4.1 整式（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 4.1 整式（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 单项式 1. 单项式的概念 单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。 【注意】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 【注意】 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 题型1单项式的判断 例1．下列哪个是单项式？（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】．在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】．在式子，，，a，0，，0.95，中，单项式的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1-3】．下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 题型2单项式的系数、次数 例2．单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，4 C．，1 D．2，4 【变式2-1】．下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【变式2-2】．关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 【变式2-3】．请写出一个含有两个字母、系数为的二次单项式 ．． 题型3与单项式有关的开放性问题 例3．写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【变式3-1】．一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 【变式3-2】．若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【变式3-3】．符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 知识点2 多项式 1. 多项式的有关概念 多项式：几个单项式的和。 【注意】“几个”是指两个或两个以上． 2.项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式 3.多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式） 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 题型4 多项式的判断 例4．下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】．下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 【变式4-3】．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 题型5 多项式的项、项数、次数 例5．已知多项式的次数是a，三次项的系数是b，常数项是c，则的值为 【变式5-1】．多项式是 次 项式． 【变式5-2】．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： ． 【变式5-3】．已知多项式，是该多项式的次数，是二次项的系数，求的相反数． 题型6 多项式的升降幂排列 例6．把多项式按的升幂排列． 【变式6-1】．把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【变式6-2】．将多项式先按的升幂排列，再按的降幂排列． 【变式6-3】．已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 知识点3 整式 整式：单项式与多项式统称为整式。 【注意】①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式） 题型7 整式的判断 例7．在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【变式7-1】．把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【变式7-2】．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【变式7-3】．把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 题型8整式的整体代入求值 例8．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 【变式8-1】．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【变式8-2】．数学思想·整体思想  阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解：因为，所以．所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【变式8-3】．已知代数式，请按照下列要求分别求值： (1)当，时，求代数式的值； (2)当，时，求代数式的值． 题型9利用单项式的特征求参数 例9．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【变式9-1】．观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【变式9-2】．系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【变式9-3】．请你写出一个含有字母a，b的单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ． 题型10由多项式的系数、次数求字母的值 例10．若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【变式10-1】．多项式是关于的二次二项式，则的值为 ． 【变式10-2】．已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【变式10-3】．已知关于的多项式是不含项的三项式，若，则该多项式的值为 ． 题型11整式中数字类规律探究 例11．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为，则① ；②第行第列的数为 （用表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 3 … 第2行 … 第3行 … … … … … … … 【变式11-1】．有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【变式11-2】．观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【变式11-3】．一组按规律排列的数： 第 （为正 整数）个数是    ． 题型12整式中图形类规律探究 例12．如图是用围棋棋子摆成的“T”字图案，按这样的规律摆下去，那么摆成第n个“T”字图案所需棋子数为 ．（用含n的代数式表示） 【变式12-1】．如图是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第101个图案中白色瓷砖的块数是 块． 【变式12-2】．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，按照这样的规律摆下去，第个图形需要的石子数为 ． 【变式12-3】．如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 例13．综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【变式13-1】．