立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练-2026届高三数学一轮复习

立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面垂直的判定 面面垂直的判定 考点一 线面平行的判定 1,(25-26高三上·福建莆田·阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， BC//AD,CD L AD,PC=AD=2DC=2CB=2. (I)若点E为线段PD的中点，证明：CE∥平面PAB; (2)若点E为直线PD上的动点，当直线CE与底面ABCD所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥E-ACD的体积. 2.(24-25高二上河北廊坊阶段练习)在直三棱柱 4BC-ABG中，∠BAC=90°，AA=AB=AC=3 BCABC,=P,G是△ABC的重心，点P在线段B(不包括两个端点)上 )若2为B的中点，证明：PG/平面4C0。 1 (2)若直线PG与平面ACQ所成的角正弦值为i,求40 C 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 3.(25-26高三上·湖北荆州开学考试)在长方体 BCD-4BCD中，已知AB=4,AD=3,4=5,点0，R 分别在棱 CC BB 上，且CQ=BR=2 )证明：AR∥平面 DO (2)求直 AB,与平面 DO 所成角的正弦值. D A B ! R 子 ABCD,E,F AD,CD 4.(25-26高三上：重庆阶段练习)如图，在边长为3的正方形 中， 分别在边 上， AE=1,AC∥EF 将DBF沿EF翻折，使得点D与点P重合，且平面PEF上平面A8CFE ()证明：AC∥平面PEF且PB=而 (2)求平面PAB与平面PCF的夹角. D P B 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 5.(25-26高三上·江苏南京·开学考试)如图，直三棱柱 BC-4BG中，M,N分别为AB和BC的中点. (1)证明： MNI平面 ACCA 2若1C=25,4B=25,∠4CB=90,MW14C,求4C与平面CMN所成角的正弦值， A ✉B M 6。(25-26高三上江苏开学考试)在四棱锥P-1BCD中，已知B/1CD,∠ADC=60,MB=2AD=2CD=2, BC⊥PA,PA=PC= 5 , 是线段PB上的点， (I)是否存在点E使得CE与平面PAD平行？若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由. (2)若E为PB的中点，求二面角C-AE-P的正弦值. A- D 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 7.（25-26高三上河北保定开学考试)如图，在正三棱柱 BC-48C中，B=4=6,D是4B的中点 BC/1 ACD (1)证明： 平面 ACD (2)求点到平面 的距离。 A B 8。（25-26高三上云南楚雄阶段练习)在菱形1BCD中 AD=AC,O 中， 0为线段CD的中点（如图1）将△10D, 沿 A0 AOD' AOD'⊥ ABCO.M M,AM 折起到 的位置，使得平面 平面 为线段BD的中点（如图2），连接 (1求证：CM∥平面AOD': (2)若AB=2,求三棱锥B-ACM的体积. M 1 B 图1 图2 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 考点二 面面平行的判定 1.(25-26高二上山东潍坊阶段练习)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/1BC, ∠ABC=90°，且侧面PAD⊥底面ABCD,O是AD的中点，2AB=2BC=AD=PA=PD. (I)已知N是PD的中点，求证：平面CON/I平面PAB (2)求证：AC⊥平面POB: 5 PM (3)当AB=2时，在棱PC上是否存在一点M,使得三棱锥P-ABM的体积为3，若存在，请求出PC的值，若不 存在，请说明理由. 2.(24-25高二上山东烟台·开学考试)如图，在长方体 BCD-4BCD中，B=4,BC=3,CG=2 ,CB∥ ACD (1)求证：平面 平面 .(使用向量方法) BC (2)线段 上是否存在点P,使得4P平面 P平面1CD?若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。 D B D 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 3.(25-26高三上湖南长沙阶段练习)如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，且AB=2,该圆锥的侧面积为 2π已知点Q是母线PA的中点，点C,D在底面圆周上，且AC的长为3，CD1/AB OOC// PBD (1)证明：平面 平面 PAD OOC (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. A(:: 0 B D 4.(24-25高一下·浙江杭州期中)如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D,E,F满足PD=DA, EP-元，线段BC上的点G满是AG/平面DEP,点Q在PC上，A01DF BP PC AQG/I DEF (1)求证：平面 平面 OG//EF (2)求证： (3)若GC=2BG,求元的值. 6 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 > 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 A,B,C,D,E,F ABCD ADEF 5.(24-25高一下·贵州铜仁期末)如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 与四边形 均为等腰梯形， BCI1AD,EF1/ADAD=4,AB=BC=EF=2,ED=N万，FB=3,M为AD的中点. (I)证明：平面BMF/1平面CDE; (2)求平面ABF与平面CDE所成角的正弦值： (3)求点M到平面ABF的距离. A长- ----M 6.(24-25高一下新疆哈密·期末)已知正方 ABCD-AB,CD图， ABD /1 BCD (1)求证：平面 平面 BD-A-BD (2)求二面角 的大小的余弦值 D B ! C B 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 7.(24-25高一下·江西·期末)如图所示，四边形ABCD为菱形，DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD. (I)求证：平面MBF∥平面CDE, (2)若DB=2' ∠BCD=T 3,AF=1'求直线DF与BC所成角的余弦值。 E D B ABCD-ABC D 8.(24-25高一下·陕西汉中·期末)由正方体 截去三棱锥 C-BCD 后得到的几何体如图所示，O 为AC与BD的交点 AOII BCD (1)求证： 平面 ； ABD/1 BCD (2)求证：平面 平面 D :9D B 9 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 考点三 线面垂直的判定 1.(25-26高三上陕西汉中·开学考试)如图，已知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE=2,CE∥BD, BD⊥平面ABC,点F为AD的中点. (I)证明：EF⊥平面ABD: (2)求直线AC与平面ADE夹角的正弦值. D 2.(25-26高三上·福建·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD, Q为棱PD的中点，PA⊥AD,PA=AB=2. (I)求证：PA⊥平面ABCD: ACO ABCD (2)求平面 与平面 夹角的余弦值； 10立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 立体几何：线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定专项训练 考点目录 线面平行的判定 面面平行的判定 线面垂直的判定 面面垂直的判定 考点一 线面平行的判定 1．（25-26高三上·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． (1)若点为线段的中点，证明：//平面； (2)若点为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，.如图： 因为为中点，所以且. 又且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）取中点，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以且. 由，，，所以四边形为正方形， 所以，. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，. 以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以平面， 因为平面，所以. 由，，可得. 由余弦定理，, 所以. 所以，，. 所以，. 设， . 底面的一个法向量为. 设直线与底面所成的角为， 则. 当时，； 当时，. 所以当时，取得最大值. 此时，. 所以到平面的距离为， 又， 所以此时三棱锥的体积为. 2．（24-25高二上·河北廊坊·阶段练习）在直三棱柱中，，，，是的重心，点在线段（不包括两个端点）上. (1)若为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)或1 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又，则， ，故为的中点，故， 是的重心，故， 所以，其中 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 因为， 所以，又平面，所以平面； （2）设，则， 所以，其中， 设平面的法向量为， ， 取，则，，故， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 化简得，解得或1，均满足要求. 故或1 3．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    4．（25-26高三上·重庆·阶段练习）如图，在边长为3的正方形中，分别在边上，，将沿翻折，使得点与点重合，且平面平面，    (1)证明：平面且. (2)求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以平面. 取的中点，连接. 因为，所以，则，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面，所以. 因为，所以， 所以， 所以. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则    所以. 设平面的法向量为，则， 即令，得. 设平面的法向量为，则， 即令，得. 由，得， 所以平面与平面的夹角为. 5．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）如图，直三棱柱中，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面.    （2）因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为.    6．（25-26高三上·江苏·开学考试）在四棱锥中，已知，是线段上的点. (1)是否存在点使得与平面平行？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由. (2)若为的中点，求二面角的正弦值. 【答案】(1)存在，为的中点 (2). 【详解】（1）当为的中点时，平面， 证明如下：取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 则为的中位线，则，且， 因为，，所以且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面，此时为的中点. （2）取的中点，连接交于点，连接， 由，可得四边形为菱形，则有， 由可得，. 又因为，所以. 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面 平面. 因为为的中点，所以，平面平面， 所以平面，因为，，所以. 以为坐标原点，为基底建立空间直角坐标系. ， . 设为平面的法向量， 即 令，得， 设为平面的法向量， 即 令，得， ∴平面的法向量为， 可得. 设二面角的平面角为， 则，可得. 综上，二面角的正弦值为. 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）如图，在正三棱柱中，，是的中点.    (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）    证明：连接并与交于点，连接. 在正三棱柱中，四边形为矩形， 则是的中点. 因为是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）由（1）可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以. 因为是的中点，所以. 因为，所以平面. 由，可得. 连接，则. 设点到平面的距离为， 则. 由，得， 解得，即点到平面的距离为. 8．（25-26高三上·云南楚雄·阶段练习）在菱形中，为线段的中点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面为线段的中点（如图2），连接. (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，取线段的中点，连接， 因为在中，分别是线段的中点， 所以. 因为为线段的中点，菱形中，， 所以， 所以， 则四边形为平行四边形，所以. 又因为平面平面， 所以平面. （2）在菱形中，因为为线段的中点， 所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，所以是三棱锥的高. 而，则，， 则， 所以三棱锥的体积， 所以. 考点二 面面平行的判定 1．（25-26高二上·山东潍坊·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，．    (1)已知是的中点，求证：平面平面 (2)求证：平面； (3)当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)存在，. 【详解】（1）因为是的中点，是的中点，所以为的中位线，即， 又平面，平面，所以平面， 又，是的中点，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面平面； （2）由（1）得，四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形， 所以， 又，是的中点，平面，所以， 又侧面底面，侧面与底面相交于， 所以底面， 又平面，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面； （3）当时，可得，，是的中点，则，， 在直角三角形中，根据勾股定理，可得， 为等腰直角三角形，其面积， 所以， 设三棱锥的高为，三棱锥的高为， 则，又， 所以， 又点在棱上，所以. 所以，在棱上存在点，使得三棱锥的体积为，此时，的值为. 2．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为线段的中点 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）如图，在圆锥中，是底面的直径，且，该圆锥的侧面积为.已知点是母线的中点，点，在底面圆周上，且的长为，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由圆锥的底面周长为，可得侧面积为，解得. 在中，根据中位线性质可得，所以平面， 由于，底面圆半径是1，所以， 又，所以，而， 所以为等边三角形，. 于是且，所以四边形是平行四边形，可得， 所以平面，又，，平面， 所以平面平面. （2）易知.如图，以为坐标原点，在平面中， 过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 设平面的法向量， 则，令，则； 设平面的法向量， 则，令，则. 结合（1）可知，也是平面的法向量， 从而， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 4．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 5．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为且为的中点，所以, 因为，所以四边形BCDM是平行四边形，则, 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE, 同理可得平面CDE， 又因为,平面BMF，所以平面平面. （2）由（1）知平面与平面所成角即为平面与平面BMF所成角，过点A作交BF于点G，连接MG， 易知，所以，则或其补角即为平面与平面BMF所成角的平面角， 在中由余弦定理得， 则, 因为，解得， 在中，由余弦定理得, 所以平面与平面所成角的正弦值为. （3）取AM的中点为H，连接BH、FH， 因为△AFM为等腰三角形、△ABM为等边三角形，所以， 所以,， 因为，所以，， 因为，，，平面ABM， 所以平面ABM， 设点到平面的距离为h， ， 所以点到平面的距离为. 6．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正方体图， (1)求证：平面平面． (2)求二面角的大小的余弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在正方体中，,， 则四边形是平行四边形，于是，又平面，平面 因此平面，同理平面，而平面， 所以平面平面. （2）取中点，连接，则， 于是是二面角的平面角，令正方体的棱长为， 则，， 由平面平面，得二面角的大小等于， 所以二面角的大小的余弦值为. 7．（24-25高一下·江西·期末）如图所示，四边形为菱形，平面，平面. (1)求证：平面平面； (2)若，，，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意平面，平面，则， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形为菱形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面. （2）连接，由四边形为菱形，所以， 所以得就是直线与所成角，由，，， 则得， 又因为平面，平面，所以， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 8．（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 考点三 线面垂直的判定 1．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. （2）由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 2．（25-26高三上·福建·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，Q为棱PD的中点，，． (1)求证: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面． （2）因为底面为正方形，由（1）知平面， 所以，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系， 因为，Q为棱PD的中点， 所以， 可得，. 因为平面， 所以为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，则， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面夹角的余弦值为． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在四棱锥中，．平面．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理可得 ， 所以，所以，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面； （2）取的中点为，连接，又因为，所以， 又因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，所以平面，又平面，所以， 故以所在直线为轴，过作平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 4．（25-26高二上·福建三明·阶段练习）已知点P是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点O，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点D到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）由题意，得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，解得， 故点到平面的距离为. 5．（25-26高三上·天津红桥·开学考试）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 6．（25-26高三上·重庆·开学考试） 如图在四棱锥中，，，且底面为直角梯形，平面，分别为线段上靠近点的三等分点.    (1)证明: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为直角梯形，，，， 则，则 ，即， 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因分别为线段上靠近点的三等分点，则， 则平面； （2）以为原点，为基底建立空间直角坐标系，    则， 则，由，可设， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，则， 由题意可知平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 7．（25-26高二上·云南·阶段练习）如图1，在梯形中，，，将沿翻折到如图2，使平面平面. (1)求证：平面； (2)已知点为棱上的点，若直线与平面所成的角的正弦值为.求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 所以，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2）连接，由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 所以，得， 在中，， 因为平面，平面，所以，即是直角三角形， . 8．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. （2）由平面，得，故  ， 设  ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 考点四 面面垂直的判定 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点． (1)证明：平面平面． (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）如图，设，取的中点，连接． 因为，所以． 又，，，所以四边形为正方形， 所以，．因为， 所以．又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面．因为平面， 所以平面平面． （2）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，平面， 所以，，由（1）， 所以，，两两垂直，以为原点，，，的方向分别为 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设， 则，，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则取，得． 因为，，，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则， 即二面角 的余弦值为． 2．（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）如图，三棱柱的所有棱长均为2，点D，E，F分别为AC，，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面BDE所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，取的中点G，连接FG，，DG，， 由中位线性质可得，，所以， 因为平面，平面， 所以平面，易得，， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）由点D为AC的中点，且是边长为2的正三角形， 可得，且，由，，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理得， 所以，故， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3）由（2）知直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得，， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 3．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段练习）如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且.    (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)设的中点为，在平面内取点，使得直线平面，问点是否在内？ 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)点不在内 【详解】（1）取的中点，连结，，因为，所以， 在中，，所以， 在中，， 在中， ，，，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）连结，，， ，所以， 且，由（1）可知平面， 又因为平面， 所以，，所以两两垂直， 如图，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为，则，     取，得，则， 所以点到平面的距离. （3）设，由在平面内可知， 即， 所以，即，所以， 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即，解得，故， 而，可知点不在内. 4．（25-26高三上·上海·开学考试）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 5．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点（不含端点），，，.    (1)求证：平面平面； (2)若二面角大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：，，为的中点， 四边形为平行四边形，， 又，，即， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 平面，平面平面； （2）解：，为的中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    易知平面的法向量为， 又，，，，， 设，， ，又， 设平面的法向量为，则，即. 令，得， 二面角为，，解， 即，. 6．（25-26高三上·江西·阶段练习）如图，四棱锥中，为等边三角形，，为上一点，且平面.    (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连，由，所以为等腰梯形， 由余弦定理有：， 又，解得，， 所以，所以，又平面， 所以平面， 又平面平面平面； （2）由（1）知平面平面平面，以为原点，以分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.    设. 则， 过作交于点，连，则，在平面四边形中， 平面面，面面， ，平面四边形为平行四边形， 为中点.， ， 设平面的法向量为， 则有，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 7．（25-26高三上·重庆·阶段练习）如图，在平行四边形中，，沿其对角线将折起至，使所在平面与平面垂直. (1)证明: 平面平面; (2)若为上一点，且平面,，求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 由平行四边形，得，则平面，又平面， 所以平面平面． （2）由平面，得到平面的距离等于点到平面的距离， 连接交于点，连接，如图， 由平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，由，得， 在Rt中，，则，且，为等边三角形， 因此，而平面，则平面， 的长即为点到平面的距离，而， 所以到平面的距离为. 8．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）如图所示，在六棱锥中，平面，六边形是边长为3的正六边形，，是上靠近点的三等分点 (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 在正六边形中，因， 则，即. 又平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）由（1）可知，两两垂直，故可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为是上靠近的三等分点，， 所以，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，. 所以，， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $