18.1分式及其基本性质讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

18.1 分式及其基本性质 学习目标 1. 理解分式的概念，能准确判断一个代数式是否为分式，会求分式有意义、无意义及分式值为零的条件。 2. 掌握分式的基本性质，并能运用基本性质进行分式的变形。 3. 理解分式约分和通分的意义，掌握约分和通分的方法，能正确进行分式的约分和通分。 4. 通过类比分数的相关知识学习分式，体会类比思想在数学学习中的应用，培养归纳、概括的能力。 知识点讲解 一、分式的概念 1. 定义：一般地，如果 ( A )、( B ) 表示两个整式，并且 ( B ) 中含有字母，那么式子叫做分式。其中，( A ) 叫做分式的分子，( B ) 叫做分式的分母。 2. 分式有意义、无意义的条件： · 分式有意义的条件：分母不等于零（）。 · 分式无意义的条件：分母等于零（( B = 0 )）。 3. 分式的值为零的条件： 分式的值为零，需要同时满足两个条件： · 分子等于零（( A = 0 )）； · 分母不等于零（）。 二、分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为： （其中 ( C ) 是不等于零的整式）。 2. 注意： · “同乘（或除以）”：分子和分母必须同时进行相同的运算。 · “不等于0的整式”：保证分式有意义，避免分母为零或除以零的情况。 三、分式的约分 1. 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的依据：分式的基本性质。 3. 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式）。 4. 公因式的确定： · 系数：取分子、分母系数的最大公约数。 · 字母（或多项式因式）：取分子、分母中相同字母（或多项式因式）的最低次幂。 四、分式的通分 1. 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 2. 通分的依据：分式的基本性质。 3. 通分的关键：确定几个分式的最简公分母。 4. 最简公分母的确定： · 系数：取各分母系数的最小公倍数。 · 字母（或多项式因式）：取各分母中所有字母（或多项式因式）的最高次幂的积。 · 如果分母是多项式，一般先分解因式。 例题解析 例1：下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？ 例2：当 x 取何值时，下列分式有意义？当 x 取何值时，下列分式的值为零？ ( 例3：填空： 1) （） 2) （） 例4：约分： 例5：通分： 巩固练习 一、选择题 1. 在代数式，，，，中，分式的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若分式有意义，则 x 的取值范围是 A. B. C. x = 2 D. x = -3 3. 若分式的值为零，则 x 的值是 A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 4. 下列分式中，与分式相等的是 A.... 5. 下列约分正确的是 A.... 二、填空题 1. 当 x = ( ) 时，分式无意义。 2. 分式的分母因式分解为 ，当 ( a = 2 )，( b = 1 ) 时，分式的值为 ( ) 。 3. 填空：。 4. 约分：。 5. 分式与的最简公分母是 ( ) 。 三、解答题 1. 当 ( x ) 取何值时，分式的值为正数？ 2. 约分： 3. 通分： ，，， 4. 已知，求的值。 5. 若分式的值是正数、负数、零，求 x 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1 分式及其基本性质 学习目标 1. 理解分式的概念，能准确判断一个代数式是否为分式，会求分式有意义、无意义及分式值为零的条件。 2. 掌握分式的基本性质，并能运用基本性质进行分式的变形。 3. 理解分式约分和通分的意义，掌握约分和通分的方法，能正确进行分式的约分和通分。 4. 通过类比分数的相关知识学习分式，体会类比思想在数学学习中的应用，培养归纳、概括的能力。 知识点讲解 一、分式的概念 1. 定义：一般地，如果 ( A )、( B ) 表示两个整式，并且 ( B ) 中含有字母，那么式子叫做分式。其中，( A ) 叫做分式的分子，( B ) 叫做分式的分母。 2. 分式有意义、无意义的条件： · 分式有意义的条件：分母不等于零（）。 · 分式无意义的条件：分母等于零（( B = 0 )）。 3. 分式的值为零的条件： 分式的值为零，需要同时满足两个条件： · 分子等于零（( A = 0 )）； · 分母不等于零（）。 二、分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示为： （其中 ( C ) 是不等于零的整式）。 2. 注意： · “同乘（或除以）”：分子和分母必须同时进行相同的运算。 · “不等于0的整式”：保证分式有意义，避免分母为零或除以零的情况。 三、分式的约分 1. 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的依据：分式的基本性质。 3. 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式）。 4. 公因式的确定： · 系数：取分子、分母系数的最大公约数。 · 字母（或多项式因式）：取分子、分母中相同字母（或多项式因式）的最低次幂。 四、分式的通分 1. 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 2. 通分的依据：分式的基本性质。 3. 通分的关键：确定几个分式的最简公分母。 4. 最简公分母的确定： · 系数：取各分母系数的最小公倍数。 · 字母（或多项式因式）：取各分母中所有字母（或多项式因式）的最高次幂的积。 · 如果分母是多项式，一般先分解因式。 例题解析 例1：下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？ 解析：根据分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，分母中不含字母的式子是整式（π是常数）。 答案： 分式有：，，，，； 整式有：，，。 例2：当 x 取何值时，下列分式有意义？当 x 取何值时，下列分式的值为零？ ( 解析： (1) 分式有意义，则分母；分式的值为零，则分子 ( x + 1 = 0 ) 且分母。 (2) 分式有意义，则分母；分式的值为零，则分子且分母。 答案： (1) 要使分式有意义， 则 解得。 要使分式的值为零， 则 ( x + 1 = 0 ) 且 由 ( x + 1 = 0 ) 得 ( x = -1 ) 由得 所以 ( x = -1 )。 (2) 要使分式有意义， 则 解得。 要使分式的值为零， 则且 由得 ( x = 2 ) 或 ( x = -2 ) 由得 所以 ( x = 2 )。 例3：填空： 1) （） 2) （） 解析：根据分式的基本性质，观察分子或分母的变化，确定所乘或除以的整式。 (1) 分母由 ( b ) 变为，是乘以 ( bc )，故分子也应乘以 ( bc )。 (2) 分子由变为 ( x + y )，是除以 ( x )，故分母也应除以 ( x )。 (3) 分子由 ( 3a ) 变为 ( 6ab )，是乘以 ( 2b )，故分母也应乘以 ( 2b )。 (4) 分子，分母，分子分母同时约去 ( (x - 3) )。 答案： 故括号内应填 ( abc )。 故括号内应填 ( x )。 故括号内应填 ( 2b(a + b) )（或）。 故括号内应填 ( x - 3 )。 例4：约分： 解析：约分的步骤是先找出分子和分母的公因式，然后根据分式的基本性质约去公因式。 (1) 系数的最大公约数是6，相同字母 ( a, b, c ) 的最低次幂分别是。 (2) 注意负号，公因式是。 (3) 分子分母先分解因式，，，公因式是 ( x - 3 )。 ，与的公因式是。 答案： 1) 2) 3) 4) 例5：通分： 与与 解析：通分的关键是确定最简公分母。 (1) 系数的最小公倍数是6，字母 ( x, y, z ) 的最高次幂分别是，所以最简公分母是。 (2) 先分解因式，，另一个分母是 ( x + 2 )，所以最简公分母是 ( (x + 2)(x - 2) )。 答案： (1) 最简公分母是。 最简公分母是 ( (x + 2)(x - 2) )。 巩固练习 一、选择题 1. 