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 【变式13-2】．相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外． [问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数． [问题探究] 探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1． 探究二：当n＝2时，如图①． 探究三：当n＝3时，如图②． (1)探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝ （直接写出结果）． … (2)[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次（用含a的代数式表示）． (3)[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．） (4)[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次． (5)[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动 次． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 2．按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 3．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 4．关于整式的概念，下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．的次数是3 5．我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 6．当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 7．和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 8．对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．单项式的系数是 ． 11．整式按升幂排列的结果是 ． 12．观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 13．计算： ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为________； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，直接写出结果：______． 16．根据多项式的有关概念填写下列表格． 多项式 次数最高的项 次数最高项的系数 次数 几次几项式 17．观察下列各式： …………① …………② …………③ …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： ； (2)试写出第n个等式： ； (3)计算． 18．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 19．（1）活动一： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______ A． B． C． D． ②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______． （2）活动二： ①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上，两点之间的距离为点在的左侧，且折痕与折痕相同，且，两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． （3）活动三：一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点，且点与点两点之间的距离为，求点表示的数． 20．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． B 抓核心 四大题型提升练 C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 A 夯基础 八大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 4.1 整式（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 单项式 1. 单项式的概念 单项式：数或字母的积。（单独的一个数或一个字母也是单项式）。例：5x；100；x；10ab等 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字叫做单项式的系数。例：的系数为。 【注意】（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。例： 的次数为3次。 【注意】 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 题型1单项式的判断 例1．下列哪个是单项式？（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）．A和C是多项式，D分母中含有未知数，只有B符合单项式定义． 故选：B． 【变式1-1】．在整式中，单项式的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的定义，根据单项式的定义：数字与字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单项式为，， ∴单项式的个数是2个， 故选：C． 【变式1-2】．在式子，，，a，0，，0.95，中，单项式的个数有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查单项式的识别，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，进而判断得出答案． 【详解】解：由题意得：式子，，，a，0，0.95是单项式，共6个， 故选：B． 【变式1-3】．下列代数式中不是单项式的是（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的识别，解题的关键是掌握单项式的定义． 利用单项式的定义逐项进行判断即可，即单项式是数与字母或字母与字母的积，单个的数与单个的字母也是单项式． 【详解】解：A.该选项是单项式，不符合题意； B. 该选项不是单项式，符合题意； C. 该选项是单项式，不符合题意； D. 该选项是单项式，不符合题意； 故选：B． 题型2单项式的系数、次数 例2．单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，4 C．，1 D．2，4 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，单项式的数字因数是单项式系数，次数是单项式中所有字母指数和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：B 【变式2-1】．下列说法正确的是（　） A．是单项式 B．的系数是 C．是次单项式 D．的系数是 【答案】A 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：、是单项式，原说法正确，符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 、是次单项式，原说法错误，不符合题意； 、的系数是，原说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式2-2】．关于单项式，下列说法中正确的是（   ） A．它的次数是2 B．它的系数是2 C．它的系数是 D．它的次数是4 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：∵单项式的次数是，系数是， ∴A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【变式2-3】．