专题四 规律探究-【学海风暴·PK中考】2026安徽中考数学备考培优本

专题四 规律 类型1数式规律探究(2025T14.2024T18.202T18, 2020T17,2019T18.2018T183 解题技巧 纵向对比、归 观察横向与纵向的数、 纳变化部分的 式子中变与不变的部分 规律 将变化部分与序数刀 取特殊 联系起来 值验证 典例1(2025合肥一模)宇宙中存在一种神秘的黑 洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数.数学兴 趣小组在研究“黑洞”数时，在0到9之间，任取一组 不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数， 再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最 小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再 相减，再得到一个新数…，一直重复操作.例如： 第1组：数字1,2,0，则210-12=198： 第2组：数字1,9,8，则981一189=792： 第3组：数字7,9,2，则972一279=693： 第4组：数字6,9,3，则 (1)根据规律，补充第4组横线的内容。 (2)小组成员A发现：任取这样一组不全相等的三 个数字，经过有限次上述“重排求差”的操作后，最 终会得到一个固定的“黑洞”数，这个数是 (3)小组成员B发现：在上述“重排求差”的操作中， 最大数和最小数的差能被99整除.推理过程如下： 设一组三个数字为a,b,c,其中a≥b≥c,且a,b,c不 全相等，最大数可表示为 ,最小数可表示为 ,则最大数一最小数=99( ）,所以 最大数和最小数的差能被99整除. 【解题点拨】(1)第4组：数字6,9,3.则963一369 =594. (2)第5组为954一459=495，第6组为954一459= 495,…,.这个数为495. (3)设-组三个数字为a,b,c,其中a≥b≥c,且4， b,c不全相等，则最大数可表示为100a+10b十c, 最小数可表示为100c十10b十a,最大数一最小数= 探究10年10考) (100a+10b+c)-(100e+10b+a)=99(a-c),所 以最大数和最小数的差能被99整除。 【规范解答】(1)963一369=594 (2)495 (3)100a+10b+c100c+10b+aa-c 针对洲练 1.观察下列各个等式的规律： 第1个等式：12-0=1： 第2个等式：2-12=3： 第3个等式：3-2=5： 第4个等式：4一3=7： 400 用上述等式反映的规律，解答下列问题： (1)请直接写出第5个等式： (2)猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并 证明你的猜想， 2.(2025芜湖二模)【规律发现】 第1个等式：152=1×2×100+25： 第2个等式：25=2×3×100+25： 第3个等式：35=3×4×100+25： 【规律应用】 (1)写出第4个等式： 写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示). (2)根据以上的规律计算：152+25十35+45 +55. 培优本 237 3.观察以下等式： 第1个等式1+片+-+ 1,26,6 第2个等式：1+1+2=4十8 1,27,11 第3个等式：1+g+3=6十18 1,28,18 第4个等式：1+6+4-8+2 0 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明你 的猜想 4.(2025淮南二模)观察以下等式： 第1个等式：-2=十2： 4 25-5 第2个等式： 25÷5 第3个等式：7一 64 68 第4个等武号-1-是车n: 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： 238420己6安徽数学 (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表 示)，并证明你的猜想. 5.