2. 1 认识有理数 讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

认识有理数 学习目标 1. 理解有理数的意义，能将给出的有理数按要求进行分类。 2. 理解数轴、相反数、绝对值的概念，会用数轴上的点表示有理数，能求出一个数的相反数和绝对值。 3. 会比较有理数的大小。 4. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，并能熟练进行有理数的混合运算。 知识点讲解 1. 有理数的概念 · 整数：正整数、零、负整数统称为整数。例如：。 · 分数：正分数、负分数统称为分数。例如：（有限小数）, （无限循环小数）。 · 有理数：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的分类 · 按定义分类： · 按性质分类： 3. 数轴 · 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 · 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 4. 相反数 · 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。 · 互为相反数的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 · 数 a 的相反数是 。若 a 与 b 互为相反数，则 。 5. 绝对值 · 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 · 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身；若 a > 0，则 。 · 负数的绝对值是它的相反数；若 a < 0，则 。 · 0 的绝对值是 0；若 ，则 。 · 绝对值具有非负性，即 。 6. 有理数的大小比较 · 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 · 在数轴上，右边的数总比左边的数大。 7. 有理数的运算 · 加法法则： · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 · 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 · 一个数同 0 相加，仍得这个数。 · 加法运算律： · 交换律： · 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) · 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 。 · 乘法法则： · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 · 任何数同 0 相乘，都得 0。 · 几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 · 乘法运算律： · 交换律： · 结合律： · 分配律： · 除法法则： · 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即 。 · 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 · 乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 · 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 · 有理数的混合运算顺序： · 先乘方，再乘除，最后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例题解析 例题1：将下列各数分别填入相应的集合里： ， 0， ， ， 8.7， ， ， ， 10% 整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 正有理数集合：{ ... } 负有理数集合：{ ... } 例题2： (1) 在数轴上表示出下列各数，并比较它们的大小：， 1.5， 0， ， 4 (2) 求出上述各数的相反数和绝对值。 例题3：计算： 例题4：计算： 巩固练习 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，不是有理数的是 A. B. 0 C. D. 2. 下列说法正确的是 A. 绝对值等于它本身的数一定是正数 B. 互为相反数的两个数的绝对值相等 C. 有理数分为正有理数和负有理数 D. 倒数等于它本身的数只有 1 3. 的倒数是 A. 5 B. C. D. 4. 下列计算结果等于 的是 A. B. (-7) + (+4) C. D. (+7) + (-4) 5. 某地一天的最高气温是 ，最低气温是 ，则该地这天的温差是 A. B. C. D. 二、填空题 1. 的相反数是 ______。 2. 比较大小： ______ （填“>”、“<”或“”）。 3. 若 ， ，且 a < b，则 的值为 ______。 4. 地球上的海洋面积约为 361000000 平方千米，用科学记数法表示为 ______ 平方千米。 三、解答题 1. 把下列各数填入相应的大括号内： ， 0， ， ， 10%， ， ， 正整数集合：{ ... } 负分数集合：{ ... } 非负数集合：{ ... } 2. 计算下列各题： (1) (-12) - (+8) + (-6) - (-5) (2) (3) (4) 3. 已知有理数 a、b 在数轴上的对应点如图所示（数轴描述：点 a 在原点左侧，点 b 在原点右侧，且点 a 到原点的距离大于点 b 到原点的距离）。 化简： 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 认识有理数 学习目标 1. 理解有理数的意义，能将给出的有理数按要求进行分类。 2. 理解数轴、相反数、绝对值的概念，会用数轴上的点表示有理数，能求出一个数的相反数和绝对值。 3. 会比较有理数的大小。 4. 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，并能熟练进行有理数的混合运算。 知识点讲解 1. 有理数的概念 · 整数：正整数、零、负整数统称为整数。例如：。 · 分数：正分数、负分数统称为分数。例如：（有限小数）, （无限循环小数）。 · 有理数：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的分类 · 按定义分类： · 按性质分类： 3. 数轴 · 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 · 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 4. 相反数 · 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。 · 互为相反数的两个数，在数轴上位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 · 数 a 的相反数是 。若 a 与 b 互为相反数，则 。 5. 绝对值 · 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 · 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身；若 a > 0，则 。 · 负数的绝对值是它的相反数；若 a < 0，则 。 · 0 的绝对值是 0；若 ，则 。 · 绝对值具有非负性，即 。 6. 有理数的大小比较 · 正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 · 在数轴上，右边的数总比左边的数大。 7. 