专题03 二次函数、一元二次不等式与其他常见不等式的解法及应用（期中复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题03 二次函数、一元二次不等式 与其他常见不等式的解法及应用 高一年级数学上学期 期中复习大串讲 人教A版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 3.1 二次函数的图象与性质(开口、对称轴、顶点、单调性) 能根据解析式快速画出草图,并分析其在给定区间上的最值. 所有二次问题的基础,必须熟练掌握. 3.2 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 能利用韦达定理解决与两根相关的对称式求值问题. 常与函数、不等式综合考查. 3.3 解一元二次不等式(不含参) 能熟练运用“化正→求根→画图→写解集”的步骤求解. 必考技能,解集的规范书写是易错点. 3.4 解含参数的一元二次不等式 能根据二次项系数、判别式Δ、根的大小进行分类讨论. 期中压轴题常见考点,对分类讨论思想要求高. 3.5 解分式不等式 能通过移项、通分化为商的形式,再利用符号法则转化为整式不等式组求解. 易错点是直接去分母或忘记分母不为零的限制. 3.6 不等式的恒成立与有解问题 能准确将“恒成立”与“有解”问题转化为函数最值问题,并求解参数范围. 期中压轴题核心题型.易错点是混淆“恒成立”(求最值)与“有解”(求最值)的转化逻辑 3.7 一元二次不等式的实际应用 能解决与利润、面积、升降趋势相关的实际问题. 体现数学应用价值,是命题方向 3 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 抛物线 5 R 6 7 8 9 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 10 11 12 13 A 14 ACD 15 AB 16 A 17 A 18 A 19 20 C 21 D 22 23 24 25 A 26 D 27 B 28 C 29 B 30 C 31 32 33 34 35 36 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 37 A 38 B 39 A 40 A 41 BCD 42 43 44 45 B 46 C 47 B 48 BCD 49 50 51 52 53 54 55 C 56 C 57 58 59 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 60 (2)当时,抛物线开口向上．在区间上,函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上,函数值y随自变量x的增大而增大．函数在处有最小值,即_______． 当时,抛物线开口向下．在区间上,函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上,函数值y随自变量x的增大而减小．函数在处有最大值,即________． 知识点01 二次函数及其性质 (1)函数的图象是一条____________,顶点坐标是___________________________,对称轴是直线____________． 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根) 有两个相等实根 没有实根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 (4)恒成立的充要条件是___________且____________． (1)恒成立的充要条件是___________且____________． (2)恒成立的充要条件是___________且____________． (3)恒成立的充要条件是___________且____________． ④ ① ② ③ 根式不等式可平方求解,高次不等式可用数轴穿根法求解. 知识点05 解指对数不等式(跨章节) 指对数不等式结合单调性求解,特别注意底数对于函数单 调性的影响及对数的真数大于0. (2)； (3)； (4)． 【详解】(1)不等式可化为,∴不等式的解集是． (2)不等式可化为,∴不等式的解集是． (3)不等式可化为,∴不等式的解集是． (4)不等式可化为,∴不等式的解集是或． 题型一 解不含参的一元二次不等式 【典例1】解下列不等式： (1)； 【详解】(1)由,得, 所以不等式的解集为； (2)由,得, 即,解得或, 所以不等式的解集为. 【变式1】(24-25高一上.福建福州.期中)解下列一元二次不等式 (1) (2) 【详解】(1)方程的解为,, 所以的解集为：或. (2)方程的解为,, ∵不等式可化为, ∴ 所以的解集为：. 【变式2】(24-25高一上.新疆.期中) 解下列不等式： (1) A． B． C． D． 【分析】首先求得,然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为, 所以的两个根为1,2, 所以由韦达定理有,解得, 所以不等式,即不等式或. 题型二 一元二次不等式的解求参数问题 【典例1】(24-25高一上.天津.期中)已知关于x的不等式的解集为,则关于x的 不等式的解集为( ) C． D．函数在上单调递增 【详解】对于A,由题意,方程有两根为和2,且,故A正确； 由韦达定理,即.对于B,由, 即解得或,故B错误； 对于C,因,且,故,故C正确； 对于D,,因,故该函数在上单调递增,故D正确. 【变式1】(24-25高一上.广东汕头.期中)(多选)若关于的不等式 的解集为, 则下列选项正确的是( ) A． B．不等式的解集为 【详解】对于A,因,不等式解集为两根之间型,则,故A正确； 对于B,由题的解为或,则,故B正确； 对于C,因关于x的不等式的解集是, 则当时,,故C错误； 对于D,由B,结合韦达定理,, 则, 则的解集是或,故D错误. 【变式2】(24-25高一上.湖南怀化.期中)(多选)已知关于x的不等式的解集是,则下列说法正确的是( ) A． B． C． D．不等式的解集是或 A． B． C． D． 【分析】利用将分式不等式转化成整式不等式求解. 【详解】,解得或 ∴不等式的解集为. 题型三 解分式不等式 【典例1】(24-25高一上.广东茂名.期中)不等式的解集是( ) 【分析】解分式不等式及绝对值不等式,根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】由,解之得或, 由或,解之得或, 记不等式的解对应集合, 显然A是B的真子集,所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式1】(24-25高一上.吉林延边.期中)“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】解不等式化简集合,再根据并集运算即可求解. 【详解】, 所以. 【变式2】(24-25高一上.浙江杭州.期中)若集合,,则( ) A． B． C． D． 可得, 所以 方程的根为, 由数轴标根法可得. 题型四 解根式、高次不等式 【典例1】关于的不等式的解集为. 【分析】解根式不等式求集合,再由交运算求集合. 所以. 【变式1】(24-25高一上.贵州.期中)设集合,,则( ) A． B． C． D． 【分析】将不等式化简得,将分式不等式转化成整式不等式即可解. 【详解】由,得, 所以, 所以,即, 故的取值范围为． 【变式2】(24-25高一上.云南昆明.期中)已知,则的取值范围为( ) A． B． C． D． (1)若,求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【详解】(1)若,则由, 解得,所以不等式的解集为. (2)不等式,即, 当时,,解原不等式可得或； 当时,原不等式即为,即恒成立； 当时,,解原不等式可得或. 题型五 解含参的一元二次不等式 【典例1】(24-25高一上.福建南平.期中)设. (2)当时,不等式化为,解得, (3)当时,不等式化为,解得或, (4)当时,不等式化为,解得, (5)当时,不等式化为,解得或, 综上所述, 时,不等式的解集为时,不等式的解集为；时,不等式的解集为； 时,不等式的解集为；时,不等式的解集为; 【变式1】解关于的不等式. 整理有,解得或, 当,即时,不等式的解集为或, 当,即时,不等式的解集为, 当,即时,不等式的解集为或； (2)当时,解得, 若,原式化为,满足题意,若,原式化为,不合题意； 综上所述,实数的取值范围为：. 【变式2】(24-25高一上.山东淄博.期中)(1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围． A． B． C． D． 【分析】由已知可知,要一元二次不等式对一切实数恒成立,则,解不等式组可得 【详解】由已知可知,所以要一元二次不等式对一切实数恒成立, 所以的取值范围为. 题型六 一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题 【典例1】(24-25高一上.广西柳州.阶段练习)一元二次不等式对一切实数x都成立,则k的取值 范围为( ) 【分析】分离参数,结合对勾函数单调性可求得参数范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立, 所以在区间上恒成立, 由对勾函数性质可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,故, 【变式1】(24-25高一上.湖南长沙.期中)若不等式对一切恒成立,则实数的取值 范围为( ) A． B． C． D． 【分析】利用分离变量法整理不等式,构造函数解析式,求得新函数在给定区间上的最值,可得答案. 【详解】由题,,,即,即在上有解, 设,则,, 易知函数在上单调递增,在上单调递减, 【变式2】(24-25高一上.安徽池州.期中)已知关于的不等式在上有解,则实数的取值 范围是( ) A． B． C． D． A．或 B． C． D． 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组,即可求解． 【详解】设, 则由题意可知,即,解得, 故实数的取值范围是. 题型七 一元二次方程根的分布问题 【典例1】(24-25高一上.浙江.期中)关于的方程有两根,其中一根小于2,另一根大于3,则 实数的取值范围是( ) 【分析】设关于x的方程的两个根分别为,根据满足的条件列不等式组,解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系,知 所以由题意知,即,解得. 【变式1】(24-25高一上.安徽合肥.期中)已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根,则实数m的取值范围是( ) A．或 B． C． D．或 【详解】令,由二次函数根的分布性质,若一根在区间内, 另一根在区间(3,4)内, 只需,即, 解不等式组可得,即的取值范围为, A． B． C． D． 【分析】令,由二次函数根的分布性质有,,,求得的取 值范围. (2)若该主播按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元,则每天的销售量最少应为多少件？ 【详解】(1)设,由图可知,函数图象过点, 所以,解得,所以,由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. 题型八 实际应用 【典例1】(24-25高一上.江苏盐城.期中)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现,该 商品每天的销售量(件)与销售单价(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若单价不低于成本价24元,且不高于50元销售,则, 则利润, 其开口向下,对称轴为,所以当时,利润取得最大值 为,所以当单价为元时,取得最大利润为元. 则,整理得,即,解得, 销售量是减函数,所以当时,销售量最小,且最小值为件. (2)若该主播按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元,则每天的销售量最少应为多少件？ (2)为了抓住此次契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【详解】(1)设每件定价为t元,依题意得, 则,解得, (2)依题意,时,不等式有解 ,等价于时,有解, 因为(当且仅当时等号成立),所以,此时该商品的每件定价为30元. 【变式1】(23-24高一上.湖北襄阳.期中)中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售 8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (1)已知阁楼屋顶为高2m,底边长5m的锐角三角形,若开一个内接矩形窗户(阴影部分)(如图所示). (i)要使窗户面积不小于2平方米,求x的取值范围； (ii)规定：民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,若阁楼的窗户面积与 地板面积的总和为16.5平方米,则当边长x为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ 【详解】(1)(i)设矩形的另一边长为,由三角形相似得且, 所以,又矩形窗户面积, 解得,故的取值范围为. 【变式2】(24-25高一上.上海.期中)现要在阁楼屋顶上开一窗户,设其一边长(单位：m)为x.    所以,即,解得,故窗户面积最小为, 令,可得,解得或. 故当为米或米时,窗户面积最小,为平方米. (2)设分别表示原来窗户面积和地板面积,表示窗户和地板所增加的面积(面积单位都相同), 因为,所以,即, 所以窗户和地板同时增加相等的面积,采光条件变好了. (2)一般认为,窗户面积与地板面积的比值越大,采光效果越好,若同时增加相同的窗户面积和地板面积, 采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由. (ii)设地板面积为,解不等式组, 1．(24-25高一上.重庆.期中)不等式的解集为( ) A． B． C．或 D．或 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由,可得,解得, 所以不等式的解集为. 期中基础通关练(测试时间：15分钟) 一、单选题 【详解】不等式的解集为, 则需满足,解得, 2．(24-25高一上.海南儋州.期中)若不等式的解集为,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【分析】根据判别式即可求解. 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 所以不等式可化为,即, 解得或,即不等式的解集为 3．(24-25高一上.湖南永州.阶段练习)不等式的解集为,则不等式的 解集为( )． A． B． C． D． 【分析】由已知可知,要一元二次不等式对一切实数恒成立,则,解不等式组可 得答案 【详解】由已知可知,所以要一元二次不等式对一切实数恒成立, 则,即,解得, 所以的取值范围为. 4．(24-25高一上.广西柳州.阶段练习)一元二次不等式对一切实数x都成立,则k的取值范围为( ) A． B． C． D． A． B． C． D．不等式的解集为 【分析】根据题设及图象有且,得,并结合一元二次不等式解法,判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且, 所以,则,,,A错,B、C对； ,则,D对. 二、多选题 5．(24-25高一上.福建南平)已知二次函数(a,b,c为常数,且)的部分图象如图所示,则( ) 【详解】由题意,在上有解,∴在上有解, 即,其中,在中,, 对称轴,∵,二次函数开口向上,∴函数在单调递减,在上单调递增, ∴函数在上取最大值,,∴. 6．(24-25高一上.广东肇庆.期中)若关于的不等式在上有解,则实数的取值范围为_________. (1)若,求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于,两点,求的最小值. 【详解】(1)时,,解得或, 原不等式的解集为或； (2)令,由得, 故,, 当时,取得最小值,最小值为. 四、解答题 (2)； (3). 【详解】(1),故解集为； (3),即,当,解集为； 当,解集为；当,解集为. 8．(24-25高一上.广东深圳.阶段练习)解关于的不等式. (1)； 9．(24-25高一上.江西赣州.期中)若关于的不等式的解集为,且,则实数的值为( ) A． B． C．1 D．4 【详解】因为关于的不等式的解集为, 所以, , 因为,所以,解得或1(舍去). 期中重难突破练(测试时间：30分钟) 一、单选题 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组,即可求解． 【详解】设, 则由题意可知,即,解得, 10．(24-25高一上.浙江.期中)关于的方程有两根,其中一根小于2,另一根大于3,则 实数的取值范围是( ) A．或 B． C． D． 【详解】不等式可化为, 当时,原不等式等价于,其解集为,不满足题意； 当时,原不等式等价于,其解集为, 其解集中恰有3个整数解,所以,解得； 当时,原不等式等价于, 其解集为,不满足题意； 其解集中恰有3个整数解,所以,解得, 综上所述,实数的取值范围是. 11．(24-25高一上.江苏徐州.期中)若关于的不等式恰有3个整数解,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 对于C,因为二次函数的图象的对称轴为,点坐标为,所以点的坐标为, 二、多选题 B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 【详解】对于A,因为函数的对称轴为,所以,整理得.故A正确； 所以,故B错误； 12．(24-25高一上.四川成都.期中)如图所示,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,且对称轴为,点坐标为,则下面结论中不正确的是( ) 所以,,所以可化为, 由于,所以,解得.故C错误； 对于D,由C可设,, 当时,方程即为, 所以,由于,此时方程有两个不等实数根,故D错误. 所以和是方程的两根,所以,, (1)若,求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【详解】(1)若,则由, (2)不等式,即, 当时,,解得；当时,则,解原不等式可得； 当时,,解原不等式可得或；当时,原不等式 即为,即恒成立；当时,, 解原不等式可得或. 综上所述,当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为； 三、解答题 当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为； 当时,原不等式的解集为. 13．(24-25高一上.福建南平.期中)设. (2)若不等式对于实数时恒成立,求的取值范围； (3)解关于的不等式：. (2),则对于实数时恒成立, 则,即,解得,∴则的取值范围为. 14．(24-25高一上.上海.期中)设函数. (1)若关于的不等式的解集为,求实数的值； 当时,不等式可化为,此时,所以不等式的解集为. ①当时,,不等式的解集为； ②当时,,不等式的解集为或； ③当时,,不等式的解集为或； 综上,当时,解集为或；当时,解集为；当时,解集为或；当时,解集为；当时,解集为. (3)解关于的不等式：. (3)依题意,等价丁,当时,不等式可化为,解集为. (2)若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围. 【详解】(1)由. 得,所以, 若,即,上式可化为：,解得； 若,即,上式可化为：,解得； 若,即,上式可化为：, 综上可知：当时,原不等式的解集为； 当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为. 15．(24-25高一上.广西南宁.阶段练习)已知函数. 所以,因为恒成立,所以：. 问题转化为：存在,使得成立,所以, 因为(当且仅当,即时取等号), 所以,当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. (2)若存在,使得不等式成立,求实数的取值范围. (2)不等式,即, (2)若每个人形机器人的售价为万元,假设生产出来的每个人形机器人都能够售出,则该企业应如何制订生产计划,才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【详解】(1)设平均每个人形机器人的成本为万元,根据题意有 当且仅当,即时取等号. (2)设月利润为万元,则有, 由题知,整理得,解得. 16．(24-25高一上.河南南阳.期中)数字经济是以数据资源为关键要素,以现代信息网络为主要载体,通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态,在技术层面,包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面,包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人,每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元,x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时,平均每个人形机器人的成本最低,最低为多少万元？ A． B． C． D． 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即,故, 故解集为. 期中综合拓展练(测试时间：15分钟) 一、单选题 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合,即可根据交集的运算解出． 【详解】方法一：因为,而, 所以．故选：C． 方法二：因为,将代入不等式,只有使不等式成立,所以．故选：C． 18．(2023.新课标Ⅰ卷.高考真题)已知集合,,则( ) A． B． C． D． 【详解】原不等式转化为,解得,则其解集为. 二、填空题 19．(2025.上海.高考真题)不等式的解集为__________. 故不等式的解集为. 20．(2024.上海.高考真题)已知则不等式的解集为___________． 【详解】方程的解为或, $