请写出一个含有两个字母、系数为的二次单项式 ．． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式，先确定单项式的系数为，再选择两个字母，最后使得所有字母的指数和为即可构造符合条件的二次单项式． 【详解】含有两个字母、系数为的二次单项式为． 故答案为：（答案不唯一） 题型3与单项式有关的开放性问题 例3．写出系数为，含有字母，的三次单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式： 故答案为：（答案不唯一） 【变式3-1】．一个单项式满足下列两个条件：（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是．请你写出符合上述条件的一个单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数和系数，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，熟记概念是解题的关键． 根据单项式系数，次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵（1）含有两个字母；（2）次数是3，系数是， ∴满足条件的单项式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】．若（，为非负整数）是含有字母和的五次单项式，请写出符合条件的所有单项式． 【答案】，，， 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】根据单项式的次数为五，可得到，再分别写出符合要求的单项式即可． 【详解】是含有字母和的五次单项式， ，，， ，或，或，或，， 符合条件的单项式有：，，，． 【点睛】本题考查了单项式的次数概念，熟练掌握单项式的相关概念是解答本题的关键． 【变式3-3】．符合下列条件的单项式有几个? 请你一一写出来. ①系数为；②所含字母为m，n；③次数为5. 【答案】m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式的系数、次数 【分析】根据题意结合单项式的次数、系数定义得出符合题意的答案． 【详解】由题意可得：符合条件的单项式有：m4n，m3n2，m2n3，mn4． 【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的确定方法是解题关键． 知识点2 多项式 1. 多项式的有关概念 多项式：几个单项式的和。 【注意】“几个”是指两个或两个以上． 2.项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式。 常数项：不含字母的项。 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式 3.多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式） 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 题型4 多项式的判断 例4．下列代数式中，是多项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的识别，解题的关键是掌握多项式的定义． 根据多项式的定义逐项进行判断即可，即几个单项式的和叫作多项式． 【详解】解：A、该选项为单项式，不符合题意； B、该选项为单项式，不符合题意； C、 该选项为多项式，符合题意； D、该选项为单项式，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】．下列各式：，，，，，中多项式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的判断，熟练掌握多项式的识别是解题的关键．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．根据多项式的定义判断即可． 【详解】解：，是单项式，代数式分母中还有字母，不是整式，不是多项式， 多项式有：，，，共3个． 故选：B． 【变式4-2】．在下列各式： ， 中，是单项式的有 ，是多项式的有 【答案】 ， 【分析】本题考查多项式和单项式的定义，解题的关键是熟悉多项式和单项式的定义．单项式的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．多项式的定义：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，再结合题目即可得出答案． 【详解】解：根据单项式与多项式的定义可知： 单项式有： ，， 多项式有：， 的分母含字母，既不是单项式也不是多项式， 故答案为：，；． 【变式4-3】．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填图如下： 题型5 多项式的项、项数、次数 例5．已知多项式的次数是a，三次项的系数是b，常数项是c，则的值为 【答案】9 【分析】本题考查了多项式的相关概念，代数式的值，根据几个单项式的和（或者差），叫做多项式；多项式中的每个单项式叫做多项式的项；这些单项式中的最高次项的次数，就是这个多项式的次数；其中多项式中不含字母的项叫做常数项，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：多项式的次数是（次），三次项为，其系数是，常数项， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】．多项式是 次 项式． 【答案】 三 四 【分析】此题考查的是多项式的定义，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式是三次四项式， 故答案为：三，四． 【变式5-2】．下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数： ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数和项的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：是单项式，系数为，次数为； 是单项式，系数为，次数为； 是多项式，项分别是，次数为2； 是单项式，系数为1，次数为1； 是多项式，项分别是，次数为4； 是单项式，系数为32，次数为3； 是多项式，项分别是，次数为1． 【变式5-3】．已知多项式，是该多项式的次数，是二次项的系数，求的相反数． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多项式的次数和对应项的系数，代数式求值，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，所有字母的指数之和为2的项叫做二次项，据此求出m、n的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是该多项式的次数，是二次项的系数， ∴，， ∴， ∴的相反数是8． 题型6 多项式的升降幂排列 例6．把多项式按的升幂排列． 【答案】 【分析】此题考查将多项式按照某个字母升幂或降幂排列，按照字母r的最低次幂到最高次幂排列即可，注意项的符号不要改变 【详解】解：按的升幂排列为：． 【变式6-1】．把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 【变式6-2】．将多项式先按的升幂排列，再按的降幂排列． 【答案】按的升幂排列为：； 按的降幂排列为： 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． （1）按照的指数从小到大排列即可； （2）按照的指数从大到小排列即可； 【详解】解：按的升幂排列为：； 按的降幂排列为：． 【变式6-3】．已知多项式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，按字母次数排列多项式等等，熟知多项式的次数的定义是解题的关键． （1）多项式中次数最高的项为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列多项式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 知识点3 整式 整式：单项式与多项式统称为整式。 