(2025滁州全椒二模)观察下列等式： 14×16=1×2×100+4×6=224: 23×27=2×3×100+3×7=621: 38×32=3×4×100+8×2=1216: 根据以上规律，解答下列问题： (1)仿照上面的书写格式，填空：49×41= (2)设等式左边的两个两位数分别是(10m+a), (10m+b),其中a十b=10.用含m,a,b的等式 表示上述规律，并证明 6.在数学活动课中，某兴趣小组研究某种公式，写 出了下列几组等式： 第1个等式：2-13-3×2×1=(2-1)3； 第2个等式：33一2一3×3×2=(3-2)： 第3个等式：43-33一3×4×3=(4-3)： (1)根据上述等式规律： ①第4个等式：5-4一3×5×4=( ) ②第n个等式： (2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律： 小明猜想：a一b一3ab=(a一b),其中a,b为 正整数，小华提出反对意见，并通过如下计算进 行了证明：(a一b)=a一b -3ab( ）, :a3-b一3ab不一定等于(a一b) 请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明猜想 成立时，a,b需要满足的数量关系， 7.数学兴趣小组研究了数式之间的规律问题 (1)指导老师将学生的发现进行整理，部分信息 如下： 序号 表示结果 第1个等式 4×1×4+9=(1+4)3 第2个等式 4×2×5+9=(2+5)2 第3个等式 4×3×6+9=(3+6)2 第4个等式 4×4×7+9=(4+7)2 第5个等式 4×5×8+9=(5+8) (1)根据表中你发现的规律，写出第10个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表 示)，并证明你的猜想. 8.(2024一2025合肥蜀山区月考)数学兴趣小组开 展探究活动，探究了“任意两个连续奇数的平方 差是否是8的倍数”的间题 (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下 部分信息(n为正整数)： 任意两个连续 8的倍数 奇数的平方差 32-1 8=8×1 52-3 16=8×2 72-5 24=8×3 表示结果 92-72 32=8×4 112-9 40=8×5 … 一般结论 (2n十1)2-(2n-1) 8n 按上表规律，解答下列问题： (1)①192-17= ②(2n+7)2-(2H+5)2= (2)请根据你学过的相关数学知识，证明(1)②中 的结论成立. 类型2 图形规律探究(2023T18.2021T18) 解思技巧 ①标序号 按图标序（若图形中有 序号，则此步跟省略) 解决图形麦 ②找规律 找出图序号n与图形变 化之间的规律表达式 化规律的 般步罪 ③验证 代入序号验证所列的表 达式是否正确 ④求出结采 将所求项的序号代入 表达式，求得结采 典例2跨化学学科苯是最简单的芳香族化合物，在 有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库 勒发现了苯分子的环状结构.将若干个苯环以直线 形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构 简式中六边形每个顶点处代表1个C原子，通常省 略H原子). 已知：苯的结构式是 ,结构简式为○分子 培优本 239 式是CH: 2个苯环相连的结构式是 ,结构简式为 O○分子式是CH: 3个苯环相连的结构式是 结构简式 为○○O分子式是CHo: 根据以上规律，回答下列问题： (1)4个苯环相连的分子式是 (2)n个苯环相连的分子式是 (3)试通过计算说明分子式是C2H:的化合物 是否属于上述类型的芳香族化合物， 【规范解答】1)CsH2 (2)Cu+:H2m+ (3)由题意，得4n十2=2622. 解得n=655, .2×655+4=1314. 故分子式是C26H13的化合物属于上述类型的芳 香族化合物。 针对地练 9.骑化学学科烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机 化合物质，下面是这类物质前4种化合物的分子 结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢 原子.