精品解析：2025年内蒙古中等职业学校对口升学文化课统一考试数学试题

2025年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 中职数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 8. 已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 9. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13. 已知函数，且，若，则__________. 14. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则的值为__________. 15. 某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 16. 定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 17. 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 18. 已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为__________. 三､解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 20. 已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 21. 已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 23. 某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 24. 已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古自治区普通高等学校对口招收 中等职业学校毕业生考试 中职数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分. 2.作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合并集的定义即可得解. 【详解】，解得或，所以； ，解得或，则， 则， 故选：. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由含绝对值不等式的解法直接计算即可. 【详解】由可得，，解得， 故不等式的解集是. 故选：D. 3. 已知函数，且，若，则（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件列出等式，再进行计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 因为，所以，解得. 因为，所以，进而. 故选：C. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 5. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】. 故选：B. 6. 已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 7. 经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行斜率相等及两点间的斜率公式求出，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】直线，斜率为， 因为经过点的直线与直线平行， 所以直线的斜率为，则， 则， 故选：. 8. 已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（ ） A. 15 B. 50 C. 100 D. 1250 【答案】B 【解析】 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列的公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 9. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 10. 某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有件，则样本容量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算即可解得. 【详解】甲产品型号所占比例为， 又知抽样中甲产品为件，则样本容量为. 故选：B 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义以及题目条件列出等式，求出p，进而得到 【详解】抛物线的准线为. 因为点在抛物线上，所以， 且点到点的距离等于其到准线的距离，即为. 点到直线的距离为. 因为点到点的距离与到直线的距离相等， 所以，解得. 又因为点在抛物线上，所以，解得. 从而. 故选：D. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先找到异面直线和所成角，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示，取的中点T，连接. 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 所以为直线和所成角. 在三角形中，, 则三角形为直角三角形，所以. 故选：C. 二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13. 已知函数，且，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则，代入计算即可. 【详解】函数，且， ，则， . 故答案为：. 14. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则的值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据二项式定理分别求出的展开式中的系数、的展开式中的系数，再列等式求解即可. 【详解】的展开式中的系数， 的展开式中的系数， 因为它们的系数相等，所以，解得. 故答案为：4. 15. 某校高三年级举行的个人技能比赛中有10名同学参赛，其中一班2名同学参赛，二班3名同学参赛，其它班级有5名同学参赛，若采取抽签的方式确定他们的比赛顺序，则二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】用捆绑法和插空法求出满足条件的事件数，再由古典概型概率公式计算即可. 【详解】将二班的3名同学看作一个整体，共有种情况， 将这个整体与除一班外其他班级的5名同学进行全排列共有种情况， 将上述排列形成的7个空，安排一班的2名同学，共有种情况， 故满足条件的基本事件数为， 而基本事件总数为， 故二班的3名同学恰好相邻，而一班的2名同学不相邻的概率为. 故答案为：. 16. 定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 17. 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 18. 已知双曲线与椭圆有公共的焦点，点为双曲线与椭圆的交点，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程求出焦距，设，由椭圆的定义及勾股定理列方程求出，即可求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】椭圆焦点，点为双曲线与椭圆的交点， 设，则， ，又， 所以， 因为，所以， 则， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，且点为双曲线与椭圆的交点， 所以，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 三､解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19. 在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 20. 已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 【小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 21. 已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 【小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线可得，再由线面平行的判定即可证明. （2）根据面面垂直的性质得平面，从而得出，再由勾股定理逆定理得出，由线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 如图，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点， 所以也为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又侧面， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为平面，， 所以平面. 23. 某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 24. 已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【小问1详解】 圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $