2.1 简谐运动 讲义-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.1 简谐运动 重难分析 1.弹簧振子（重点） 2.简谐运动（难点） 知识点梳理 1．简谐运动 (1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 (2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 (3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。 2. 弹簧振子 （1）弹簧振子：一种理想化模型：①杆光滑，阻力不计；②轻弹簧，弹簧质量不计． （2）分类：水平弹簧振子，竖直弹簧振子，倾斜弹簧振子。 （3）平衡位置：起振前物体所在位置。 （4）一次全振动：完整振动一次。 知识点梳理1：弹簧振子 1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 2．平衡位置：振动的物体在振动方向上所受合力为0的位置。 3．弹簧振子 (1)由小球和弹簧组成的系统，有时也简称振子，是一个理想化模型。 (2)小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件 ①弹簧为轻质弹簧，不计弹簧的质量，可认为质量集中于小球。 ②不计摩擦阻力和空气阻力。 ③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。 一些技巧 1．对平衡位置的理解 (1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置， ①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。 ②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。 ③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。 (2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。 例题精讲： 【例1】（2024秋•宁波校级期中）如图所示，将一弹簧振子竖直悬挂，小球静止在O点，将小球拉到M点由静止释放，最高运动到N点，此时的弹簧刚好处于原长，已知小球的质量为1kg，弹簧的劲度系数为20N/m，重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球从M运动到O的时间小于从O运动到N的时间 B．小球在M点的加速度大于在N的加速度 C．从M点到N点的距离为0.1m D．若将小球拉到M点下方静止释放，那么弹簧振子的周期不变 【例2】（2025春•金安区校级期末）用一轻弹簧把质量为m和M的甲、乙两块木板连接起来，一起竖直放在地面上、试问，对甲木板必须施加多大的压力F，才能在F突然撤去后使甲弹起，并能让乙恰好离开地面（弹簧的劲度系数为k）（　　） A．mg B．（M−m）g C．（M+m）g D． 【例3】（多选）（2025•湖北）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动 D．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动 【例4】（多选）（2025•福州四模）如图，质量为m的小球穿在固定的光滑竖直杆上，与两个完全相同的轻质弹簧相连。在竖直向上的拉力作用下，小球静止于MN连线的中点O。弹簧处于原长。后将小球竖直向上缓慢拉至P点，并保持静止，此时拉力F大小为2mg。Q为杆上另一个点，PO＝OQ。已知重力加速度大小为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。若撤去拉力，下列说法正确的是（　　） A．刚撤去外力时，小球的加速度为3g B．小球从P点运动到Q点的过程中，两个弹簧对小球做功为零 C．小球沿杆在PQ之间做往复运动 D．与没有弹簧时相比，小球从P点运动到Q点所用的时间更短 【例5】（2024秋•新蔡县校级期末）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的小球，将小球向下拉离平衡位置后松开，小球上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以小球平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。重力加速度取g。则： （1）小球做简谐运动的周期T＝　　 。 （2）为验证小球振动周期T与质量m的关系，需多次改变m值并测得相应的T值，并通过作图法得到周期与质量的关系．在实验过程中： ①若在弹性限度内，弹簧的最大伸长量为ΔL，则实验时最大振幅A为 　　 ； ②用停表测量周期T，在图示的哪个位置作为计时的开始与终止更好？ ＿ 　　 （选填“（a）”、“（b）”或“（c）”） （3）为方便用作图法处理数据，横坐标表示m，纵坐标表示T2。借助以上图像，也可以用以测量弹簧的劲度系数，若某同学在测量过程中，误将49次全振动记为50次，那么测得的劲度系数将 　 　 （填“变大”“变小”或“不变”）。 知识点梳理2：简谐运动 1．振子的位移：以平衡位置为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的位移。 2．振动图像(x－t图像) (1)x－t图像：用横轴表示小球运动的时间(t)，纵轴表示小球离开平衡位置的位移(x)，描绘出的小球在平衡位置附近往复运动时的位移随时间变化的x－t图像，即为振动图像，如图所示。 (2)图像的物理意义：反映了振子位移随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹。 3．简谐运动：物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线。 一些技巧 由振动图像(x－t图像)获取的信息 1．位移及变化 (1)确定某一时刻的位移 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2．速度及变化 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 例题精讲： 【例6】（2024•浙江一模）如图所示，在xOy坐标系中一质量为m的小球绕原点O做顺时针方向圆周运动，半径为R。一束平行光沿x轴正方向照射小球，在x＝2R处放置一垂直于x轴的足够大屏幕，观察到影子在y轴方向上的运动满足y＝Rsin（10πt）。则（　　） A．影子做简谐运动，周期为2s B．小球做匀速圆周运动的向心力为100mπ2R C．t＝0.05s，小球坐标是（R，0） D．t＝0.10s，小球速度沿y轴正方向 【例7】（2025•徐州一模）2024年11月16日2时32分，天舟八号货运飞船与空间站天和核心舱成功“太空握手”后，转入组合体飞行段。假设组合体在距地面高度为h（h小于地球同步卫星距地面的高度）的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T。已知地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，且地球可看成质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．该组合体做匀速圆周运动的周期T B．该组合体的加速度大小比地球同步卫星的小 C．不能计算出地球的平均密度 D．若空间站内有一弹簧振子装置，该振子不能做简谐运动 【例8】（2025•长沙校级一模）如图所示，一块长L＝1.0m的光滑平板MN固定在轻弹簧上端，弹簧下端与地面固定连接（平板只能竖直运动），且平板与弹簧组成的振动系统的周期T＝2.0s，振动系统做简谐运动的位移、速度公式分别满足x＝Acos（ωt+φ）、v＝﹣Aωsin（ωt+φ）（其中A为振幅，ω为圆频率，φ为初相）。一弹性小球A在光滑水平台面上，平台右侧边缘恰好在平板最左侧M点正上方，到M点的距离为h＝9.8m，小球与平板质量相同。初始时，平板静止，现给小球一初速度v0使其从水平台面抛出，小球与平板的碰撞不计能量损失，g＝9.8m/s2，已知的解为0.771，下列说法中正确的是（　　） A．若初速度v0＝0.7m/s，小球与平板不发生碰撞 B．若初速度v0＝0.6m/s，小球与平板仅发生一次碰撞 C．若初速度v0＝0.5m/s，小球与平板仅发生两次碰撞 D．若初速度v0＝0.5m/s，小球与平板仅发生三次碰撞 【例9】（2023秋•虹口区校级期中）质点运动的位移x与时间t的关系如图所示，其中不属于机械振动的是（　　） A． B． C． D． 【例10】（2022春•嘉定区校级期末）一个质点做简谐运动，振幅为0.8cm，周期为0.25s，计时开始时具有正向最大速度，它的位移公式是（　　） A．x＝8×10﹣3sin（8πt）m B．x＝8×10﹣3cos（8πt）m C． D． 课后提优练习 一．选择题（共6小题） 1．（2025•锡林郭勒盟开学）粗细均匀的细木棒，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装水的杯中，将细木棒向下压一段距离后放手，细木棒上下振动起来。若只考虑重力和浮力的作用，可以证明细木棒做简谐运动。已知细木棒的横截面积为S、密度为ρ1，水的密度为ρ2，重力加速度为g，则其所受合力大小与偏离平衡位置的位移大小之比为（　　） A．ρ1Sg B．ρ2Sg C．ρ1g D．ρ2g 2．（2025秋•新泰市校级月考）做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1m/s2方向指向B点；当它经过B点时，加速度大小为2m/s2方向指向A点。若A、B之间的距离是6cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（　　） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置 D．平衡位置在AB连线之间，且距离A点为2cm处 3．（2024•湖北开学）做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度大小为4m/s2，方向指向A点，若A、B之间的距离是5cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（　　） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置 D．平衡位置在AB连线之间，且距离A点为1cm处 4．（2024春•怀柔区校级期中）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动是最基本的振动 B．所有的振动都可以看作简谐运动 C．简谐运动一定是水平方向的运动 D．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线 5．（2023秋•南山区校级期末）做简谐运动的弹簧振子，当它每次经过同一位置时，下列物理量一定相同的是（　　） A．速度 B．动能 C．动量 D．速度变化趋势 6．（2023秋•贺兰县校级月考）对于如图甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（　　） ①甲：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略 ②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（AB≪R）之间来回运动 ④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动 A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以 二．多选题（共4小题） （多选）7．（2025•福州四模）如图，质量为m的小球穿在固定的光滑竖直杆上，与两个完全相同的轻质弹簧相连。在竖直向上的拉力作用下，小球静止于MN连线的中点O。弹簧处于原长。后将小球竖直向上缓慢拉至P点，并保持静止，此时拉力F大小为2mg。Q为杆上另一个点，PO＝OQ。已知重力加速度大小为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。若撤去拉力，下列说法正确的是（　　） A．刚撤去外力时，小球的加速度为3g B．小球从P点运动到Q点的过程中，两个弹簧对小球做功为零 C．小球沿杆在PQ之间做往复运动 D．与没有弹簧时相比，小球从P点运动到Q点所用的时间更短 （多选）8．（2024春•江门期末）如图是用摄像机拍摄竖直弹簧振子的运动，再利用逐帧观察的方式得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置图像，以弹簧振子小球的平衡位置为原点建立位移x﹣时间t图像，下列说法正确的是（　　） A．可以利用频闪照相、照相机连拍的方式得到类似的图像 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿水平方向移动的 C．小球密处说明其位置变化快 D．小球位移与时间的关系是正弦函数关系，弹簧振子小球的运动是简谐运动 （多选）9．（2024秋•鞍山月考）如图所示，将质量为mA＝100g的物体A放在弹簧上端并与之连接，弹簧下端连接一质量为mB＝200g的物体B，物体B放在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，使A上下振动做简谐运动。弹簧原长为10cm，劲度系数为k＝50N/m。A、B的厚度可忽略不计，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．A的平衡位置离地面的高度为8cm B．A完成任意半个周期前后重力势能变化量都相等 C．若保持物体B始终在地面上，在当物体A以最大振幅振动时，物体B对地面的最小压力为0 D．若保持物体B始终在地面上，当物体A以最大振幅振动时，物体B对地面的最大压力为3N （多选）10．（2024•河西区二模）如图所示是一种弹簧人公仔玩具，由头部、弹簧和身体三部分组成，头部的质量为m，弹簧两端分别与公仔的头部和身体固连。先将公仔放置在水平桌面上，并让头部静止。然后用手竖直向下按压公仔的头部，使之缓慢下降h距离，之后迅速放手。放手后，公仔的头部经过时间t，沿竖直方向上升到最高点时速度为零。此过程弹簧始终处于弹性限度内、公仔的身体不离开桌面，不计空气阻力及弹簧质量。在公仔头部上升的过程中（　　） A．水平桌面对公仔身体的支持力先减小后增大 B．弹簧对公仔头部弹力冲量的大小为mgt C．公仔头部的动能最大时，弹簧的弹性势能为零 D．向下按压时头部下降的距离小于h，则放手后头部上升到最高点所需的时间仍为 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 简谐运动 重难分析 1.弹簧振子（重点） 2.简谐运动（难点） 知识点梳理 1．简谐运动 (1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。 (2)条件：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。 (3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。 2. 弹簧振子 （1）弹簧振子：一种理想化模型：①杆光滑，阻力不计；②轻弹簧，弹簧质量不计． （2）分类：水平弹簧振子，竖直弹簧振子，倾斜弹簧振子。 （3）平衡位置：起振前物体所在位置。 （4）一次全振动：完整振动一次。 知识点梳理1：弹簧振子 1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 2．