【注意】①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算； ③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式） 题型7 整式的判断 例7．在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，， 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称；根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：单项式：，，   故答案为：，； （2）解：多项式：，，， 故答案为：，，； （3）解：整式：，，，，， 故答案为：，，，，． 【变式7-1】．把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． 【变式7-2】．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？将它们进行分类． ，，，，，，，m． 【答案】见解析 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式以及单项式的相关概念．单项式和多项式统称为整式，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式；几个单项式的和（或者差），叫做多项式．据此即可求解； 【详解】解：单项式：，，，m； 多项式：，，； 整式：，，，，，，m． 【变式7-3】．把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，． 写出其中的单项式、多项式和整式． 【答案】见解析 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】根据单项式，整式和多项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有，，，5，； 多项式有，，； 整式有，，，，，，5，． 【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式． 题型8整式的整体代入求值 例8．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则_____； (2)若代数式的值为12，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)2002 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入方法． （1）将整体代入求解即可； （2）根据题意得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴． 【变式8-1】．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 【变式8-2】．数学思想·整体思想  阅读理解，并解决问题：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例：当代数式的值为7时，求代数式的值． 解：因为，所以．所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了合并同类项、求代数式的值，熟练掌握运算法则，运用整体代入的思想进行计算是解此题的关键． （1）把看做整体，合并同类项即可； （2）把看做整体，从中提出一个，再代入即可求解； （3）因为，所以，再从中因式分解提出，再两次代入计算即可求解． 【详解】（1） （2）（2）因为， 所以； （3）（3）因为， 所以， 所以 ． 故答案为：2072 【变式8-3】．已知代数式，请按照下列要求分别求值： (1)当，时，求代数式的值； (2)当，时，求代数式的值． 【答案】(1)22 (2)0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握“整体代入法”是解题关键． （1）将，代入求值即可； （2）将整理，可得，然后将代入原式，再利用整体代入法计算求值即可获得答案． 【详解】（1）解：当，时， 原式 ； （2）解：将整理，可得， 则当时， 原式 ． 题型9利用单项式的特征求参数 例9．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【知识点】写出满足某些特征的单项式、单项式规律题 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 【变式9-1】．观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【知识点】单项式的系数、次数、写出满足某些特征的单项式、单项式规律题 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【变式9-2】．系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【知识点】单项式的系数、次数、写出满足某些特征的单项式 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【详解】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 【变式9-3】．请你写出一个含有字母a，b的单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是 ． 【答案】(答案不唯一，也可以是) 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键． 根据单项式次数的定义解答即可． 【详解】解：一个只含有字母a、b的单项式，使它的系数为5、次数为3的单项式为：； 故答案为：(答案不唯一，也可以是)． 题型10由多项式的系数、次数求字母的值 例10．若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【答案】 3 2 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 【变式10-1】．多项式是关于的二次二项式，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键．根据二次二项式的定义得到求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式， ∴由题意得， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】．已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式和代数式求值，能理解多项式的系数、次数、项的概念是解题的关键．根据多项式的有关定义求出a、b的值，然后代入即可求出答案． 【详解】解：多项式是五次三项式， ， 解得， 又该多项式二次项为， ∴二次项的系数为，则， ， 故答案为：10． 【变式10-3】．已知关于的多项式是不含项的三项式，若，则该多项式的值为 ． 【答案】47 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的项的定义与代数式求值，解题的关键是根据多项式不含项求出的值． 利用“不含项”的条件，令项的系数为0，求解，将和代入化简后的多项式，计算其值． 【详解】解：由题意得： ， ， 当时， 原式 ． 故答案为：47． 题型11整式中数字类规律探究 例11．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为，则① ；②第行第列的数为 （用表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 3 … 第2行 … 第3行 … … … … … … … 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题为规律探究题，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律是解决问题的关键．由题意可得到每一行的倍数比行数少1，后面加列数即可． 【详解】解：根据以上分析， 故第4行第2列的数可表示为，则，解得； 第行第列的数为． 故答案为：10；． 【变式11-1】．有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 【变式11-2】．观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【答案】 或 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．观察分数的规律时：第n个的分子是n，分母是分子加1的平方减去1，即 或． 【详解】解：∵ ； ； … 则根据分子和分母的规律可知第n个数为 或． 【变式11-3】．一组按规律排列的数： 第 （为正 整数）个数是    ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题是对数字变化规律的考查，分别根据正负，分子分母的规律得出第个数的规律，即可求解． 【详解】解：观察数字规律，是一负，一正，一负，一正，所以用表示符合； 再观察分母是，，，，是奇数，所以用表示奇数； 最后观察分子是，，，，，后一个是前一个的倍，用表示第个， 所以第个数是． 故答案为：． 题型12整式中图形类规律探究 例12．如图是用围棋棋子摆成的“T”字图案，按这样的规律摆下去，那么摆成第n个“T”字图案所需棋子数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形的变化，解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．观察所给图案，列式表达出每个图案需要的围棋棋子个数，找出规律即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要围棋棋子的个数为个； 第二个图案需要的围棋棋子个数为个； 第三个图案需要的围棋棋子个数为个； … 第n个图案需要的围棋棋子个数为： 个， 故答案为：． 【变式12-1】．如图是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第101个图案中白色瓷砖的块数是 块． 【答案】305 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形规律，结合图形根据已有的特殊数据找到一般规律，再利用一般规律解决问题成为解题的关键． 由图形可知：第1个图案中白色瓷砖是5个，第2个图案中白色瓷砖是8个，第3个图案中白色瓷砖是11个，…，依此类推，发现后一个图案中的白色瓷砖总比前一个多3个，由此得出第n个图案中白色瓷砖块数是，最后将101代入计算即可． 【详解】解：∵第1个图案中白色瓷砖是个， 第2个图案中白色瓷砖有块， 第3个图案中白色瓷砖有块， … ∴第n个图案中白色瓷砖有块． 第101个图案中白色瓷砖块数是． 故答案为：305． 【变式12-2】．如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，按照这样的规律摆下去，第个图形需要的石子数为 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】根据图形的变化分别写出前四个图形中小石子的个数，然后得出一般式即可． 【详解】解：观察图形的变化，可知 第1个图案要用的石子数为； 第2个图案要用的石子数为； 第3个图案要用的石子数为； 第4个图案要用的石子数为； … 第n个（n为正整数）图案要用的石子数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据前四个图形的变化寻找规律． 【变式12-3】．如图，将形状大小完全相同的梅花按以下规律进行摆放，其中第1个图形中有5朵梅花，第2个图形中有8朵梅花，第3个图形中有13朵梅花，第4个图形中有20朵梅花……依此规律，第n个图形中含有的梅花朵数是 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题意可得第1个图形中有朵梅花，第2个图形中有朵梅花，第3个图形中有朵梅花，第4个图形中有朵梅花，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由图可知，第1个图形中含有的梅花朵数是， 第2个图形中含有的梅花朵数是， 第3个图形中含有的梅花朵数是， 第4个图形中含有的梅花朵数是， 归纳类推得：第个图形中含有的梅花朵数是，（其中为正整数） 故答案为：． 例13．综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），证明见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． 【详解】（1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式13-1】．综合与实践 素材1：如右图是一款单肩包的背带，背带由双层部分、单层部分、调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2：对该单肩包背带的单层部分长度和双层部分的长度进行测量，得到下表中数据： 单层部分的长度 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 75 74 73 72 a … 0 素材3：根据小明同学的身高，背带的总长度为时，背起来最舒适，此时单层部分的长度为，周末小明妈妈已经帮小明调到最舒适的长度，可小明出门时还是习惯性把调节扣调整了五次，下表是五次调节的情况（调节扣向单层方向移动记为正，向双层方向移动记为负，单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 请根据上述素材，解答以下问题： (1)素材2的表格中________． (2)在小明的五次调节中哪一次最接近舒适长度？此时背带总长度是多少？ (3)小明每次滑动调节扣之后都要一次性把双层部分拉直，求这五次调节过程中经过悬挂点的背带共多长？ 【答案】(1)71 (2)第三次调节最舒服，此时总长为 (3) 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、数字类规律探索 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，数字类规律探究： （1）根据表格得到单层长度每增加2米，双层长度减少1米，进行求解即可； （2）求出每一次调整后的长度，进行判断即可； （3）根据拉直时，经过悬挂点的背带的长度为调整长度的，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，单层长度每增加2，双层长度减少1， ∴； 故答案为：； （2）背带的总长度为时，双层长度为：， 第一次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第二次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第三次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第四次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 第五次调整，单层的长度变为，双层长度变为，总长为； 故第三次调节最舒服，此时总长为； （3）． 答：这五次调节过程中经过悬挂点的背带共． 【变式13-2】．相传古印度一座梵塔圣殿中铸有一片巨大的黄铜板，之上树立了3根宝石柱，其中一根宝石柱上插有中心有孔的64个大小两两相异的1寸厚的金盘，小金盘压着较大的金盘．如图，把这些金盘全部一个一个地从1柱移动到3柱上去，移动过程中不允许大金盘压小金盘，不得把金盘放到柱子之外． [问题提出]如果将这64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动多少次？设h（n）是把n个金盘从1柱移动到3柱过程中的最少移动次数． [问题探究] 探究一：当n＝1时，显然h（1）＝1． 探究二：当n＝2时，如图①． 