第1种化合物如图①，有1个碳原子，4个 氢原子：第2种化合物如图②，有2个碳原子，6 个氢原子：第3种化合物如图③，有3个碳原子.8 个氢原子，… (1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模 型中氢原子的个数是 :第n种化合物 的分子结构模型中氢原子的个数是 (2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合 物的分子结构模型中有2031个氢原子？请说明 理由. 090 图①图② 图3 图④ 240.2026安徽数学 10.下面是平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方 形和白色等边三角形排列而成.观察图案，第1 个图案中正方形有1个，等边三角形有4个：第 2个图案中正方形有2个，等边三角形有7 个… 风 双灯- 第1个图案第2个图案第3个图案 第4个图 (1)第5个图案中正方形有 个，等边 三角形有 个 (2)第n个图案中正方形有 个，等边 三角形有 个 (3)若某个此类图案中有2026个等边三角形， 则该图案中正方形有多少个？ 11.(2025蚌埠模拟)我们将四个全等的菱形按图① 所示的方式组合，所形成的图形称为一个基本 图.将此基本图复制并向右平移，使得其中一个 菱形重合，得到图②、图③… 图① 图②2 图③ (1)观察图形并完成下表： 基本图的个数123 4 菱形的个数 5913 直接写出在图@中，菱形的个数（用表示）. (2)将图⊙放在下面的平面直角坐标系中，使得 第1个基本图的对称轴为直线x=2,第2个基 本图的对称轴为直线x=4,则其中第2025个 基本图的对称轴是 ；当 n=2025时，图@的对称轴为 12.(2025合肥二模)【观察思考】 观察下列图案： ▣ □口口口□ 第1指第1个国案第2个图案第3个图案第4个困案 日 □ ■■■ 卫 ■■■ 第2掩第1个国案第2个图案第3个因案第4个因案 ■■■ ■■■ 日 ■ ■■■ ■■■■ 第3排第1个图案第2个图案第3个图案第4个因策 【规律发现】 请用含m,n的式子填空： (1)在第1排中，第1个图案中矩形的个数可表 示为1，第2个图案中矩形的个数可表示为1十 2,第3个图案中矩形的个数可表示为1十2十3 第4个图案中矩形的个数可表示为1+2十3+ 4,…,第”个图案中矩形的个数可表示为 (2)在第2排中，第n个图案中矩形的个数可表 示为 (3)在第m排中，第”个图案中矩形的个数可表 示为 【规律应用】 (4)当m=n时，结合图案中矩形的排列方式及 上述规律，是否存在正整数n,使得第m排第n 个图案中矩形的个数为225？ 13,阅读理解意大利著名数学家斐波那契在研究兔子 繁殖问题时，发现这样一组数：1,1,2,3,5,8,13，… 现将这组数中的各个数作为正方形的边长，依次构 造一组正方形（如图①），再分别从左到右取2个、3 个、4个、5个…正方形拼成图②所示的长方形， 并记为长方形①、长方形②、长方形③、长方形 ④… 图①D 23 长方形①长方形②长方形③ 长方彩④ 图② 【规律探究】 (1)如图①，第8个正方形的边长为 (2)如图②，相应长方形的周长如下表： 序号①②③④⑤ 周长61016xy 若按此规律继续拼成长方形，则x= 【拓展延伸】 (3)按一定规律排列的一组数：10,10,103， 10,10,103,….若x,y,之表示这组数中的连 续三个数，且x<y<之，直接写出x,y,之满足 的关系式. 类型3图形与等式关系的规律探究(2017T19. 2016T18】 解题技门解决图形与等式规律变化的一般 步骤：①标序号，按图标序（若图形中有序号， 则此步骤省略)：②找规律，找出图形的序号n 与等式变化之间的关系，用”表示出等式： ③验证，代入序号验证所列的等式是否正确： ④等式应用或证明，利用上迷等式解决问题或 利用所学整式性质加以证明 培优本 241 典例3【观察与思考】我们知道1十2十3十…十n n(n+1 2 ,那么1十2十3+…十n3等于多少呢？ 请你仔细观察，找出下面图形与等式的关系，解决 下列问题： 【尝试】(1)图⑤对应的等式是 【概括】(2)13+2+3十…+n3= 1+2+…+2024 【拓展应用】(3)求+2+3+…十202的值 888888888 ●●●000●●00 日0000●● 0●● ●●●●●●●●●● 888 888888 8888888888 1=121P+2=39 1+2+3=6 1+2+33+4=10 图① 图② 图③ 图④ 【规范解答】(1)1+2+33+43+53=152 (2)nn+1D (1+2+3+…+2024)2 (3)原式= =1十2十3十… 1+2+3+…十2024 +2024= 2024×2025 =2049300. 2 针对知练 14.观察下列图形与等式的关系，归纳图形，完成下 列任务： 第1个图—→3-23=2X2X2牛 。19 第2个图： -→42-2=(4-2)×2×2+2： ·。。 。。|。 第3个图-5-2=(5-2)X2×2+3: 。0。年 。。，。 —62-22=(6一2)×2×2 。。。0。 。。。。。 +4: (1)根据上述图形与等式规律，第5个图所对应 的等式为 (2)第n个图中所对应的等式为 (用含n的等式表 示)，并加以证明。 242A心己0已6安徽数学 15.观察下列图形与等式的关系： 第1个图 →2-1=2+1=3： 第2个图 →3-2=3+2=5： 第3个图 *4一32=4十3=7： 第4个图 52-42=5+4=9: 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是 ,第6个图中空白部分小正方形的 个数满足的算式为 (2)用含n的等式表示第n个图中空自部分小正 方形的个数： (3)运用上述规律计算：(2024一2023+2022一 2021+2020°-2019°+…+2-1)×102 16.观察下图中小黑点的个数与等式的关系，根据 其图形与等式的规律，解答下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等 式表示) (3)若第n个图形中等号左右两边各有171个 小黑点，求n的值。 =第1个等式：1十2=2+1 第2个等式：4+6=8十2 。。e 0。 ” 第3个等式：9+12=18+3 第4个等式：16+20=32+4 e。。。 e。● 00◆ ●。◆海 。。。●8 t。·● 。年40◆ 17.观察下面的图形及其对应的等式. 图①： 1=1: 图@ 1+2=1+4-(1+1)=3: ●00 图③-8品 o: 1+2+3=4+9-[2×(1+2)+1]=6: 。●o 。●●o0 图①：.·.：888 606661 000 o 1+2+3+4=9+16-[2×(1+2+3)+(1+ 2)]=10: 按照上面图形与等式的对应规律，解决下面的 问题： (1)写出图⑤对应的等式：1+2+3+4+5= (2)写出图@对应的等式（用含n的等式表示）， 并证明. 18.高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正 方形和黑色正方形按一定规律搭建图形.观察 图形，回答下列问题： (1)图①的黑色正方形有1+1=1+1X(+1) 2 (个)： 图@的黑色正方形有1+1+2=1+2×(1+2) 2 (个)： 图③的黑色正方形有1+1十2十3=1+ 3×(1+3) (个)： 图④的黑色正方形有1+1十2+3+4=1+ 4×(1+2(个)： 2 ……； 图@的黑色正方形有 个 (2)图①中，白色正方形比黑色正方形多1个： 图②中，白色正方形比黑色正方形多2个：图③ 中，白色正方形比黑色正方形多3个：…：图@ 的白色正方形有 个 (3)若图⊙中黑色正方形的个数比等边三角形 的个数多45，求图@中白色正方形的个数： 图① 图② 图63 图④ 培优本 243÷品-祭-△MNo△CDN. .S△，bx=3m.S2mw=9m, .S6Ac=S△Ac=12m. Sn边sNpg=11m, ·.S△ANF:S四对慧Cvm=1:1l.故④错误. 42.①②①【解析】：AB=AC=BC,.∠BAC=60°.由题 总，得AE=AB.AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°，∴.AE =AD,∠EAD=360'-60°-90-90°=120°，.