立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练-2026届高三数学一轮复习

立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面平行的性质 1.(2526高三上北京·开学考试)如图，在四棱锥A-BCFG中，ABC是边长为4的等边三角形，四边形BCFG 为菱形，∠CBG=60°，平面ABC⊥平面BCFG,D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为1， (1)证明：l/BC; ②在线段CG(不含端点)上是否存在一点B,使得直线DE与平面4CF所成角的正弦值为Y6?若存在，求E的 10 位置；若不存在，请说明理由 E B 2.(25-26高二上·辽宁阶段练习)四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE, BC=2,CD=√2，AB=AC, (I)若P为线段AD上一动点（不含端点），且平面BCP交棱AE于点Q,证明：PQ/IDE; (2)记F为BC中点，证明：CE⊥平面AFD. B 2--- 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 3.(2526高二上·安徽阜阳阶段练习)如图，等腰梯形BCDP中，BC1/PD,BA⊥PD于点A,PD=3BC且 AB=BC=1.沿AB把aPAB折起到△P'AB的位置，使∠P'AD=90°. (I)求证：CD⊥平面P'AC. (②)线段P'A上是否存在点M,使得BMI/平面P'CD.若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由. D 4.(25-26高二上河南濮阳·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平 面ABCD,PB=PD=AB=2,AD=2V5,PB⊥PD,，点E是棱AD上的一点. (I)记平面PAD与平面PBC的交线为I,求证：II∥BC, (②)若AE=2ED,求二面角E-PB-D的正弦值. ! B 2 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 5.(25-26高三上·北京·开学考试)已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,PE1AD于点E, DE PE =2. (I)若点F在线段PE上，且BF平面PCD,证明：F是PE中点 (②)若AB⊥平面PED,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. B 6.(2526高三上·江苏镇江开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD, PA=AD=DC=1,AB=2CD,E是棱PC上一点，满足CE=CP,0<<I (I)求证：平面PAD⊥平面ABE; (2)记平面PCD∩平面PAB=I,求证：直线1IWAB; (③)当入=方时，求二面角P-4B-E的大小 D D 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 7.(25-26高三上广西南宁·开学考试)如图，正方形AMDE的边长为4，B、C分别为AM和MD的中点，在五棱 锥P-ABCDE中，F为PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别相交于点G、H. (1)求证：AB∥FG; (②)若PA⊥平面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长 H B 8.(2526高三上广东·开学考试)已知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD. (I)证明：平面PAB⊥平面PBC; (2)记平面PADO平面PBC=1,证明：BC∥1； (3)若PA=AB=BC=;AD,求平面BPD与平面CPD夹角的余弦值. 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 考点二 面面平行的性质 1.(2526高三上·湖南永州开学考试)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,底面ABC是直角三角形， PA=AB=BC,O是棱AC的中点，G是AOB的重心，D是PA的中点 (I)求证：BC⊥平面PAB; (2)求证：DG∥平面PBC; G 2.(2025·福建三明模拟预测)如图，等腰梯形ABCD中，AB/1CD,CD=2AB=4,AE⊥CD,垂足为E,将 ADE沿AE翻折，得到四棱锥P-ABCE.在四棱锥P-ABCE中，点M,N分别在线段PB,AC上，且 AN_BM=2. NC MP (I)求证：MN/平面PCE; (2)若二面角P-AE-C为120°，求直线MN与平面PAE所成角的余弦值. 力 M E B B 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 3.(225浙江宁波模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，E,F分别是AB,BC的中点，D为A,C上一点， AB⊥AC,AB=AC=2AA1=2. (1)若D为A,C的中点，证明：DE/面BBCC; 2若二面角C-AP-D的正弦值为5，求三棱锥D-AEF的体积. 3 C B 4.(2425高二下·江苏南通·阶段练习)如图，在四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD和侧面CDD,C均是正方形， P是AD上一点，且PD=2AP (I)求证：BD,⊥B,C; (2)求证：BP/平面B,CD A D B B 6 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 5.(2425高一下·浙江杭州期中)如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D,E,F满足PD=DA, BE PF =元，线段BC上的点G满足AGI1平面DEF,点Q在PC上，AQI/DF. BP PC (1①)求证：平面AQGI1平面DEF; (2)求证：QG/1EF; (3)若GC=2BG,求1的值 6.(2425高一下·辽宁葫芦岛期末)在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,D为BB,的中点 (I)求证：平面A,BC⊥平面AA,CC; (②在4G,上是否存在一点E,使得DE11平面ABC,若存在，求出4二的值，若不存在，说明理由 AC A C B C 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 7.(2425高一下·陕西西安期末)如图，己知AA⊥平面ABC,BB,/1AA1,BB,=2AA,,AB=AC,点E,F,G 分别为棱BC,AC,BC的中点，点P是线段EF上的一点 (1)求证：AE⊥B,C; (2)求证：PG/1平面A,B,BA; B G E 8.(2025·北京·模拟预测)在如图所示的多面体中，AB/1CD,四边形ACFE为矩形，AB=AE=1,AD=CD=2 (I)求证：DF1I平面ABE; (2)AB⊥AD,平面AED⊥平面ABCD,求直线DF与平面BEF所成角的正弦值. E B 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 考点三 线面垂直的性质 1.(2025·湖南一模)在多面体ABCDE中，平面ABE⊥平面BCE,BC⊥CE,∠EBC=30°，BE=2,△ABE是以BE为斜 边的等腰直角三角形，四边形ABCD为平行四边形，M,N分别为AD,BE的中点. (1)求证：MN⊥CE; (2)求平面ABC与平面ACE的夹角的余弦值. B 2.(25-26高三上·海南海口·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，△PCD为等边三角 形，ABI1CD,CD⊥AD,CD=2AB=2AD=4. (I)求证：PB⊥CD; (2)若四棱锥P-ABCD的体积为4√5，求平面PAD与平面PBC的夹角正弦值. 2-D 0 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 3.(2025广东·模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AB=BC=2,AD=4,PA=PD,BC∥AD. (1)证明：PC⊥AD; (2)若平面ABCD⊥平面PAD,且四棱锥P-ABCD的高为23，求平面BPC与平面DPC夹角的余弦值. 4.(2526高三上广东深圳开学考试)如图，在六面体PABCDE中，四边形ABCD是正方形，平面PAD//平面 BCE,CE⊥平面ABCD,CD=PD=2CE (1)证明：PB⊥AC; (2)求平面PBD和平面PAB夹角的正弦值 E D- B 9立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面平行的性质 面面平行的性质 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面平行的性质 1.(2526高三上·北京·开学考试)如图，在四棱锥A-BCFG中，ABC是边长为4的等边三角形，四边形BCFG 为菱形，∠CBG=60°，平面ABC⊥平面BCFG,D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为I. D (1)证明：1/BC; ②)在线段CG(不含端点)上是否存在一点E,使得直线DE与平面4CF所成角的正弦值为6？若存在，求E的 10 位置；若不存在，请说明理由 【答案】()证明见解析 ②作在，c5-号c0或cE=c6 【详解】(1)四边形BCFG为菱形，FG∥BC, ~FGc平面AFG,BC￠平面AFG,∴BC∥平面AFG, ~BCc平面ABC,平面ABC和平面AFG的交线为I, :.IllBC (2)取BC的中点O,连接OA,OG, ~ABC是边长为4的等边三角形，∴OA⊥BC, ~四边形BCFG为菱形，∠CBG=60°，∴aCBG为等边三角形，OG1BC, 又OA,OG为平面0AG内两条相交直线， 所以BC⊥平面OAG, ~平面ABC⊥平面BCFG,平面ABC∩平面BCFG=BC,OGc平面BCFG,OG⊥BC, ∴0G⊥平面ABC, 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 又OA在平面ABC内，所以OG⊥OA, 所以OA,OB,OG两两垂直， 以0为坐标原点，以OA,OB,OG所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， Bù 则0(0,0,0)，A(2√3,0,0)，B(0,2,0),C(0,-2,0),D(V3,1,0),F(0,-4,2√3)，G(0,0,2V3), AC=(-23,-2,0),AF=(-25,-4,23),AD=(-√5,1,0)， 设平面ACF的法向量为m=(x,y,z), m·AC=-23x-2y=0 由 m.AF=-2V3x-4y+2√3z=0 令x=1,则y=-3,z=-1,m=(L,-3,-), 假设在线段CG(不含端点)上存在一点E,使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为Y6 10 设CE=1CG,0<λ<1， 则DE=DC+CE=DC+2CG=(-5,-3,0+(0,2,25=（-5,2元-3,252， 平面4CF的法向量为页=L,-V5,-),直线DE与平面4CF所成角的正弦值为6 mDE |25-45 .cos m,DE= √6 mDE V5×V3+(2元-3)2+12元2101 想得362-37以+7=0，解得元或2 所以在发段CG不含端止存在点E,当CE=CG或CE-CG时，直线DE与平面4CF所成角的正弦值为 10 2.(2526高二上·辽宁·阶段练习)四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE, BC=2,CD=√2，AB=AC, 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 B -E D (I)若P为线段AD上一动点（不含端点），且平面BCP交棱AE于点Q,证明：PQ11DE; (②)记F为BC中点，证明：CE⊥平面AFD. 【答案】(1)证明见解析 (②)证明见解析 【详解】(1)因为底面BCDE为矩形，所以BC11DE. 又因为BC文平面ADE,DEC平面ADE,所以BCII平面ADE 因为BCC平面BCP,平面BCPn平面ADE=PQ, 所以BC1IPQ.又因为BC/1DE.,所以PQI1DE. (2)如图，连接FD,FD⌒CE=O B-- -E CL--- 因为AB=AC,所以AF⊥BC,因为侧面ABC⊥底面BCDE, 侧面ABCn底面BCDE=BC,AFC平面ABC, 所以AF⊥平面BCDE,因为CEC平面BCDE,所以AF⊥CE, 因为底面BCDE为矩形，且BC=2,CD=√2，BC的中点F, 而迈'证兰方，所以5P 所以 C=1.CD-21 CD DE 又LFCD=LCDE,所以△FCD~△CDE,所以∠FDC=∠CED, 因为∠ECD+∠CED=90°，所以∠ECD+∠FDC=90°， 所以CE⊥FD,因为AFFD=F,AF,FDC平面AFD,所以CE⊥平面AFD 3.(2526高二上·安徽阜阳阶段练习)如图，等腰梯形BCDP中，BCI1PD,BA⊥PD于点A,PD=3BC且 AB=BC=1.沿AB把aPAB折起到△P'AB的位置，使∠P'AD=90°. 3 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 -----------D (I)求证：CD⊥平面PAC. (②)线段P'A上是否存在点M,使得BM1/平面P'CD,若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，M为P'A的中点，证明见解析 【详解】(1)∠P'AD=90°， P'A⊥AD ~在等腰梯形中，AB⊥AP, ∴在四棱锥中，AB⊥AP. 又ADAB=A,AD,ABC平面ABCD, ∴.P'A⊥平面ABCD,又CDc平面ABCD, P'A⊥CD. ~在等腰梯形BCDP中，AB⊥BC,PD=3BC,且AB=BC=1, PD=3,AP=PD,BC-1,AD=3-1=2, 2 由勾股定理得AC=√AB2+BC2=√2，故CD=PB=V?+12=V2, ·AC2+CD2=AD2, 由勾股定理逆定理得ACCD. P'A∩AC=A,PA,ACC平面P'AC, CD⊥平面PAC. (2)线段P'A上存在一点M,使得BM/平面P'CD,M为P'A的中点， 证明如下： B 证明：取P'A的中点M,P'D的中点N,连结BM,MN,NC. M,N分别为P'A,P'D的中点， 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 MN D且MN=号AD BC/1PD且PD=3BC, 8CAD且6c=4D, MNI/BC且MN=BC, 四边形MNCB为平行四边形， ∴BM /ICN. 又BMt平面P'CD,CNc平面P'CD, BM/1平面P'CD. 4.(25-26高二上·河南濮阳·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平 面ABCD,PB=PD=AB=2,AD=2V5,PB⊥PD,点E是棱AD上的一点. B D (1)记平面PAD与平面PBC的交线为I,求证：IlIBC. (2)若AE=2ED,求二面角E-PB-D的正弦值. 【答案】()证明见解析 2②2 11 【详解】(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD, 又BCd平面PAD,ADC平面PAD,所以BC∥平面PAD, 又平面PADO平面PBC=I,BCc平面PBC,所以II∥BC; (2)分别取BD,PB的中点0，G,连接E0,EG,OG,如图所示. D B D 因为PB=PD=2,PB⊥PD,所以BD=√PB2+PD=2√，又AB=2,AD=2V5, 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 由余弦定理得cos∠4DB=D+DB2-AB_25+22°-23N0, 2DA·DB 2×2W5×2V2 10 又3D,所u0-04:25,0-08=5, 0 EO=ED2+DO2-2ED.DOcos ZEDB 2W5 +2列-2x25x2x3io2 3 3 10-3 所以ED2=E02+D02,即E0⊥D0,即E0⊥BD 又平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,EOC平面ABCD, 所以EO⊥平面PBD,又OG,PBc平面PBD, 所以E010G,E01PB,因为0，G分别为8D,PB的中点，所以0G=PD-10GPD, 又PB⊥PD,所以PB⊥OG,又OG∩OE=O,OG,OEc平面OGE,所以PB⊥平面OGE, 又EGc平面OGE,所以PB⊥EG,所以∠EGO为二面角E-PB-D的平面角. 因为E0L0G,E02,0G=1,所以5G=V0G+E0产 3 √2 EO 3 ,即二面角E-PB-D的正弦值为V2 22 所以sin∠EGO= EG 11 11 5.(25-26高三上·北京·开学考试)已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,PE⊥AD于点E, DE PE =2. ◆A C (I)若点F在线段PE上，且BFI平面PCD,证明：F是PE中点 (2)若AB⊥平面PED,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； @ 【详解】(1)过点F作FGI1DE,交PD于G,连接CG, 6 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 G 因为AD/BC,所以FGI1BC,所以B,C,F,G四点共面， 因为BFII平面PCD,BFc平面BCGF,平面PCD∩平面BCGF=CG, 所以BFI1CG,又FG/BC,所以四边形BCGF是平行四边形， 所以FG=BC=1=DE,所以F,G分别是PE,PD的中点， 即F是PE中点得证， (2)因为AB⊥平面PED,PEc平面PED,所以AB⊥PE, 又PE⊥AD,ADAB=A,AD,ABC平面ABCD, 所以PE⊥平面ABCD, 连接CE,因为BCIIAE,BC=AE,所以四边形ABCE是平行四边形， 所以CE/IBA,所以CE⊥DE, 以E为原点，分别以EC,ED,EP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E-yz, 如图， ZA B D 则A0,-1,0),B(1,-1,0),C1,0,0),D(0,2,0),E0,0,0),P(0,0,2, PB=(1,-1,-2),PC=(1,0,-2,CD=-1,2,0), 设i=x,y,z是平面PCD的法向量，则 PC=0 「x-2z=0 即 CD=0 -x+2y=0:令=2，则y=1,2=1, 所以万=(2,1,1)是平面PCD的一个法向量 设直线PB与平面PCD所成角为O,则 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 sin= PB2-1-2_1 PBV6×V66 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值是 6 6.(25-26高三上江苏镇江·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,ABIICD, PA=AD=DC=1,AB=2CD,E是棱PC上一点，满足CE=1CP,0<<1. E (I)求证：平面PAD⊥平面ABE; (2)记平面PCD∩平面PAB=1,求证：直线1WAB; ③当2=时，求二面角P-4B-E的大小 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)45° 【详解】(1)：PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,·PA⊥AB 又：AD⊥CD,ABIICD,:AD⊥AB且APc平面PAD, ADC平面PAD,PAOAD=A, :AB⊥平面PAD.又：ABC平面ABE, :平面PAD⊥平面ABE (2):ABIICD,AB￠平面PDC,CDc平面PDC,:AB∥平面PDC 又：平面PCD∩平面PAB=I,ABc平面PAB,:直线II∥AB 3)当A=时，CE-CP,所以E是棱PC的中点， 过E点作EFIICD交PD于F点，连接AF,则F为PD的中点 如图，作出符合题意的图形， 8 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 D 又：ABIICD,ABIEF且A,B,E,F四点共面. 又：PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD, :PA⊥AD,且PA=AD :AF是等腰直角三角形PAD的中线也是顶角的平分线，·∠PAF=45°. 再由(1)知AB⊥平面PAD,AFc平面PAD,PAC平面PAD, :AB⊥AF,AB⊥PA,AFC平面ABE, PAC平面PAB,平面PABO平面ABE=AB, :∠PAF就是二面角P-AB-E的平面角. 故二面角P-AB-E的大小为45° 7.(25-26高三上：广西南宁·开学考试)如图，正方形AMDE的边长为4，B、C分别为AM和MD的中点，在五棱 锥P-ABCDE中，F为PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别相交于点G、H. D B C (1)求证：AB/FG; (②)若PA⊥平面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长. 【答案】(1)证明见解析 ②直线BC与平面ABF所成角为名：P丽：4 【详解】(I)因为ABIIDE,AB￠平面PED,DEC平面PED, 所以AB∥平面PED,又ABC平面ABHGF, 平面PED∩平面ABHGF=FG, 所以ABIIFG; (2)若PA⊥平面ABCDE,AB,AEC平面ABCDE, 0 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质专项训练 则PA⊥AB,PA1AE,以点P为坐标原点， AB,AE,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(4,2,0),A0,0,0),F0,2,2,P0,0,4, BC=(2,2,0),AB=(2,0,0),AF=(0,2,2),PC=(4,2,-4),AP=(0,0,4), 设i=x,y,z为平面ABHGF的一个法向量， AB·n=2x=0 Fn=2y+2=0’令y1,则：=-1，所以i=01,-, 则 设直线Bc与平面48HGF所成角为aae[0引则 sina-cos(BC,n)- BC.n 2 1 BC. v8x22 国为a0引，所以a 6 点P到平面ABHGF的距离 Api=4=22, d=s亚，=P同万 所以os, d =d 92-4 3 D 8.(2526高三上广东·开学考试)己知四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD. 10