平衡位置：振动的物体在振动方向上所受合力为0的位置。 3．弹簧振子 (1)由小球和弹簧组成的系统，有时也简称振子，是一个理想化模型。 (2)小球与弹簧组成的振动系统看成弹簧振子的条件 ①弹簧为轻质弹簧，不计弹簧的质量，可认为质量集中于小球。 ②不计摩擦阻力和空气阻力。 ③小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧弹性限度内。 一些技巧 1．对平衡位置的理解 (1)弹簧振子的平衡位置是振子不振动时，小球静止的位置， ①如图甲，水平方向弹簧振子：弹簧弹力为零时的位置。 ②如图乙，竖直方向弹簧振子：弹簧的拉力与重力平衡时的位置。 ③如图丙，光滑斜面上的弹簧振子：弹簧拉力与重力沿斜面向下的分力平衡时的位置。 (2)弹簧振子的平衡位置是振动过程中，小球的速度最大的位置。 例题精讲： 【例1】（2024秋•宁波校级期中）如图所示，将一弹簧振子竖直悬挂，小球静止在O点，将小球拉到M点由静止释放，最高运动到N点，此时的弹簧刚好处于原长，已知小球的质量为1kg，弹簧的劲度系数为20N/m，重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球从M运动到O的时间小于从O运动到N的时间 B．小球在M点的加速度大于在N的加速度 C．从M点到N点的距离为0.1m D．若将小球拉到M点下方静止释放，那么弹簧振子的周期不变 【解答】解：AB.根据简谐运动的对称性可知，小球从M运动到O和从O运动到N的时间是相等的，在M点的加速度大小和N点的加速度大小相等，故AB错误； C.振子静止在O点时，有kx0＝mg，代入数据得x0＝0.5m，N点弹簧处于原长，即振幅A＝x0＝0.5m，所以M点到N点的距离为s＝2A＝2×0.5m＝1.0m，故C错误； D.弹簧振子的振动周期与振子振幅无关，故将小球拉到M点下方静止释放，弹簧振子的周期不变，故D正确。 故选：D。 【例2】（2025春•金安区校级期末）用一轻弹簧把质量为m和M的甲、乙两块木板连接起来，一起竖直放在地面上、试问，对甲木板必须施加多大的压力F，才能在F突然撤去后使甲弹起，并能让乙恰好离开地面（弹簧的劲度系数为k）（　　） A．mg B．（M−m）g C．（M+m）g D． 【解答】解：用一轻弹簧把质量为m和M的甲、乙两块木板连接起来，在m上施加压力F，突然撤去F后，m将在重力和弹力的作用下做上下的往复运动，则有 m在最低点有F＝F弹﹣mg m在最高点有F′＝F弹′+mg 因m在最高点时能让乙恰好离开地面则有F弹′＝Mg 根据对称性有F＝F′＝（M+m）g，故C正确，ABC错误。 故选：C。 【例3】（多选）（2025•湖北）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动 D．当且仅当l时，小球b才能始终做简谐运动 【解答】解：A、释放小球b后，当小球b向上运动挤压弹簧时，若弹簧的弹力大于小球a的重力，小球a会向上运动，故A正确； CD、当小球a向上运动时小球b不做简谐运动，所以小球b始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的最大弹力等于mg，此时弹簧的压缩量为，小球b做简谐运动，在平衡位置时弹簧的伸长量为，所以最大振幅为，即将小球b下拉时，小球b才能始终做简谐运动，故C错误，D正确； B、小球b做简谐运动时的振幅为A＝l，故B错误。 故选：AD。 【例4】（多选）（2025•福州四模）如图，质量为m的小球穿在固定的光滑竖直杆上，与两个完全相同的轻质弹簧相连。在竖直向上的拉力作用下，小球静止于MN连线的中点O。弹簧处于原长。后将小球竖直向上缓慢拉至P点，并保持静止，此时拉力F大小为2mg。Q为杆上另一个点，PO＝OQ。已知重力加速度大小为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。若撤去拉力，下列说法正确的是（　　） A．刚撤去外力时，小球的加速度为3g B．小球从P点运动到Q点的过程中，两个弹簧对小球做功为零 C．小球沿杆在PQ之间做往复运动 D．与没有弹簧时相比，小球从P点运动到Q点所用的时间更短 【解答】解：撤去拉力前，小球的受力情况如图所示： A.小球在P点处于静止状态，根据平衡条件可知小球所受的合力为0，由于拉力 F＝2mg，因此两弹簧的合力为mg； 当撤去F的瞬间，小球所受的合力最大Fm＝2mg，根据牛顿第二定律Fm＝mam，解得am＝2g，故A错误； BC.小球从P点运动到Q点的过程中，根据对称性可得，两个弹簧对小球做功为零，但是重力做功不等于零，故在Q点会继续向下运动，故B正确，C错误； D.小球从P点运动到Q点的过程中，单独分析弹力的合力，该合力让小球先加速后减速到零，重力让小球一直加速，所以有弹簧会让小球多一个向下的速度，所以合速度更大，故D正确。 故选：BD。 【例5】（2024秋•新蔡县校级期末）将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的小球，将小球向下拉离平衡位置后松开，小球上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以小球平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期。重力加速度取g。则： （1）小球做简谐运动的周期T＝　　 。 （2）为验证小球振动周期T与质量m的关系，需多次改变m值并测得相应的T值，并通过作图法得到周期与质量的关系．在实验过程中： ①若在弹性限度内，弹簧的最大伸长量为ΔL，则实验时最大振幅A为 　ΔL　 ； ②用停表测量周期T，在图示的哪个位置作为计时的开始与终止更好？　b　 （选填“（a）”、“（b）”或“（c）”） （3）为方便用作图法处理数据，横坐标表示m，纵坐标表示T2。借助以上图像，也可以用以测量弹簧的劲度系数，若某同学在测量过程中，误将49次全振动记为50次，那么测得的劲度系数将 　偏大　 （填“变大”“变小”或“不变”）。 【解答】解：（1）弹簧振子振动的周期为 T （2）①振幅是小球离开平衡位置的最大距离，当小球静止时弹簧的伸长量为 Δx 所以实验时最大振幅为 A＝ΔL ②用停表测量周期T，从平衡位置作为计时的开始和结束点，故选b； （3）根据弹簧振子周期公式 T 可得 k 若实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致劲度系数的测量值偏大。 故答案为：（1）；（2）ΔL，b，偏大 知识点梳理2：简谐运动 1．振子的位移：以平衡位置为坐标原点，指向小球所在位置，即振动小球的位置坐标反映了小球相对于平衡位置的位移。 2．振动图像(x－t图像) (1)x－t图像：用横轴表示小球运动的时间(t)，纵轴表示小球离开平衡位置的位移(x)，描绘出的小球在平衡位置附近往复运动时的位移随时间变化的x－t图像，即为振动图像，如图所示。 (2)图像的物理意义：反映了振子位移随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹。 3．简谐运动：物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线。 一些技巧 由振动图像(x－t图像)获取的信息 1．位移及变化 (1)确定某一时刻的位移 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 (2)质点位移的变化情况：靠近平衡位置的过程中，位移减小，平衡位置处最小(为零)；远离平衡位置的过程中，位移增大，最远点位移最大。 2．速度及变化 (1)运动方向的确定。根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。 (2)质点速度大小的变化情况 ①根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小。 ②根据x－t图像的斜率判断速度的大小和方向。斜率越大，则速度越大，斜率越小，则速度越小；斜率为正，则速度沿所选的正方向，斜率为负，则速度沿负方向。 例题精讲： 【例6】（2024•浙江一模）如图所示，在xOy坐标系中一质量为m的小球绕原点O做顺时针方向圆周运动，半径为R。一束平行光沿x轴正方向照射小球，在x＝2R处放置一垂直于x轴的足够大屏幕，观察到影子在y轴方向上的运动满足y＝Rsin（10πt）。则（　　） A．影子做简谐运动，周期为2s B．小球做匀速圆周运动的向心力为100mπ2R C．t＝0.05s，小球坐标是（R，0） D．t＝0.10s，小球速度沿y轴正方向 【解答】解：A．根据影子在y轴方向运动的位移—时间关系 y＝Rsin（10πt） 影子做简谐运动 ω＝10π 周期 故A错误； B．由向心力公式 F＝mω2R＝100mπ2R 故B正确； C．t＝0s时，小球位置坐标为（﹣R，0），沿y轴正方向运动，t＝0.05s，即经过四分之一个周期，小球坐标是（0，R），故C错误； D．t＝0.10s，小球速度沿y轴负方向，故D错误。 故选：B。 【例7】（2025•徐州一模）2024年11月16日2时32分，天舟八号货运飞船与空间站天和核心舱成功“太空握手”后，转入组合体飞行段。假设组合体在距地面高度为h（h小于地球同步卫星距地面的高度）的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，周期为T。已知地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，且地球可看成质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（　　） A．该组合体做匀速圆周运动的周期T B．该组合体的加速度大小比地球同步卫星的小 C．不能计算出地球的平均密度 D．若空间站内有一弹簧振子装置，该振子不能做简谐运动 【解答】解：A.组合体绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有m（R+h），在地球表面有一物体，其重力等于万有引力，有m'g，则GM＝gR2，联立解得T，故A正确； B.对于绕地卫星，由牛顿第二定律有，整理有，因为组合体和地球同步卫星均绕地球做圆周运动，但地球同步卫星的轨道半径比组合体的大，所以组合体运行的加速度大于地球同步卫星的加速度，故B错误； C.地球的平均密度为，故C错误； D.在空间站中虽然弹簧振子处于完全失重状态，但该振子在弹簧的作用下仍可以做简谐运动，故D错误。 故选：A。 【例8】（2025•长沙校级一模）如图所示，一块长L＝1.0m的光滑平板MN固定在轻弹簧上端，弹簧下端与地面固定连接（平板只能竖直运动），且平板与弹簧组成的振动系统的周期T＝2.0s，振动系统做简谐运动的位移、速度公式分别满足x＝Acos（ωt+φ）、v＝﹣Aωsin（ωt+φ）（其中A为振幅，ω为圆频率，φ为初相）。一弹性小球A在光滑水平台面上，平台右侧边缘恰好在平板最左侧M点正上方，到M点的距离为h＝9.8m，小球与平板质量相同。初始时，平板静止，现给小球一初速度v0使其从水平台面抛出，小球与平板的碰撞不计能量损失，g＝9.8m/s2，已知的解为0.771，下列说法中正确的是（　　） A．若初速度v0＝0.7m/s，小球与平板不发生碰撞 B．若初速度v0＝0.6m/s，小球与平板仅发生一次碰撞 C．若初速度v0＝0.5m/s，小球与平板仅发生两次碰撞 D．若初速度v0＝0.5m/s，小球与平板仅发生三次碰撞 【解答】解：如果小球的水平速度较大，将直接飞过平板，减小速度得到小球与平板碰撞的临界最大速度即为，第一次碰撞正好发生在边缘N处时v0的值。设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历时间为t1，根据匀变速直线运动公式有 若碰撞恰好发生在N处，则根据位移与速度和时间的关系，有 L＝v0t 解得的值便是满足第一次碰撞的速度最大值，即 代入有关数据得 v0max＝0.71m/s 如果v0＜v0max，小球与平板的碰撞不在N点，设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为v1，则有 以v1'、v1″分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向上的速度，由于碰撞时间极短，在碰撞过程中，小球和平板在竖直方向的动量守恒，设小球与平板的质量均为m，则有 mv1＝mv1'+mv1″ 因为碰撞时弹性的，且平板是光滑的，由能量守恒可得 得到 v1'＝0 v1″＝v1 碰撞后，平板从其位置以 为速度开始做简谐运动，取固定坐标，其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合，x轴的方向竖直向下，若以小球与平板发生碰撞的时刻t＝0，则平板在t时刻的离开平衡位置的位移 x＝Acos（ωt+φ） 其中 简谐运动的速度方程满足 v＝﹣Aωsin（ωt+φ） 因t＝0时刻，x＝0，v＝v1″可得 整理可得 碰撞后小球开始做平抛运动，如果第一次碰撞后，小球再经过时间t2与木板发生第二次碰撞且发生在N处，则仅发生两次碰撞，则在发生第二次碰撞时，根据匀变速直线运动公式，得x坐标为 平板的坐标为 在碰撞时根据木板和球之间的相对位移关系有 x板（t2）＝x球（t2） 代入数据可得 4.904.41cos 可得 t2＝0.771s 则根据匀变速直线运动公式有 L＝v0（t1+t2） 代入数据，解得 v0＝0.4585m/s 则小球与平板仅发生一次碰撞得条件为 0.46m/s＜v0≤0.71m/s，故B正确，ACD错误； 故选：B。 【例9】（2023秋•虹口区校级期中）质点运动的位移x与时间t的关系如图所示，其中不属于机械振动的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据机械能振动的定义可知，ABD均在某一平衡位置附近往复振动，故ABD均为机械振动；而C中的物体没有往复振动过程； 本题选择不属于机械振动的；故选：C。 【例10】（2022春•嘉定区校级期末）一个质点做简谐运动，振幅为0.8cm，周期为0.25s，计时开始时具有正向最大速度，它的位移公式是（　　） A．x＝8×10﹣3sin（8πt）m B．x＝8×10﹣3cos（8πt）m C． D． 【解答】解：根据题意可知，此振子的角速度为，已知振幅为0.8cm＝8×10﹣3m， 由于计时开始时具有正向最大速度，则位移公式为x＝8×10﹣3sin（8πt）m。故BCD错误，A正确。 故选：A。 课后提优练习 一．选择题（共6小题） 1．（2025•锡林郭勒盟开学）粗细均匀的细木棒，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装水的杯中，将细木棒向下压一段距离后放手，细木棒上下振动起来。若只考虑重力和浮力的作用，可以证明细木棒做简谐运动。已知细木棒的横截面积为S、密度为ρ1，水的密度为ρ2，重力加速度为g，则其所受合力大小与偏离平衡位置的位移大小之比为（　　） A．ρ1Sg B．ρ2Sg C．ρ1g D．ρ2g 【解答】解：细木棒在水中静止不动时，浮力与重力平衡，则ρ2V0g＝mg V0为细木棒排开水的体积，向下压一段距离x，细木棒排开水的体积增加Sx，结合阿基米德原理可知细木棒所受合力F合＝ρ2（V0+Sx）g﹣mg 可得F合＝ρ2Sxg 所以，故B正确，ACD错误。 故选：B。 2．（2025秋•新泰市校级月考）做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1m/s2方向指向B点；当它经过B点时，加速度大小为2m/s2方向指向A点。若A、B之间的距离是6cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（　　） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置 D．平衡位置在AB连线之间，且距离A点为2cm处 【解答】解：AB.