∠AED ∠ADE=之×180-120)=80，放①说法正确： ,∠CAD=∠BAE=90°，∴.∠CAE=∠DAB=90°+ ∠DAE.又AC=AD,AE=AB,,△CAE≌△DAB (SAS),∴.EC=BD,故②说法正确： 如图①，设BD交AE于点G,交CE于点O.:△CAE≌ △DAB,.∠AEC=∠ABD..·∠OGE=∠AGB, .∠AEC+∠OGE=∠ABD+∠AGB=90,.∠EOB 90°，.∠COD=∠BOC=∠DOE=90°，.DE+BC OD*+OE+OB+C=BE+CD.AE=AB=3. AD=AC=4.BC=6...BE=AB+AE=3+3=18. CD=AD+AC2=4+4=32.BC=6=36..DE /BE+CD-BC=18+32-36=/14≠25，故③ 说法错误： 当直线1⊥BC时，如图②，作EF∥AD交直线L于点F,连 接DF,.∠AEF+∠DAE=180°.∠BAC+∠DAE= 180°，∴.∠AEF=∠BAC.,∠ANB=∠BAE=90° ∴∠EAF=∠ABC=90-∠BAN,,EA=AB,.△EAF 2△ABC(ASA),∴.EF=AC=AD,,四边形ADFE是平 行四边形，.M为线段DE的中点，故④说法正确。 综上所述，正确的是①②④. 图① 图② 43.①③④【解析】，点A,E都在I1上，且AC⊥x轴，EF⊥ x轴，点D在上， 1 1 'SAm-Somr-2x2-1.Scomn-2x1- 2 乞，放①正确： :∠COD=∠FOE,∠OCD=∠OFE=90°， ,.△OCD△OFE, ,故②错误 如图，过点B作BG⊥x轴于点G. yt 同理可得S么，= 2 Sooc =1, △OBG∽△OAC, .OB .OB OD 又∠BOD=∠AOE, .△BOD∽△AOE, 0D-∠0E器8票号， ,,BD∥AE,故③④正确 专题四规律探究 1.解：(1)52一4=9 (2)第n个等式为n°一(n一1)2=2n一1. 证明：左边=n一(n一1)°=[n十(m-一1)][n一(w一1)]=2n 一1=右边， ∴.w2-(n-1)”=2m-1. 2.解：(1)45=4×5×100+25 (10n+5)2=n(n+1)×100+25 (2)原式=1×2×100+25+2×3×100+25+3×4×100+ 25+4×5×100+25+5×6×100+25 =(2+6+12+20+30)×100+25×5 =7125. 1 2927 3.解：101+云+亏=050 21+1+2=”+++2 +品 2n 2n 证明：等式左边=”+1十2m+1D n 等式右边=”+4+”+2_2初+4m士2m+1 22 2 2n ,等式左边=等式右边， 196 4解843奶 (2)3m-1) 3n-2 -(3m-1)=3n-1) 3m-2÷(3m-1D 证明：左边= (3n-1)° (3n-1)(3n-22 3n-2 3m-2 (3n-1)[3m-1-(3m-2)1_3n-1 3m-2 3n-2·右边=(3m-1) 3n一2 3n一3m-2·左边=右边，即3m-1 1_3m-1 3n-2 一(3m-1)= (3m-1D÷(3n-1 3n一2 5.解：(1)4×5×100+9×1=2009 (2)规律表达式为(10m+a)(10m+b)=100m(m+1)+ab. 证明：左边=(10m+a)(10m+b)=100m2+10m(a+b) tab. 由a+b=10,得100m2+10m·10+ab=100m2+100m 十ab. 右边=100m(m+1)+ab=100m°十100m+ab, .左边=右边， .(10m+a)(10m+b)=100m(m+1)+ab. 6.解：(1)①54 ②(n+1)2-n3一3m(m+1)=[(n+1)一n] (2)a-ba-b=1. 7.解：(1)4×10×13+9=(10+13)月 (2)第u个等式可表示为4w(u十3)十9=(u十n十3) 证明如下： 左边=4n2十12n十9， 右边=(2n+3)2=4n2+12m+9. 左边=右边， .4n(n+3)+9=(+n+3)2. 8.解：(1)①7289 ②8n+24 (2)证明：(2m+7)2-(2n+5) -[(2n+7)+(2n十5)][(2m+7)一(2a+5)] =(4n+12)×2 =8n十24 9.解：(1)222n+2 (2)不存在.理由如下： 梦考答案 75 当2m+2=2031时m=2029 2 ,n不是正整数， ·不存在某种化合物的分子结构模型中有2031个氢原子. 10.解：(1)516 (2)n(3n+1) (3).3n十1=2026，解得n=675, .该图案中正方形有675个. 11.解：(1)17在图@中，菱形的个数为4n十1. (2)直线x=5050直线x=2026 12.解：(1)0m十1) 2 (2)3m(n+1) 2 (3)mmm+1)(n+1) (4)根据题意，得”(m+1 =225. 4 n+1) 2 =15 解得n=5(负值已舍去)， ∴.存在正整数n=5,使得第m排第n个图案中矩形的个数 为225 【解析】(2)根据题意，得在第2排中，第1个图案中矩形的 个数可表示为3×1： 在第2排中，第2个图案中矩形的个数可表示为3(1十2)： 在第2排中，第3个图案中矩形的个数可表示为3(1十2 3)4 在第2排中，第4个图案中矩形的个数可表示为3(1十2十3 十4)： 在第？排中，第”个图案中矩形的个数可表示 为3n(n+1 2 (3)根据题意，得在第3排中，第1个图案中矩形的个数可 表示为6=6×1： 在第3排中，第2个图案中矩形的个数可表示为6(1+2)： 在第3排中.第3个图案中矩形的个数可表示为6(1+2十 3): 在第3排中，第4个图案中矩形的个数可表示为6(1十2+3 +4)； 在第3排中，第n个图案中矩形的个数可表示 为6m(n+D 2 故在第m排中，第”个图案中矩形的个数可表示为 m(m+1少.x(n+1=mn(m+1D(n+1》 2 2 4 13.解：(1)21(2)2642(3)xy=名.【解析】(1)按照规 律.写出斐波那契数列的前8个数分别为1,1,2,3,5,8,13， 21.即第8个正方形的边长为21. (2).x=10十16=26，y=16十26=42 (3).10×102=103.102×103=10.103×10=10.…, 若x,y,z表示这组数中的连续三个数，且x<y<:,则 x,y,:满足的关系式是xy-2, 14.解：(1)7产-2=(7-2)×2×2+59 (2)(n+2)2-2=[(n+2)-2]×2×2+n 证明： 左边=n”十4n十4一4=m2十4n,右边=4n十n”, .左边=右边， .(n+2)-22=[(m+2)-2]×2×2+n2. 15.解：(1)117-6=7+6=13 76 。己0己6安徽数学 (2)(n十1)2一n2=n十1十n=2n+1 (3)原式=(2024+2023+2022+2021+2020+2019 +…+2+1)X102 2024×(2024+1) 2 1012 =2025. 16.解：(1)25十30=50十5 (2)w°+n(n十1)=2n2十n (3),“第n个图形中等号左右两边各有171个小黑点， ∴.2w+n=171,解得n=9(负值已舍去). 故n的值为9 17.解：(1)16+25-[2×(1+2+3+4)+(1+2+3)]=15 (2)图@对应的等式为1十2十3+…十n=(n一1)十n一 [2×(1+2+3+…+n-1)+(1十2+3++n-2)]. 证明如下：“左边=之(n+1, 右边=-2n+1计m-m+n-宁+多-1=宁计 1 交n=2n(n+1), ,左边=右边， .1十2+3+…十n=(n-1)2十m2-[2×(1十2+3+…+ n-1)+(1+2+3+…+n-2)]. 18.解：01+1+2+3+…+n=1+n1+m 2 (2)[1+m+1+m7 2 (3)由所给图形可知， 图①中，等边三角形的个数为2： 图②中，等边三角形的个数为3： 图③中，等边三角形的个数为4： ∴.图①中，等边三角形的个数为n十1 图@中黑色正方形的个数比等边三角形的个数多45， 1+0+n) 一(n十1)=45， 2 解得”=10（负值已舍去）， 1+w+am=1+10+10X1业=66. 2 2 即图@中白色正方形的个数为66. 专题五网格作图 1.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求. (2)如图所示，△A,B,C,即为所求，C(一5，一2) 1 2.解：(1)如图，△ABC,即为所求 (2)如图，△A2B:C:即为所求 (3)如图，点P即为所求