有理数的运算 · 加法法则： · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 · 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 · 一个数同 0 相加，仍得这个数。 · 加法运算律： · 交换律： · 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) · 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 。 · 乘法法则： · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 · 任何数同 0 相乘，都得 0。 · 几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。 · 乘法运算律： · 交换律： · 结合律： · 分配律： · 除法法则： · 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即 。 · 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 · 乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 · 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 · 有理数的混合运算顺序： · 先乘方，再乘除，最后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例题解析 例题1：将下列各数分别填入相应的集合里： ， 0， ， ， 8.7， ， ， ， 10% 整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 正有理数集合：{ ... } 负有理数集合：{ ... } 解答： 整数集合：{ , 0, , ... } 分数集合：{ , 8.7, , , 10% ... } 正有理数集合：{ , 8.7, , 10% ... } 负有理数集合：{ , , , ... } 解析：本题考查有理数的分类。整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数，有限小数和无限循环小数也属于分数；正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。 例题2： (1) 在数轴上表示出下列各数，并比较它们的大小：， 1.5， 0， ， 4 (2) 求出上述各数的相反数和绝对值。 解答： (1) （数轴表示略，描述如下：在数轴上，从左到右依次找到表示 ， ， 0， 1.5， 4 的点。） 它们的大小关系为： (2) 的相反数是 3，绝对值是 ； 1.5 的相反数是 ，绝对值是 ； 0 的相反数是 0，绝对值是 ； 的相反数是 2.5，绝对值是 ； 4 的相反数是 ，绝对值是 。 解析：本题考查数轴、相反数和绝对值的概念及有理数大小比较。数轴上右边的数总比左边的数大。一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号（0的相反数是0）。一个数的绝对值是它在数轴上所对应点到原点的距离。 例题3：计算： 解答： （先算乘方 ，绝对值 ，除法 ） （再算乘法 ） （从左到右依次计算加减） （将 化为 ，通分） 解析：本题考查有理数的混合运算。运算顺序是关键：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减。同级运算从左到右进行。注意 与 (-2)^2 的区别，，(-2)^2 = 4。 例题4：计算： 解答： （利用乘法分配律 ） （分别计算每一项乘法：， ， （去括号） （加法交换律和结合律，将正数先相加） 解析：本题考查有理数的乘法分配律的应用。对于括号内是分数加减，括号外是整数的乘法运算，利用分配律可以简化计算，即把括号外的数分别与括号内的每一个数相乘，再把所得的积相加（减）。 巩固练习 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，不是有理数的是 A. B. 0 C. D. 2. 下列说法正确的是 A. 绝对值等于它本身的数一定是正数 B. 互为相反数的两个数的绝对值相等 C. 有理数分为正有理数和负有理数 D. 倒数等于它本身的数只有 1 3. 的倒数是 A. 5 B. C. D. 4. 下列计算结果等于 的是 A. B. (-7) + (+4) C. D. (+7) + (-4) 5. 某地一天的最高气温是 ，最低气温是 ，则该地这天的温差是 A. B. C. D. 二、填空题 1. 的相反数是 ______。 2. 比较大小： ______ （填“>”、“<”或“”）。 3. 若 ， ，且 a < b，则 的值为 ______。 4. 地球上的海洋面积约为 361000000 平方千米，用科学记数法表示为 ______ 平方千米。 三、解答题 1. 把下列各数填入相应的大括号内： ， 0， ， ， 10%， ， ， 正整数集合：{ ... } 负分数集合：{ ... } 非负数集合：{ ... } 2. 计算下列各题： (1) (-12) - (+8) + (-6) - (-5) (2) (3) (4) 3. 已知有理数 a、b 在数轴上的对应点如图所示（数轴描述：点 a 在原点左侧，点 b 在原点右侧，且点 a 到原点的距离大于点 b 到原点的距离）。 化简： 。 巩固练习参考答案 一、选择题 1. C 解析：有理数是整数和分数的统称。 是无限不循环小数，不是有理数。A是有限小数，B是整数，D是分数，都是有理数。 2. B 解析：A. 绝对值等于它本身的数是正数和0，故A错误； B. 互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以绝对值相等，故B正确； C. 有理数分为正有理数、0和负有理数，故C错误； D. 倒数等于它本身的数有1和，故D错误。 3. D 解析：乘积为1的两个数互为倒数。，所以的倒数是。 4. B 解析：A. ； B. (-7) + (+4) = -3； C. ； D. (+7) + (-4) = 3。故选B。 5. A 解析：温差 = 最高气温 - 最低气温，即 。 二、填空题 1. 解析：，3的相反数是。 2. > 解析：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。，，因为 ，所以 。 3. 或 解析：因为 ，所以 ；因为 ，所以 。又因为 a < b，所以当 时， 或 都满足。当 ， 时，；当 ， 时，。故 的值为 或 。 4. 解析：科学记数法的表示形式为 ，其中 ，n 为整数。确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值 > 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 < 1 时，n 是负数。。 三、解答题 1. 解： 先化简各数：， ， 。 正整数集合：{ , .} （即 {4, 5 ...}） 负分数集合：{ } 非负数集合：{ 0, , 10%, , } （非负数包括0和正数） 2. 计算下列各题： (1) (-12) - (+8) + (-6) - (-5) （减去一个正数等于加上它的相反数，减去一个负数等于加上它的正数） （结合负数） (2) （先算乘法：同号得正，） （再算除法：异号得负，） (3) （乘法分配律） （分别计算各项乘积） （结合正数） (4) （先算乘方：，(-3)^2 = 9；再算小括号内 ） （中括号内 ，） （从左到右算乘法：） （算乘法：，减去一个负数等于加上它的相反数） （，） 3. 解： 根据题意可知：a < 0，b > 0，且 |a| > |b|。 所以 （因为负数减正数结果为负数）。 （因为 a < 0，所以 ；b > 0，所以 ；，所以 ） （去括号） （合并同类项） 学科网（北京）股份有限公司 $