由于回复力方向总是指向平衡位置，则加速度方向总是指向平衡位置，由题意可知，物体经过A点时，加速度方向指向B点；物体经过B点时，加速度方向指向A点；则平衡位置在AB连线之间，故AB错误； CD.根据牛顿第二定律可知简谐运动物体的加速度大小为 ，可知物体的加速度大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，设平衡位置与A点距离为x1，与B点距离为 x2， 则有 x1+x2＝6cm， 因为 aA：aB＝x1：x2＝1：2 代入数据得： x1＝2cm 故C错误，D正确. 故选：D。 3．（2024•湖北开学）做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1m/s2，方向指向B点；当它经过B点时，加速度大小为4m/s2，方向指向A点，若A、B之间的距离是5cm，则关于它的平衡位置，说法正确的是（　　） A．平衡位置在AB连线左侧 B．平衡位置在AB连线右侧 C．平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置 D．平衡位置在AB连线之间，且距离A点为1cm处 【解答】解：根据牛顿第二定律可知，简谐运动物体的加速度大小为： 可知物体的加速度大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，由于回复力方向总是指向平衡位置，则加速度方向总是指向平衡位置，由题意可知，物体经过A点时，方向指向B点；物体经过B点时，方向指向A点；则平衡位置在AB连线之间，设平衡位置与A点距离为x1，与B点距离为x2，A、B之间的距离是5cm，则有 x1+x2＝5cm 又 aA：aB＝x1：x2＝1：4 联立解得 x1＝1cm，故D正确，ABC错误。 故选：D。 4．（2024春•怀柔区校级期中）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动是最基本的振动 B．所有的振动都可以看作简谐运动 C．简谐运动一定是水平方向的运动 D．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线 【解答】解：A.简谐运动是最基本、最简单的机械振动，故A正确； B.不是所有的振动都可以看作是简谐运动，只有回复力满足F＝﹣kx的振动才是简谐运动，故B错误； C.简谐运动可以是水平方向的运动，也可以是竖直方向的运动，只要回复力满足F＝﹣kx即可，故C错误； D.物体做简谐运动时，位移随着时间按照正弦规律变化，轨迹可以是直线，也可以是曲线，故D错误； 故选：A。 5．（2023秋•南山区校级期末）做简谐运动的弹簧振子，当它每次经过同一位置时，下列物理量一定相同的是（　　） A．速度 B．动能 C．动量 D．速度变化趋势 【解答】解：由简谐运动的对称性可知通过同一位置时弹簧振子的速度大小相等，方向不一定相同，动能一定相同，动量大小相等，方向不一定相同，速度变化趋势就是速度增大或减小，弹簧振子经过同一位置时速度可能增大也可能减小，故ACD错误，B正确。 故选：B。 6．（2023秋•贺兰县校级月考）对于如图甲、乙、丙、丁四种情况，可认为是简谐运动的是（　　） ①甲：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，空气阻力可忽略 ②乙：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动 ③丙：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（AB≪R）之间来回运动 ④丁：小球在光滑固定斜面上来回运动 A．只有① B．只有①② C．只有①②③ D．都可以 【解答】解：甲图小球沿斜面方向受到的合力是弹力与重力沿斜面的分力的合力，当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力沿斜面的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动；乙图木筷在水中时受到浮力和重力的共同作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振动；丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动；丁图斜面光滑，小球做机械振动的回复力是由重力沿斜面的分力提供的，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动为机械振动，不是简谐振动，则可知①②③为简谐振动，故C正确，ABD错误； 故选：C。 二．多选题（共4小题） （多选）7．（2025•福州四模）如图，质量为m的小球穿在固定的光滑竖直杆上，与两个完全相同的轻质弹簧相连。在竖直向上的拉力作用下，小球静止于MN连线的中点O。弹簧处于原长。后将小球竖直向上缓慢拉至P点，并保持静止，此时拉力F大小为2mg。Q为杆上另一个点，PO＝OQ。已知重力加速度大小为g，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。若撤去拉力，下列说法正确的是（　　） A．刚撤去外力时，小球的加速度为3g B．小球从P点运动到Q点的过程中，两个弹簧对小球做功为零 C．小球沿杆在PQ之间做往复运动 D．与没有弹簧时相比，小球从P点运动到Q点所用的时间更短 【解答】解：撤去拉力前，小球的受力情况如图所示： A.小球在P点处于静止状态，根据平衡条件可知小球所受的合力为0，由于拉力 F＝2mg，因此两弹簧的合力为mg； 当撤去F的瞬间，小球所受的合力最大Fm＝2mg，根据牛顿第二定律Fm＝mam，解得am＝2g，故A错误； BC.小球从P点运动到Q点的过程中，根据对称性可得，两个弹簧对小球做功为零，但是重力做功不等于零，故在Q点会继续向下运动，故B正确，C错误； D.小球从P点运动到Q点的过程中，单独分析弹力的合力，该合力让小球先加速后减速到零，重力让小球一直加速，所以有弹簧会让小球多一个向下的速度，所以合速度更大，故D正确。 故选：BD。 （多选）8．（2024春•江门期末）如图是用摄像机拍摄竖直弹簧振子的运动，再利用逐帧观察的方式得到相等时间间隔的不同时刻小球的位置图像，以弹簧振子小球的平衡位置为原点建立位移x﹣时间t图像，下列说法正确的是（　　） A．可以利用频闪照相、照相机连拍的方式得到类似的图像 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿水平方向移动的 C．小球密处说明其位置变化快 D．小球位移与时间的关系是正弦函数关系，弹簧振子小球的运动是简谐运动 【解答】解：A、频闪照相或照相机连拍可在相等时间间隔内记录物体位置，与题目中“逐帧观察相等时间间隔的位置”原理一致，故利用频闪照相、照相机连拍的方式可得到相等时间间隔的类似的图像，故A正确； B、从图像可得小球在x轴方向上做简谐运动，振子沿水平方向或竖直方向运动未知，故B错误； C、图像的疏密反映小球在x方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢，故C错误； D、若质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像是一条正弦曲线，这样的运动即简谐运动，故D正确。 故选：AD。 （多选）9．（2024秋•鞍山月考）如图所示，将质量为mA＝100g的物体A放在弹簧上端并与之连接，弹簧下端连接一质量为mB＝200g的物体B，物体B放在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，使A上下振动做简谐运动。弹簧原长为10cm，劲度系数为k＝50N/m。A、B的厚度可忽略不计，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．A的平衡位置离地面的高度为8cm B．A完成任意半个周期前后重力势能变化量都相等 C．若保持物体B始终在地面上，在当物体A以最大振幅振动时，物体B对地面的最小压力为0 D．若保持物体B始终在地面上，当物体A以最大振幅振动时，物体B对地面的最大压力为3N 【解答】解：A．A在平衡位置时，所受合力为零，设弹簧的压缩量为x0，则mAg＝kx0 解得x00.02m＝2cm，则A的平衡位置离地面的高度h＝l﹣x0＝10cm﹣2cm＝8cm，故A正确； B．A完成任意半个周期前后通过的路程都为2倍的振幅，但A可能做往复运动，通过的位移不一定相同，根据ΔEp＝mAgh可知，重力势能变化量不一定相等，故B错误； C．物体A放在弹簧上端并与之连接，若保持物体B始终在地面上，则当物体A以最大振幅振动时，A在最高点时，物体B对地面的最小压力为0，故C正确； D．若保持物体B始终在地面上，当物体A以最大振幅振动时，A在最高点时，物体B对地面的最小压力为0，此时对B，根据平衡条件可知，弹簧的弹力为 F＝mBg＝200×10﹣3×10N＝2N， 此时A的合力为F合＝F+mAg＝2N+100×10﹣3×10N＝3N， 此时A的合力提供回复力，根据简谐运动的对称性可知，当A在最低点时回复力大小相等，则此时弹簧的弹力为 F′＝F合+mAg＝3N+100×10﹣3×10N＝4N， 对B，根据平衡条件可知，B受到地面最大的支持力为FN＝F′+mBg＝4N+200×10﹣3×10N＝6N， 根据牛顿第三定律可知，物体B对地面的最大压力为F压＝FN＝6N，故D错误。 故选：AC。 （多选）10．（2024•河西区二模）如图所示是一种弹簧人公仔玩具，由头部、弹簧和身体三部分组成，头部的质量为m，弹簧两端分别与公仔的头部和身体固连。先将公仔放置在水平桌面上，并让头部静止。然后用手竖直向下按压公仔的头部，使之缓慢下降h距离，之后迅速放手。放手后，公仔的头部经过时间t，沿竖直方向上升到最高点时速度为零。此过程弹簧始终处于弹性限度内、公仔的身体不离开桌面，不计空气阻力及弹簧质量。在公仔头部上升的过程中（　　） A．水平桌面对公仔身体的支持力先减小后增大 B．弹簧对公仔头部弹力冲量的大小为mgt C．公仔头部的动能最大时，弹簧的弹性势能为零 D．向下按压时头部下降的距离小于h，则放手后头部上升到最高点所需的时间仍为t 【解答】解：A、一开始弹簧弹力大于重力，加速度向上，随着弹力逐渐减小，加速度向上在减小，当弹簧弹力等于重力时加速度减小到0，以后加速度方向下在增大，对公仔可知支持力一直减小，故A错误； B、公仔头部上升的全过程中，设弹簧弹力冲量的大小为I，冲量方向向上为正，根据动量定理得：﹣mgt﹣I＝0，即弹簧弹力冲量的大小为mgt，故B正确； C、公仔头部的动能最大时，弹簧弹力与头部重力相等，弹簧的弹性势能不为零，故C错误； D、公仔头部做简谐振动，周期与振幅无关，故D正确； 故选：BD。 2 学科网（北京）股份有限公司 $