线l的斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线l经过两点和， 所以直线l的斜率， 所以直线l的方程：，即. 故选：B. 13. 已知两点，，且，则（ ）． A. B. 6 C. 或2 D. 或6 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，代数求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以，即， 解得：或， 故选：C. 14. 下列表述正确的是（ ）． A. 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直 B. 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行 C. 若一条直线垂直于一个平面的一条直线，则这条直线与这个平面垂直 D. 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面平行，直线与平面垂直的性质逐项判断即可得解. 【详解】若一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直，故错误； 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行或异面，故错误； 若一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线与这个平面垂直，故错误； 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直，故正确， 故选：. 15. 在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥的几何性质、线面角的定义及直角三角形中三角函数的应用，分析求解即可. 【详解】 设正四棱锥的底面边长为，顶点为，底面为正方形， 取为顶点在底面上的投影，即为的中心， 因为侧棱与底边的边长相等， 所以，且平面， 如图所示即为棱与底面所成的角， 因为为正方形对角线，所以，， 又因为平面，平面， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 故选：B. 二、填空题：每小题3分，共30分． 16. 若集合，，则的真子集的个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义及运算，结合元素个数与真子集个数的关系，求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 因为集合中有个元素，所以其真子集个数为， 故答案为：. 17. 已知定义在上的函数，的最大值比最小值大1，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判断得的单调性，进而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以对数函数在上单调递增， 则在区间上的最小值为，最大值为， 所以，即，故. 故答案为：. 18. 求值：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式，求解即可. 【详解】 ， 故答案为：. 19. 已知等差数列的前三项依次为，，，则此数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得，再利用其通项公式即可得解. 【详解】因为等差数列的前三项依次为， 所以，解得， 则这三项依次为，即首项为，公差为， 所以. 故答案为：. 20. 若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系及三角函数值的正负判断角的范围，求解即可. 【详解】因为 ， 所以且， 又因为， 所以的取值范围是， 故答案为：. 21. 已知是奇函数，是偶函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，分析求解即可. 【详解】因为①， 所以， 又因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以②， 由①②得：，即， 所以， 所以，， 因此， 故答案为：. 22. 在平面直角坐标系中，直线l过点，且垂直于直线，则直线l的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件可得到直线l的斜率，再结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线l垂直于直线， 直线的斜率， 所以直线l的斜率， 又因为直线l过点， 所以直线l的方程是， 整理得：， 故答案为：. 23. 已知双曲线的方程为，该双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程得到的值，再利用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的方程可知：， 则， 所以， 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 24. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数运算法则求出的幂次的规律，再利用周期性来计算的值. 【详解】因为 所以， 即的幂次每四项的和等于0， 因为，，， 所以. 故答案为：. 25. 若某圆锥的母线长为，底面周长为，则此圆锥的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的结构特征与体积公式即可得解. 【详解】设某圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 因为圆锥的底面周长为，所以，解得， 又圆锥的母线长，则， 所以圆锥体积为. 故答案为：. 三、解答题（6小题，共40分） 26. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域和值域． 【答案】（1） （2）定义域：；值域： 【解析】 【分析】（1）将代入对应的解析式求出结果，再将其结果代入对应的解析式求解即可； （2）根据分段函数定义域和值域的求法求解即可. 【小问1详解】 函数， 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由分段函数的解析式可知， 其定义域为全体实数，即； 当时，因为，，所以此时， 当时，因为，，所以此时， 因此分段函数的值域为. 27. 已知为第一象限角，且，计算. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系求出的值，再利用三角函数诱导公式化简求值即可. 【详解】因为为第一象限角，且， 所以， 所以 . 28. 3名男生和2名女生站成一排，求2名女生恰好站在首尾两端的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式和排列组合公式计算即可. 【详解】2名女生恰好站在两端的优先排法， 3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的排法， 所以3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在两端的概率为. 29. 求过点，圆心在直线上，且半径为的圆的标准方程. 【答案】或 【解析】 【分析】利用待定系数法，结合圆的标准方程即可得解. 【详解】依题意，设圆的标准方程为， 其中在直线上，，且点在圆上， 所以，解得或， 所以圆的标准方程为或. 30. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，相交于点O，，E为的中点，. （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由，根据直线与平面平行的判定定理证明即可； （2）首先证明，因为，所以，结合已知，由此可得平面，再根据平面与平面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 连接， 因为四边形是平行四边形，，相交于点O， 所以点为的中点， 又因为E为的中点，所以， 因为在平面内，不在平面内， 所以直线平面. 【小问2详解】 因为，E为的中点，所以， 又因为，所以， 因为，且，，都在平面内， 所以平面， 又因为在平面内，所以平面平面. 31. 我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 【答案】（里） 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的前项和和通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，此人每天走得路程构成等比数列， 且公比为，前项和， 所以， 解得：， 所以（里）， 因此此人第5天走的路程为（里）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省对口升学数学试卷 学前教育类 一、选择题：每小题2分，共30分． 1. 若集合，，则集合（ ）． A. B. C. D. 2. 下列四个函数中，是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如果，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ）. A. B. C. D. 5. 若等比数列的前3项之和等于3，且，，则（ ）. A. B. 8 C. D. 16 6. 已知，且是第四象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若复数，则（ ）. A. B. C. D. 0 9. 某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生抽取30人，则（ ）． A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 10. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加巴黎奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差分别为，，，，，，，，根据以上数据，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为（ ）. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 直线与圆的位置关系是（ ）. A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 12. 若直线l经过两点和，则直线l的方程是（ ）． A. B. C. D. 13. 已知两点，，且，则（ ）． A. B. 6 C. 或2 D. 或6 14. 下列表述正确的是（ ）． A. 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直 B. 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行 C. 若一条直线垂直于一个平面的一条直线，则这条直线与这个平面垂直 D. 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直 15. 在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共30分． 16. 若集合，，则的真子集的个数是______． 17. 已知定义在上的函数，的最大值比最小值大1，则______. 18. 求值：______． 19. 已知等差数列的前三项依次为，，，则此数列的通项公式______. 20. 若，且，则的取值范围是______． 21. 已知是奇函数，是偶函数，且，则______． 22. 在平面直角坐标系中，直线l过点，且垂直于直线，则直线l的方程是______． 23. 已知双曲线的方程为，该双曲线的离心率为______． 24. 计算：______． 25. 若某圆锥的母线长为，底面周长为，则此圆锥的体积为______. 三、解答题（6小题，共40分） 26. 已知函数． （1）求的值； （2）求函数的定义域和值域． 27. 已知为第一象限角，且，计算. 28. 3名男生和2名女生站成一排，求2名女生恰好站在首尾两端的概率． 29. 求过点，圆心在直线上，且半径为的圆的标准方程. 30. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，相交于点O，，E为的中点，. （1）求证：直线平面； （2）求证：平面平面. 31. 我国古代数学名著《算法统宗》中关于行程问题有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”其大意为：某人要步行到378里外的要塞，第1天脚步快而有力，第2天回脚痛，所走路程比前一天减少了一半，此后每天走的路程都比前一天减少一半，走了6天才到达目的地．请根据以上材料，计算此人第5天走的路程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $