2.3有理数的乘除运算讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

有理数的乘除运算 学习目标 1. 理解有理数乘法和除法的法则，能熟练进行有理数的乘法和除法运算。 2. 掌握多个有理数相乘时积的符号确定方法。 3. 理解倒数的概念，会求一个非零有理数的倒数。 4. 能进行有理数的乘除混合运算，并能运用运算律简化运算。 5. 经历探索有理数乘除法则的过程，培养观察、归纳、概括的能力，发展运算能力。 6. 在解决问题的过程中，体验数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。 知识点讲解 一、有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0。 例如： · （同号得正，绝对值相乘） · （同号得正，绝对值相乘） · （异号得负，绝对值相乘） · （异号得负，绝对值相乘） · · 2. 多个有理数相乘： 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各个因数的绝对值相乘。 如果其中有因数为0，则积等于0。 例如： · ，负因数有4个（偶数），积为正，，所以结果为 ( 24 )。 · ，负因数有3个（奇数），积为负，，所以结果为 ( -6 )。 · 3. 有理数乘法的运算律： · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。 · 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。 · 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。 乘法分配律也适用于减法：。 二、有理数的除法 1. 有理数除法法则1（直接相除）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 注意：0不能作除数。 例如： · （同号得正，绝对值相除） · （同号得正，绝对值相除） · （异号得负，绝对值相除） · （异号得负，绝对值相除） · 2. 有理数除法法则2（转化为乘法）： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 即（） 例如： · · 3. 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数。 即如果，那么 ( a ) 和 ( b ) 互为倒数。 0没有倒数。 求一个非零有理数的倒数，只要把这个数的分子和分母颠倒位置即可（整数可以看作分母为1的分数）。 例如： · ( 3 ) 的倒数是，因为。 · 的倒数是，因为。 · ( -1 ) 的倒数是 ( -1 )，因为。 4. 有理数的乘除混合运算： 有理数的乘除混合运算，统一成乘法运算。可以按从左到右的顺序依次计算，也可以先确定积的符号，再将绝对值相乘除。 在含有带分数的乘除运算中，通常先把带分数化成假分数，再进行计算。 例题解析 例1计算下列各题： 解析： (1) 两数相乘，异号得负，绝对值相乘。 (2) 两数相乘，同号得正，绝对值相乘。 (3) 两数相乘，同号得正，绝对值相乘，注意分数乘法的计算。 (4) 任何数与0相乘都得0。 解答： 1) 2) 3) 4) 例2计算： 解析： 多个不为0的有理数相乘，先确定积的符号，负因数的个数是奇数个时积为负，偶数个时积为正，再将各数的绝对值相乘。本题中有3个负因数，积为负。 解答： 例3计算下列各题： 解析： (1) 两数相除，同号得正，绝对值相除。 (2) 除以一个数等于乘这个数的倒数，异号得负。 (3) 除以一个数等于乘这个数的倒数，同号得正，再进行分数乘法运算。 (4) 0除以任何非0数都得0。 解答： 1) 2) 3) 4) 例4计算： 解析： 本题可以利用乘法分配律进行简便计算，即。 解答： 例5计算： 解析： 这是一道有理数的乘除混合运算题。先将小数 ( -2.5 ) 化成分数，然后把除法统一成乘法，再按从左到右的顺序进行计算，或先确定符号，再计算绝对值。 解答： 巩固练习 选择题 1. 下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 1或-1 3. 计算的结果是（ ） A. -18 B. 18 C. -2 D. 2 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果 ab = 0 ，那么一定有（ ） A. a = 0 B. b = 0 C. a = 0 且 b = 0 D. a = 0 或 b = 0 填空题 1. 计算：。 2. 计算：。 3. 的倒数是 _________； 1.2 的倒数是 _________。 4. 计算：的结果的符号是 _________（填“正”或“负”）。 5. 若 a 与 b 互为倒数，则 3ab = _________。 6. 计算：。 解答题 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 5. 计算： 6. 已知 ，，且，求的值。 巩固练习答案与解析 选择题 1. C 解析：A. 有3个负因数，结果为负；B. 有0因数，结果为0；C. 有2个负因数，结果为正；D. 异号相乘，结果为负。 2. D 解析：1的倒数是1，-1的倒数是-1，0没有倒数。 3. B 解析：。 4. B 解析：A.；B.；C.；D.。 5. D 解析：0乘以任何数都得0，所以只要 ( a ) 或 ( b ) 中有一个为0，积就为0。 填空题 1. 42 解析：。 2. -16 解析：。 3. ； 解析：的倒数是；，其倒数是。 4. 负 解析：有3个负因数（-1，-3，-5），负因数个数为奇数，所以结果符号为负。 5. 3 解析：互为倒数的两数乘积为1，所以。 6. -3 解析：。 解答题 1. 解： 2. 解： 3. 解： 4. 解： 5. 解： 6. 解：因为 ，所以 ( a = 3 ) 或 ( a = -3 )； 因为 ，所以 ( b = 5 ) 或 ( b = -5 )。 又因为，所以 ( a ) 和 ( b ) 异号。 当 ( a = 3 ) 时，( b = -5 )，则； 当 ( a = -3 ) 时，( b = 5 )，则。 综上，的值为 (-15)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的乘除运算 学习目标 1. 理解有理数乘法和除法的法则，能熟练进行有理数的乘法和除法运算。 2. 掌握多个有理数相乘时积的符号确定方法。 3. 理解倒数的概念，会求一个非零有理数的倒数。 4. 能进行有理数的乘除混合运算，并能运用运算律简化运算。 5. 经历探索有理数乘除法则的过程，培养观察、归纳、概括的能力，发展运算能力。 6. 在解决问题的过程中，体验数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。 知识点讲解 一、有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘，都得0。 例如： · （同号得正，绝对值相乘） · （同号得正，绝对值相乘） · （异号得负，绝对值相乘） · （异号得负，绝对值相乘） · · 2. 多个有理数相乘： 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。然后把各个因数的绝对值相乘。 如果其中有因数为0，则积等于0。 例如： · ，负因数有4个（偶数），积为正，，所以结果为 ( 24 )。 · ，负因数有3个（奇数），积为负，，所以结果为 ( -6 )。 · 3. 有理数乘法的运算律： · 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。 · 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。 · 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。 乘法分配律也适用于减法：。 二、有理数的除法 1. 有理数除法法则1（直接相除）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 注意：0不能作除数。 例如： · （同号得正，绝对值相除） · （同号得正，绝对值相除） · （异号得负，绝对值相除） · （异号得负，绝对值相除） · 2. 有理数除法法则2（转化为乘法）： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 即（） 例如： · · 3. 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数。 即如果，那么 ( a ) 和 ( b ) 互为倒数。 0没有倒数。 求一个非零有理数的倒数，只要把这个数的分子和分母颠倒位置即可（整数可以看作分母为1的分数）。 例如： · ( 3 ) 的倒数是，因为。 · 的倒数是，因为。 · ( -1 ) 的倒数是 ( -1 )，因为。 4. 有理数的乘除混合运算： 有理数的乘除混合运算，统一成乘法运算。可以按从左到右的顺序依次计算，也可以先确定积的符号，再将绝对值相乘除。 在含有带分数的乘除运算中，通常先把带分数化成假分数，再进行计算。 例题解析 例1计算下列各题： 例2计算： 例3计算下列各题： 例4计算： 例5计算： 巩固练习 选择题 1. 下列计算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个数的倒数是它本身，则这个数是（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 1或-1 3. 计算的结果是（ ） A. -18 B. 18 C. -2 D. 2 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果 ab = 0 ，那么一定有（ ） A. a = 0 B. b = 0 C. a = 0 且 b = 0 D. a = 0 或 b = 0 填空题 1. 计算：。 2. 计算：。 3. 的倒数是 _________； 1.2 的倒数是 _________。 4. 计算：的结果的符号是 _________（填“正”或“负”）。 5. 若 a 与 b 互为倒数，则 3ab = _________。 6. 计算：。 解答题 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 计算： 5. 计算： 6. 已知 ，，且，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $