探究函数y=ax+b/x的图象与性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦分式型函数\(y = ax + \frac{b}{x}\)的图象与性质，从基础函数\(y = x + \frac{1}{x}\)入手引导猜想，通过探究、变式练习及归纳总结，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生掌握对勾函数与飘带函数的特征。 其亮点是以探究活动为主线，结合性质对比表格和例题应用，培养学生的数学眼光与推理意识。例如通过具体函数画图、参数分类讨论抽象性质，用表格和图象系统表达，提升学生探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

------对勾函数与飘带函数 在初中，我们知道y=x是正比例函数， 是反比例函数.不同的函数通过加、减、乘、除等运算可以构成新的函数.那么，将这两个函数相加构成的函数有哪些性质?这些性质与这两个函数的性质有联系吗? ——问题的提出 研究内容： 由特殊到一般的归纳推理和类比的思想方法 思考：研究一个新函数的基本路径？ ？ 数(解析式） 研究角度： 形（图像） 由数辨形，以形断数 思想方法： 定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点、图像 ——探究与发现 1.你认为可以从哪些方面研究这个函数? 2.你认为可以按照怎样的路径研究这个函数? 3.按照你构建的路径研究你想到的问题. 4.证明:当x>0时， ,当且仅当 ,即x=1时取得等号; 当x<0时， ,当且仅当 ,即x=-1时取得等号; 5.你画出的函数图象与图1类似吗? 6.函数 的图象有什么变化趋势?你能利用函数y=x和 的图象变化趋势说明函数 的图象变化趋势吗? 7.通过对函数 图象与性质的探究，你有哪些体会? ——探究与发现 1.你认为可以从哪些方面研究这个函数? 定义域、值域、图象、奇偶性、单调性. 2.你认为可以按照怎样的路径研究这个函数? 先求出定义域，再作出图象，然后结合图象研究性质(值域、奇偶性、单调性). 3.按照你构建的路径研究你想到的问题. 定义域： {x|x≠0}； 图象： 如图所示； 值域： (-∞，-2]∪[2,+∞）； 奇偶性： 奇函数； 单调性： 增区间(-∞，-1],[1,+∞）； 减区间[-1,0）,（0，1] ——探究与发现 4.证明:当x>0时， ,当且仅当 ,即x=1时取得等号; 当x<0时， ,当且仅当 ,即x=-1时取得等号; 5.你画出的函数图象与图1类似吗? 描点法作图 ——探究与发现 6.函数 的图象有什么变化趋势?你能利用函数y=x和 的图象变化趋势说明函数 的图象变化趋势吗? 在(-∞,-1]和[1,+∞)上， 的图象从左到右是上升的， 即在这两个区间上函数是单调递增的； 在[-1,0）和（0，1]上， 的图象从左到右是下降的， 即在这两个区间上函数是单调递减的； 在(-∞,-1]和[1,+∞)上，y=x的图象从左到右是匀速上升的，但 的图象是缓慢下降的，因此 的图象是上升的，无限靠近直线y=x ； 在[-1,0）和（0，1]上，y=x的图象从左到右是匀速上升的，但 的图象是下降得比较快，因此 的图象是下降的； ——探究与发现 7.通过对函数 图象与性质的探究，你有哪些体会? ——探究与发现 8.通过对函数 图象与性质的探究，你猜想一下函数 的图象和性质吗? ——探究与发现 9.函数 的图象和性质吗? 关于轴对称 定义域 图象 单调性 在 上是增函数， 在 上 是减函数 在 上是增函数， 在 是减函数 奇偶性 值域 渐近线 直线x=0和y=ax a>0、b>0 a<0、b<0 奇函数 (1)性质 ①定义域： ②值域： ③奇偶性： ④单调性： 单调递增区间： 单调递减区间： ⑤渐近线： (1)性质 ①定义域： ②值域： ③奇偶性： ④单调性： 单调递增区间： 单调递减区间： ⑤渐近线： (1)性质 ①定义域： ②值域： ③奇偶性： ④单调性： 单调递增区间： 单调递减区间： ⑤渐近线： (1)性质 ①定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞) ②值域：R ③奇偶性：奇函数. ④单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增. ⑤渐近线：x＝0. y=ax (2)图象 (1)性质 ①定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞) ②值域：R ③奇偶性：奇函数. ④单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减. ⑤渐近线：x＝0. y=ax (2)图象 定义域 图象 图象 单调性 单调性 奇偶性 奇函数 奇偶性 值域 值域 渐近线 渐近线 归纳总结（谈一谈） a>0、b>0 a<0、b<0 a>0、b＜0 a＜0、b＞0 （三）对勾函数与飘带函数的应用 方法提炼: 对勾函数可以解决利用基本不等式取不到等号时的最值问题. 例3(多选)已知函数 ，下列说法正确的是(　　) A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f(x)的值域为R 设t=x/y $