在代数式，，，，中，分式的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若分式有意义，则 x 的取值范围是 A. B. C. x = 2 D. x = -3 3. 若分式的值为零，则 x 的值是 A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 4. 下列分式中，与分式相等的是 A.... 5. 下列约分正确的是 A.... 二、填空题 1. 当 x = ( ) 时，分式无意义。 2. 分式的分母因式分解为 ，当 ( a = 2 )，( b = 1 ) 时，分式的值为 ( ) 。 3. 填空：。 4. 约分：。 5. 分式与的最简公分母是 ( ) 。 三、解答题 1. 当 ( x ) 取何值时，分式的值为正数？ 2. 约分： 3. 通分： ，，， 4. 已知，求的值。 5. 若分式的值是正数、负数、零，求 x 的取值范围。 巩固练习参考答案及解析 一、选择题 1. 答案：B 解析：分式是分母中含有字母的代数式。和是分式，共2个。、（π是常数）、是整式。 2. 答案：B 解析：分式有意义，则分母不为零。，解得。 3. 答案：B 解析：分式的值为零，则分子为零且分母不为零。得 ；得。所以 ( x = -1 )。 4. 答案：C 解析：，或。 5. 答案：C 解析： A.，错误。 B.，错误。 C.，正确。 D.，错误。 二、填空题 1. 答案：±2 解析：分式无意义，则分母为零。，解得 。 2. 答案： (a + b)(a - b) ；1 解析：。当 ( a = 2 )，( b = 1 ) 时，？？？哦不，( 3a = 3*2=6 )，分母，( 6/3=2 )。我之前写的1是错的，正确答案是2。 3. 答案： 5x(x - y) 或 解析：。分母由 ( x - y ) 变为，是乘以 ( (x - y) )，故分子也乘以 ( (x - y) )，。 4. 答案： 解析：。 5. 答案： x(x + 3)(x - 3) 解析：，。最简公分母是 x(x + 3)(x - 3) 。 三、解答题 1. 解析：分式的值为正数，则分子分母同号。 或 解第一个不等式组： ( 2x - 6 > 0 ) 得 ( x > 3 ) ( x + 1 > 0 ) 得 ( x > -1 ) 所以解集为 ( x > 3 )。 解第二个不等式组： ( 2x - 6 < 0 ) 得 ( x < 3 ) ( x + 1 < 0 ) 得 ( x < -1 ) 所以解集为 ( x < -1 )。 综上，当 ( x > 3 ) 或 ( x < -1 ) 时，分式的值为正数。 答案：( x > 3 ) 或 ( x < -1 ) 2. 解析： 系数：24和18的最大公约数是6。 字母：和取；和取。 公因式：。 分子： 分母： 公因式：( x - 2y ) (3) 或 答案： 或 3. 解析： ，， 系数：2，8，6的最小公倍数是24。 字母：( a ) 的最高次幂，( b ) 的最高次幂，( c ) 的最高次幂。 最简公分母：。 ， 先分解因式： 答案： ，，， 4. 解析：已知，可得 ( x = 2y )（）。将 ( x = 2y ) 代入分式即可求值。 因为，所以 ( x = 2y )。 （，） 答案： 5. 解析：先化简分式。 分式的值为正数： 则或 解第一个不等式组：( x > 2 ) 且 ( x > -2 )，解集为 ( x > 2 )。 解第二个不等式组：( x < 2 ) 且 ( x < -2 )，解集为 ( x < -2 )。 所以，当 ( x > 2 ) 或 ( x < -2 ) 时，分式的值为正数。 (2) 分式的值为负数： 则或 解第一个不等式组：( x > 2 ) 且 ( x < -2 )，无解。 解第二个不等式组：( x < 2 ) 且 ( x > -2 )，解集为 ( -2 < x < 2 )。 所以，当 ( -2 < x < 2 ) 时，分式的值为负数。 (3) 分式的值为零： 则 ( x - 2 = 0 ) 且 解得 ( x = 2 )，且 ( x = 2 ) 时。 所以，当 ( x = 2 ) 时，分式的值为零。 答案： 当 ( x > 2 ) 或 ( x < -2 ) 时，值为正数； 当 ( -2 < x < 2 ) 时，值为负数； 当 ( x = 2 ) 时，值为零。 学科网（北京）股份有限公司 $