23.3 课题学习 图案设计（同步练习）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

23.3 课题学习 图案设计 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•晋安区期末）传统建筑的窗棂设计样式繁多、精巧美观，体现了中国建筑设计的独特艺术表现力和文化内涵．下面四幅在福州三坊七巷窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A．柿蒂纹B．海棠纹C．四钱纹 D．如意纹 2．（2025春•睢宁县期中）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025•光明区校级模拟）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则旋转角至少为（　　） A．60° B．120° C．180° D．270° 4．（2025春•宿迁期中）如图的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 5．（2025春•海勃湾区校级期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A1B1C1D1形成一个“方胜”图案，若BD1＝6cm，则DE的长是（　　） A．2cm B． C． D． 6．（2024春•黎川县期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　） A．绕AB的中点M顺时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折 C．绕点C逆时针旋转90度 D．沿DE方向平移 7．（2024秋•城厢区校级期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标（　　） A．（﹣1，2） B．（0，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，0） 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•南宁期末）图中的风车图案，绕着它的中心O旋转，旋转角至少为　 　 度，旋转后的风车能与自身重合． 9．（2024秋•静安区期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，离意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形ABCD沿射线AC方向平移得到正方形EFGH，形成“方胜”图案，且E是AC的三等分点（AE＜EC），如果平移距离为2，那么点A与点G的距离是 　 　 ． 10．（2023秋•青龙县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　 　 个． 11．（2025•河西区校级模拟）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝4，BC＝3． （Ⅰ）AC的长度为 　 　 ； （Ⅱ）MN的长度为 　 　 ． 12．（2024秋•临淄区期中）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为 　 　 （填序号）． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•于洪区期末）如图，在8×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上． （1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C； （2）将△ABC先向右平移1格，再向下平移2格，画出平移后的△A2B2C2； （3）线段BB2和CC2的关系是 　 　 ． 14．（2025春•宝安区期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段AB，EF的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）请在图1中将线段AB向右平移3个单位长度得到线段CD，点C在点D的上方； （2）在第（1）问的条件下，画出平行四边形ABDC，并画出其对称中心点O； （3）请在图2中作出线段EF的中点G． 15．（2025春•南海区期末）操作与实践：已知△OBC． （1）尺规作图：作△ODA，使得△ODA与△OBC关于点O中心对称，点B和点C的对应点分别是点D和点A；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）已知点F是线段BC上的动点，连接AB、CD、FO，延长FO与AD交于点E．根据题意，把图形补充完整，判断四边形ABCD的形状，并证明OE＝OF． 23.3 课题学习 图案设计 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•晋安区期末）传统建筑的窗棂设计样式繁多、精巧美观，体现了中国建筑设计的独特艺术表现力和文化内涵．下面四幅在福州三坊七巷窗格中发现的窗棂图案，可看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A．柿蒂纹 B．海棠纹 C．四钱纹 D．如意纹 【考点】利用平移设计图案． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】根据平移变换的定义判断即可． 【解答】解：根据平移变换的定义可知选项C，可以由一个基本图案（图中红线框内部分）平移得到． 故选：C． 【点评】本题考查利用平移设计图案，解题的关键是理解平移变换的定义． 2．（2025春•睢宁县期中）如图，在4×4的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】利用旋转设计图案． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】直接利用中心称图形的定义画出图形即可． 【解答】解：如图所示：标有数字的3个位置都是中心对称图形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了利用中心对称设计图案，正确把握中心对称图形的定义是解题关键． 3．（2025•光明区校级模拟）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则旋转角至少为（　　） A．60° B．120° C．180° D．270° 【考点】利用旋转设计图案；旋转对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】B 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角至少为120°． 故选：B． 【点评】本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 4．（2025春•宿迁期中）如图的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【考点】利用轴对称设计图案． 【专题】作图题；几何直观． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故选：D． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 5．（2025春•海勃湾区校级期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A1B1C1D1形成一个“方胜”图案，若BD1＝6cm，则DE的长是（　　） A．2cm B． C． D． 【考点】利用平移设计图案；全等图形． 【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、平移的概念即可结论． 【解答】解：∵将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A1B1C1D1， ∴AB∥EB1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABD＝∠ADC＝45°，∠A＝90°， ∴∠A1B1D＝∠ADB＝45°，∠B1ED＝∠A＝90°， ∵将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2cm得到正方形A1B1C1D1， ∴BB1＝DD1＝2cm， ∵BD1＝6cm， ∴B1D＝2cm， ∴DEB1D（cm） 故选：C． 【点评】本题考查的是利用平移设计图案，平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出BB′是解题的关键． 6．（2024春•黎川县期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　） A．绕AB的中点M顺时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折 C．绕点C逆时针旋转90度 D．沿DE方向平移 【考点】几何变换的类型；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形． 【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理AAS得到△BDC≌△CEA，则BD＝CE，CD＝AE．结合平移与旋转的性质进行判断． 【解答】解：∵BD⊥DE，AE⊥DE， ∴∠BDC＝∠CEA＝90°， 又∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠CAE（同角的余角相等）， ∴在△BDC与△CEA中， ， ∴△BDC≌△CEA（AAS）． ∴BD＝CE，CD＝AE． A、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项A符合题意； B、△BDC与△ACE不关于AB的中垂线对称，则沿AB的中垂线翻折后不重合，故选项B不符合题意； C、绕点C旋转后，CB与AC不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项C不符合题意； D、先沿ED方向平移△CEA，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则△BDC与△ACE重合，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转与平移的性质．无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 7．（2024秋•城厢区校级期中）如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请找出不满足条件的棋子C的位置的坐标（　　） A．（﹣1，2） B．（0，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣1，0） 【考点】利用轴对称设计图案． 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】D 【分析】根据轴对称的定义分析即可． 【解答】解：如图所示， C点的位置为（﹣1，2），（2，1），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形为轴对称图形； C点的位置为（﹣1，﹣1），x轴是对称轴， C点的位置为（0，﹣1），直线AO为对称轴． 故选：D． 【点评】此题考查的是添加一个点，使四点构成的图形为轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2024秋•南宁期末）图中的风车图案，绕着它的中心O旋转，旋转角至少为　90　 度，旋转后的风车能与自身重合． 【考点】利用旋转设计图案；旋转对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】90． 【分析】图案，可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为90°． 故答案为：90． 【点评】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 9．（2024秋•静安区期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，离意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形ABCD沿射线AC方向平移得到正方形EFGH，形成“方胜”图案，且E是AC的三等分点（AE＜EC），如果平移距离为2，那么点A与点G的距离是 　8　 ． 【考点】利用平移设计图案；正方形的性质． 【专题】几何图形；矩形 菱形 正方形；运算能力． 【答案】8． 【分析】由平移变换的性质可知AE＝CG＝2，再根据题目条件求出EC可得结论． 【解答】解：由平移变换的性质可知AE＝CG＝2， ∵E是AC的三等分点（AE＜EC）， ∴EC＝2AE＝4， ∴AG＝AE+EC+CF＝2+4+2＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查利用平移设计图案，正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2023秋•青龙县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　4　 个． 【考点】利用轴对称设计图案． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故答案为：4． 【点评】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法． 11．（2025•河西区校级模拟）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝4，BC＝3． （Ⅰ）AC的长度为 　5　 ； （Ⅱ）MN的长度为 　　 ． 【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；矩形的性质． 【专题】平移、旋转与对称． 【答案】5，． 【分析】连接BM、BN，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10，利用矩形性质可知BM＝5，根据旋转的性质得到△BMN是等腰直角三角形，利用勾股定理求出MN． 【解答】解：连接BM、BN， 在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC5， ∵M为AC中点， ∴BMAC＝2.5． ∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置， ∴BM＝BN，且∠MBN＝90°， ∴MNBM． 故答案为：5，． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质，求线段长度，构造直角三角形利用勾股定理求解是解决这类问题的方法思路． 12．（2024秋•临淄区期中）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为 　②④⑤　 （填序号）． 【考点】利用轴对称设计图案． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】②④⑤． 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案． 【解答】解：只有将②④⑤中的一个小正方形涂黑，图中的阴影部分才构成轴对称图形， 故答案为：②④⑤． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025春•于洪区期末）如图，在8×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上． （1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C； （2）将△ABC先向右平移1格，再向下平移2格，画出平移后的△A2B2C2； （3）线段BB2和CC2的关系是 　平行且相等　 ． 【考点】作图﹣旋转变换；平移的性质；作图﹣平移变换． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）平行且相等． 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【解答】（1）如图，△A1B1C即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）由平移得，线段BB2和CC2的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移的性质、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 14．（2025春•宝安区期末）如图，在方格纸中，每个小方格的边长均为1个单位长度，线段AB，EF的两个端点都在小方格的格点上．请按照下列要求，仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． （1）请在图1中将线段AB向右平移3个单位长度得到线段CD，点C在点D的上方； （2）在第（1）问的条件下，画出平行四边形ABDC，并画出其对称中心点O； （3）请在图2中作出线段EF的中点G． 【考点】作图﹣旋转变换；平行四边形的判定与性质；作图﹣平移变换． 【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）见解答． 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）连接AC，BD可得平行四边形ABDC，连接AD，BC相交于点O，则点O即为所求． （3）利用网格画图即可． 【解答】解：（1）如图1，线段CD即为所求． （2）如图1，平行四边形ABDC和点O即为所求． （3）如图2，点G即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15．（2025春•南海区期末）操作与实践：已知△OBC． （1）尺规作图：作△ODA，使得△ODA与△OBC关于点O中心对称，点B和点C的对应点分别是点D和点A；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）已知点F是线段BC上的动点，连接AB、CD、FO，延长FO与AD交于点E．根据题意，把图形补充完整，判断四边形ABCD的形状，并证明OE＝OF． 【考点】作图﹣旋转变换；平行四边形的判定与性质． 【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；尺规作图；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【分析】（1）结合中心对称的性质，分别延长BO，CO，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交BO的延长线于点D，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，交CO的延长线于点A，连接AD即可． （2）根据题意补全图形，结合平行四边形的判定可知四边形ABCD为平行四边形； 【解答】解：（1）如图，分别延长BO，CO，以点O为圆心，OB的长为半径画弧，交BO的延长线于点D，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，交CO的延长线于点A，连接AD， 则△ODA即为所求． （2）如图所示． ∵△ODA与△OBC关于点O中心对称， ∴四边形ABCD为平行四边形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $