3.4 函数的应用（一）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一）同步练习 姓名： 班级： 学号： 基础训练 一、单项选择题 1.茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：℃）和泡茶时间t（单位：min）满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃，则需要等待的时间为（ ） A.1.5 min B.2 min C.3 min D.4 min 2.函数f（x）＝的零点是（ ） A.1 B.（1，0） C.（－1，0） D.－1或1 3.某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ） A.30 B.40 C.50 D.60 4.面积为S的长方形的某边长度为x，则该长方形的周长L与x的函数关系为（ ） A.L＝x＋（x＞0） B.L＝x＋（0＜x＜S） C.L＝2x＋（x＞0） D.L＝2x＋（0＜x＜S） 5.函数f（x）＝x3＋x－4的零点所在的区间为（ ） A.（－1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3） 6.已知一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是（ ） A B C D 7.将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线C1：y＝与C2：y＝b构成，则b2－ac＝（ 　） A.10 B.－10 C.2 D.－2 8.某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、三角形、弓形这三种方案，最佳方案是（ ） A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 二、多项选择题 9.已知函数f（x）＝的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.c＞0 10.定义在R上的函数f（x）满足：x为整数时，f（x）＝2 024；x不为整数时，f（x）＝0，则（ ） A.f（x）是奇函数 B.f（x）是偶函数 C.∀x∈R，f（f（x））＝2 024 D.f（x）的最小正周期为1 11.已知函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x －2 －1 2 3 5 f（x） 10 13 －8 3 －4 则下列包含函数f（x）零点的区间是（ 　） A.（－2，－1） B.（－1，2） C.（2，3） D.（3，5） 三、填空题 12.函数f（x）＝x＋－4有 个零点. 13.函数f（x）＝｜x2－4x｜的单调递增区间是 . 14.若∀x∈[a，a＋1]，∃y∈［，］，使得xy＝1，则实数a＝ . 四、解答题 15.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为y＝－x2＋12x－9（x≤11，且x∈N*）. （1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ （2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 能力提升 16.某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后满足y＝，如图所示.现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请按题中所给的信息，解答下列各题： （1）求y关于x的函数解析式. （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 拓广探索 17.某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，且每辆自行车的日租金x（单位：元）只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y（单位：元）表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费用后的所得）. （1）求函数y＝f（x）的解析式及定义域. （2）试问日净收入最多时，每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ 参考答案 1.D　解析：令60＝－10t＋100，解得t＝4；令＝60，解得t＝2，不符合题意，所以需要等待的时间为4 min.故选D. 2.A　解析：由2x＋1＞0，可得x＞－，所以函数f（x）＝的定义域为（－，＋∞）.令f（x）＝＝0，解得x＝±1，又x＞－，所以x＝1.故函数f（x）＝的零点是1.故选A. 3.C　解析：设安排生产x台，则获得利润f（x）＝25x－y＝－x2＋100x＝－（x－50）2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大.故选C. 4.C　解析：由条件，长方形的一边长度为x，且面积为S，则另一边长为，且x＞0.所以该长方形的周长L＝2x＋（x＞0）.故选C. 5.C　解析：f（x）＝x3＋x－4，易知函数单调递增，f（0）＝－4＜0，f（1）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，故函数在（1，2）上有唯一零点.故选C. 6.D　解析：由一次函数的图象可知a＜0，b＞0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－＞0，故选D. 7.A　解析：由C1：y＝得x2＋y2－a｜x｜＝0（y≥0），其图象为x轴上方（包含x轴上的点）的两个半圆，由“爱心”图知C1：y＝经过点（±4，0），即＝0，∴a＝4.由“爱心”图知C2：y＝b必过点（±4，0）与（0，－6），∴得c＝2，b＝－3，从而b2－ac＝10.故选A. 8.C　解析：方案1：如图1，设AD＝x米，则AB＝（8－2x）米， 图1 则菜园面积S＝x（8－2x）＝－2x2＋8x＝－2（x－2）2＋8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8 m2. 方案2：如图2，依题意AB＋AC＝8，则8＝AB＋AC≥2，所以AB·AC≤16，当且仅当AB＝AC＝4时取等号，所以S△ABC＝AB·ACsin A≤8sin A≤8，即（S△ABC）max＝8，当且仅当AB＝AC＝4，∠BAC＝90°时取等号. 图2 方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径＝ m，此时菜园最大面积＝＝ m2＞8 m2.故选C. 9.AD　解析：函数的定义域为{x｜x≠－c}，由题图可知－c＜0，所以c＞0，选项D正确；由题图可知f（0）＝＞0，所以b＞0，选项C错误；由f（x）＝0，即ax＋b＝0，解得x＝－，由题图可知－＞0，所以＜0，所以a＜0，选项A正确，选项B错误.故选AD. 10.BCD　解析：选项A中，对于函数f（x），有f（1）＝2 024，f（－1）＝2 024，所以f（－x）＝－f（x）不恒成立，则函数f（x）不是奇函数，所以A不正确；选项B中，对于函数f（x），若x为整数，则－x也是整数，则f（x）＝f（－x）＝2 024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f（x）＝f（－x）＝0，综上可得f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以B正确；选项C中，若x为整数，则f（x）＝2 024，x不为整数，则f（x）＝0，综上，f（x）是整数，则f（f（x））＝2 024，所以C正确；选项D中，若x为整数，则x＋1也是整数，若x不为整数，则x＋1也不是整数，总之有f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为1；若t（0＜t＜1）也是函数周期，则x和x＋t可能是一个整数，也可能不是整数，则有f（x）≠f（x＋t），所以函数f（x）的最小正周期为1，所以D正确.故选BCD. 11.BCD　解析：根据零点存在性定理，结合表中的数据，f（－1）f（2）＜0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（5）＜0.函数f（x）在三个区间（－1，2）、（2，3）和（3，5）上存在零点.可得BCD正确.故选BCD. 12.2　解析：令f（x）＝x＋－4＝0⇒＝4－x，等价于y＝与y＝4－x的交点个数，在同一坐标系中作出y＝与y＝4－x的图象如图. 所以y＝与y＝4－x的交点有2个. 故答案为2. 13.[0，2]，[4，＋∞）　解析：易得f（x）＝｜x2－4x｜的图象如下： 故单调递增区间为[0，2]与[4，＋∞），故答案为[0，2]，[4，＋∞）. 14.2　解析：由xy＝1，得y＝，则该函数在（－∞，0）和（0，＋∞）上均为单调递减函数，又因为x∈[a，a＋1]，则当a＞0时，有y∈［，］，又∃y∈［，］，则有解得a＝2；当a＝0时，有x∈[0，1]，由y∈［，］，显然xy≠1，所以a＝0不符合题意；当－1＜a＜0时，有y∈（－∞，］∪［，＋∞），又∃y∈［，］，则此时（－∞，］∪［，＋∞）为［，］的子集，显然不成立，故此时a没有实数解；当a＝－1时，有x∈[－1，0]，由y∈［，］，显然xy≠1，所以a＝－1不符合题意；当a＜－1时，有y∈［，］，又∃y∈［，］，得此时a没有实数解.综上所述，实数a＝2.故答案为2. 15.解：（1）y＝－x2＋12x－9＝－（x－6）2＋27， 因为x≤11，且x∈N*，所以当x＝6时，y＝－x2＋12x－9取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元. （2）设年平均利润为w， 因为x≤11，且x∈N*，则w＝＝－x－＋12＝12－（x＋）≤12－2＝6， 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 16.解：（1）当0≤x≤8时，设y＝λx，代入（8，6），得到λ＝，所以y＝x（0≤x≤8）.当x≥8时，把（8，6）代入y＝，得到k＝48，所以y＝（x＞8），所以y＝ （2）当0≤x≤8时，令x＝3，得x＝4； 当x＞8时，令＝3，得x＝16. 所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为16－4＝12（min）＞10 min，所以此次消毒有效. 17.解：（1）当x≤6时，y＝50x－115. 令50x－115＞0，解得x＞2.3. ∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N. 当6＜x≤20时，y＝[50－3（x－6）]x－115 ＝－3x2＋68x－115. 综上，y＝ （2）当3≤x≤6，x∈N时，∵y＝50x－115单调递增， ∴ 当x＝6时，ymax＝185. 当6＜x≤20，x∈N时，y＝－3x2＋68x－115 ＝－3（x－）2＋，∴ 当x＝11时，ymax＝270. 综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时，才能使日净收入最多，为270元. 学科网（北京）股份有限公司 $