15.3 等腰三角形 讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3 等腰三角形 学习目标 1. 理解等腰三角形和等边三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 2. 掌握等腰三角形的性质定理（等边对等角、三线合一）和判定定理（等角对等边），并能运用这些定理进行简单的证明和计算。 3. 掌握等边三角形的性质和判定方法，并能运用它们解决相关问题。 4. 经历等腰三角形性质和判定的探索过程，体会分类讨论、转化等数学思想方法，提升逻辑推理能力和解决问题的能力。 知识点讲解 一、等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 几何语言表示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB、AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角。 二、等腰三角形的性质 1. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 · （注意：“等边对等角”是指在同一个三角形中，相等的边所对的角相等。） 2. 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 · 几何语言表示： · 在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD。（顶角平分线既是底边上的高，也是底边上的中线） · 在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC。（底边上的中线既是底边上的高，也是顶角平分线） · 在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=CD。（底边上的高既是顶角平分线，也是底边上的中线） 3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 三、等腰三角形的判定 1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。 2. 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（△ABC是等腰三角形）。 · （注意：“等角对等边”是指在同一个三角形中，相等的角所对的边相等。） 四、等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。 五、等边三角形的性质 1. 等边三角形的三条边都相等。 · 几何语言表示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC。 2. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 · 几何语言表示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°。 3. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线。 4. 等边三角形具有等腰三角形的所有性质（如“三线合一”）。 六、等边三角形的判定 1. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 · 几何语言表示：∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形。 2. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形。 3. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），∴△ABC是等边三角形。 例题解析 例题1：已知等腰三角形的一个顶角为70°，求它的另外两个内角的度数。 例题2：已知等腰三角形的一个底角为40°，求它的顶角的度数。 例题3：已知：在△ABC中，∠A=60°，AB=AC。求证：△ABC是等边三角形。 例题4：已知△ABC的三个内角都相等，且AB=3cm，求BC的长度。 巩固练习 一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为5和7，则它的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 17或19 D. 无法确定 2. 在等腰三角形中，下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 等腰三角形的两个底角一定都是锐角 C. 等腰三角形是锐角三角形 D. 等腰三角形一边上的中线一定等于这边上的高 3. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A. ∠A=∠B B. AB=AC C. ∠A=50°，∠B=80° D. ∠A=40°，∠B=60° 4. 等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 若一个等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（ ） A. 100° B. 40° C. 100°或40° D. 50° 二、填空题 1. 等腰三角形的对称轴是________________所在的直线。 2. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠C=______度。 3. 等边三角形的每个内角都等于______度。 4. 在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若BC=6cm，则BD=______cm。 5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，则这个三角形是______三角形（填“等腰”、“等边”或“等腰直角”）。 三、解答题 1. 已知：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数。 2. 已知：△ABC中，点D在BC上，∠BAD=∠CAD，且AD⊥BC。求证：△ABC是等腰三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 等腰三角形 学习目标 1. 理解等腰三角形和等边三角形的定义，能准确识别等腰三角形的腰、底边、顶角和底角。 2. 掌握等腰三角形的性质定理（等边对等角、三线合一）和判定定理（等角对等边），并能运用这些定理进行简单的证明和计算。 3. 掌握等边三角形的性质和判定方法，并能运用它们解决相关问题。 4. 经历等腰三角形性质和判定的探索过程，体会分类讨论、转化等数学思想方法，提升逻辑推理能力和解决问题的能力。 知识点讲解 一、等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 几何语言表示：在△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，其中AB、AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角。 二、等腰三角形的性质 1. 性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。 · （注意：“等边对等角”是指在同一个三角形中，相等的边所对的角相等。） 2. 性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。 · 几何语言表示： · 在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD。（顶角平分线既是底边上的高，也是底边上的中线） · 在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC。（底边上的中线既是底边上的高，也是顶角平分线） · 在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，BD=CD。（底边上的高既是顶角平分线，也是底边上的中线） 3. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线。 三、等腰三角形的判定 1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。 2. 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（△ABC是等腰三角形）。 · （注意：“等角对等边”是指在同一个三角形中，相等的角所对的边相等。） 四、等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。 五、等边三角形的性质 1. 等边三角形的三条边都相等。 · 几何语言表示：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC。 2. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 · 几何语言表示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°。 3. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线。 4. 等边三角形具有等腰三角形的所有性质（如“三线合一”）。 六、等边三角形的判定 1. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 · 几何语言表示：∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形。 2. 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形。 3. 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 · 几何语言表示：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），∴△ABC是等边三角形。 例题解析 例题1：已知等腰三角形的一个顶角为70°，求它的另外两个内角的度数。 分析：等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。已知顶角，可直接求出两个底角的和，再除以2即可得到底角的度数。 解答： ∵ 等腰三角形的顶角为70°，三角形内角和为180°， ∴ 两个底角的和为 180° - 70° = 110°。 又∵ 等腰三角形的两个底角相等， ∴ 每个底角的度数为 110° ÷ 2 = 55°。 故它的另外两个内角的度数均为55°。 解析：本题主要考查等腰三角形“等边对等角”的性质及三角形内角和定理。关键在于明确顶角和底角，利用内角和求出未知角。 例题2：已知等腰三角形的一个底角为40°，求它的顶角的度数。 分析：等腰三角形的两个底角相等，已知一个底角，可以求出另一个底角，再根据三角形内角和为180°求出顶角。 解答： ∵ 等腰三角形的一个底角为40°，且等腰三角形的两个底角相等， ∴ 另一个底角也为40°。 ∵ 三角形内角和为180°， ∴ 顶角的度数为 180° - 40° - 40° = 100°。 故它的顶角的度数为100°。 解析：本题与例题1类似，仍是考查等腰三角形性质和三角形内角和定理。注意区分顶角和底角，避免混淆。 例题3：已知：在△ABC中，∠A=60°，AB=AC。求证：△ABC是等边三角形。 分析：要证明△ABC是等边三角形，已知AB=AC，即它是一个等腰三角形，且有一个角∠A=60°。根据等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，即可得证。 解答： 证明：∵ AB=AC， ∴ △ABC是等腰三角形。 ∵ ∠A=60°，且△ABC是等腰三角形， ∴ △ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 解析：本题考查等边三角形的判定定理。理解“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法是解题关键。在证明时，需先明确三角形是等腰三角形，再指出有一个60°的角。 例题4：已知△ABC的三个内角都相等，且AB=3cm，求BC的长度。 分析：三个内角都相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等。 解答： ∵ △ABC的三个内角都相等， ∴ △ABC是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。 ∵ 等边三角形的三条边都相等，AB=3cm， ∴ BC=AB=3cm。 故BC的长度为3cm。 解析：本题考查等边三角形的判定（三个角都相等的三角形是等边三角形）和性质（三条边都相等）。先判定，再应用性质求边长。 巩固练习 一、选择题 1. 等腰三角形的两边长分别为5和7，则它的周长是（ ） A. 17 B. 19 C. 17或19 D. 无法确定 2. 在等腰三角形中，下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 等腰三角形的两个底角一定都是锐角 C. 等腰三角形是锐角三角形 D. 等腰三角形一边上的中线一定等于这边上的高 3. 下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A. ∠A=∠B B. AB=AC C. ∠A=50°，∠B=80° D. ∠A=40°，∠B=60° 4. 等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 若一个等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（ ） A. 100° B. 40° C. 100°或40° D. 50° 二、填空题 1. 等腰三角形的对称轴是________________所在的直线。 2. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠C=______度。 3. 等边三角形的每个内角都等于______度。 4. 在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若BC=6cm，则BD=______cm。 5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为1:1:2，则这个三角形是______三角形（填“等腰”、“等边”或“等腰直角”）。 三、解答题 1. 已知：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数。 2. 已知：△ABC中，点D在BC上，∠BAD=∠CAD，且AD⊥BC。求证：△ABC是等腰三角形。 巩固练习答案 一、选择题 1. 答案：C 解析：当腰长为5时，三边长为5，5，7，5+5>7，能组成三角形，周长为5+5+7=17；当腰长为7时，三边长为7，7，5，7+5>7，能组成三角形，周长为7+7+5=19。所以周长是17或19，故选C。 2. 答案：B 解析：A选项，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，非所有的高、中线、角平分线，故A错误；B选项，等腰三角形的两个底角相等，若底角为直角或钝角，则内角和会超过180°，所以两个底角一定是锐角，故B正确；C选项，等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故C错误；D选项，只有底边上的中线才等于底边上的高，腰上的中线不一定等于腰上的高，故D错误。故选B。 3. 答案：D 解析：A选项，∠A=∠B，由“等角对等边”可得AC=BC，能判定；B选项，AB=AC，由定义可判定；C选项，∠A=50°，∠B=80°，则∠C=180°-50°-80°=50°，所以∠A=∠C，AB=BC，能判定；D选项，∠A=40°，∠B=60°，则∠C=180°-40°-60°=80°，三个角都不相等，不能判定为等腰三角形。故选D。 4. 答案：C 解析：等边三角形有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高和所对角的平分线所在的直线。故选C。 5. 答案：B 解析：若100°的角为底角，则两个底角和为200°>180°，不符合三角形内角和定理，故100°的角只能是顶角。底角的度数为÷2=40°。故选B。 二、填空题 1. 答案：顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高） 解析：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在的直线，也是底边上的中线或底边上的高所在的直线。 2. 答案：50 解析：在等腰三角形ABC中，AB=AC，所以∠B=∠C。∠A=80°，则∠B+∠C=180°-80°=100°，所以∠C=100°÷2=50°。 3. 答案：60 解析：等边三角形的三个内角都相等，且三角形内角和为180°，所以每个内角为180°÷3=60°。 4. 答案：3 解析：∵AB=AC，AD是底边BC上的高，∴AD也是BC边上的中线（等腰三角形三线合一）。∵BC=6cm，∴BD=BC÷2=6÷2=3cm。 5. 答案：等腰直角 解析：设三个内角分别为x，x，2x。则x+x+2x=180°，4x=180°，x=45°。三个角分别为45°，45°，90°。所以是等腰直角三角形。 三、解答题 1. 答案：∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 解析：设∠A=x。 ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x（等边对等角）。 ∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。 ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x（等边对等角）。 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x（等边对等角）。 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， x + 2x + 2x = 180° 5x = 180° x = 36°。 ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=2x=72°。 故△ABC各内角的度数分别为∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。 2. 答案：见解析 解析：证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°。 ∵∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（ASA）。 ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。 ∴△ABC是等腰三角形（有两边相等的三角形是等腰三角形）。 学科网（北京）股份有限公司 $