探究三：当n＝3时，如图②． (1)探究四：当n＝4时，先用h（3）的方法把较小的3个金盘移动到2柱，再将最大金盘移动到3柱，最后再用h（3）的方法把较小的3个金盘从2柱移动到3柱，完成，即h（4）＝ （直接写出结果）． … (2)[初级模型]若将x个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动a次；将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次（用含a的代数式表示）． (3)[自主探究]仿照“问题探究”中的方法，将6个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，至少需要多少次？（写出必要的计算过程．） (4)[最终模型]综合收集到的数据探索规律可知：将64个金盘按上述要求全部从1柱移动到3柱，至少需要移动 次． (5)[问题变式]若在原来条件的基础上，再添加1个条件：每次只能将金盘向相邻的柱子移动（即：2柱的金盘可以移动到1柱或3柱，但1柱或3柱的金盘只能移动到2柱），则移动完64个金盘至少需要移动 次． 【答案】(1)15 (2)（2a+1） (3)63 (4)（264﹣1） (5)（364﹣1） 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）根据前3次的探究可以得出探究4； （2）根据前4次的探究可以得到（x+1）个金盘移动的次数； （3）根据前面的探究得出规律，然后得出结论； （4）根据自主探究得出规律即可； （5）先把n=2时得出结论，再用相同的方法得出h（3），然后找出规律得出结论． 【详解】（1）先用h（3）的方法把较小的3个盘移到2柱（需移动7次）， 再将最大盘移到3柱（需移动1次）， 最后用h（3）的方法把较小的3个盘从2柱移到3柱（需移动7次）， 所以共需要7×2+1＝15次，即h(4)=15， 故答案为：15； （2）由探究二可知，若将1个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要1次， 则将2个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要1×2+1＝3次； 由探究三可知，若将2个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要3次， 则将3个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要3×2+1＝7次； 由探究四可知，若将3个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要7次， 则将4个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要7x2+1＝15次； 故若将x个金盘按要求全部从1柱移动到2柱，至少需要a次， 则将（x+1）个金盘按要求全部从1柱移动到3柱，则至少需要（2a+1）次， 故答案为：（2a+1）； （3）h（4）＝15， h（5）＝2h（4）＝2×15+1＝31， h（6）＝2h（5）+1＝63， ∴至少需要63次； （4）h（1）＝1， h（2）＝3＝22﹣1， h（3）＝7＝23﹣1， h（4）＝15＝24﹣1， .....． h（64）＝264﹣1， 故答案为：264﹣1； （5）每次只能将盘子向相邻的柱子移动， 故当n＝2时，小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次； 将大盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到1柱，需要1次， 将大盘移到3柱，需要1次，将小盘移到2柱，需要1次，再将小盘移到3柱，需要1次； 所以两个盘子需要了8次， 故h（2）＝8； 按照相同的思路可得：h（3）＝26； ∵h（2）＝8＝32﹣1， h（3）＝26＝33﹣1， ∴h（64）＝364﹣1． 故答案为：（364﹣1）． 【点睛】本题考查数字变化类、列代数式，关键是根据已知方法总结出移动的规律． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列结论中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【知识点】整式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了多项式和单项式，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的有关概念．A、选项均根据单项式的次数和系数的定义，进行判断即可；C．根据多项式的有关概念进行判断即可；D．根据整式、多项式和单项式的有关定义进行判断即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； B．单项式的次数是，系数是， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； C．多项式是三次三项式， 此选项的结论正确，故此选项符合题意； D．在中，整式有，，，，共个， 此选项的结论错误，故此选项不符合题意； 故选：． 2．按照一定规律排列的单项式：，，，，则第个单项式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查单项式中的规律探究，观察可知，单项式的系数规律为从1开始的连续的奇数，指数为从1开始连续的整数，进行求解即可． 【详解】解：单项式：，，，，，， 第个单项式为， 故选：B． 3．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查的是多项式的项与次数的含义，根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式是四次六项式，故本选项错误. B、多项式的最高次项是，故本选项错误. C、多项式的一次项是和，故本选项错误. D、多项式的二次项系数是，故本选项正确． 故选：D． 4．关于整式的概念，下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．的次数是3 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式和单项式的相关概念：单项式系数是指单项式中与字母相乘的数字因数，单项式次数是所有字母指数的和，多项式是几个单项式的和，多项式的次数是指次数最高项的次数，逐一判断即可解答. 【详解】解：A、是二次三项式，故A不符合题意； B、的系数是不是，故B符合题意； C、是四次单项式，故C不符合题意； D、的次数是3，故D不符合题意. 故选：B. 5．我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】此题考查了代数式求值，根据运算程序得出一般性规律是解题的关键．根据运算程序求出前几个输出结果，找出循环规律，再根据规律计算第次输出的结果． 【详解】解：第1次输出的数为：把代入，； 第2次输出的数为：把代入，； 第3次输出的数为：把代入，； 第4次输出的数为：把代入，； 第5次输出的数为：把代入，； 由此得，从第2次输出结果开始，以，循环， ， 第次输出的结果为， 故选：B． 6．当时，多项式的值为2024；则当时，多项式的值是（   ） A．2024 B． C．2032 D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式的判断 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入是解本题的关键．将代入已知式子求出的值，把代入所求代数式，将代入计算即可． 【详解】解：当时，多项式的值为2024； ∴， ， 当时， ． 故选：D 7．和分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，类似地，任意正整数m的三次幂均能按此规律进行“分裂”．若 “分裂”后，其中有一个奇数是1979，则m的值是（  ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律，观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数的是从3开始的第个数，即可得出答案， 观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键．还要熟练掌握求和公式． 【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数， ∴分裂成m个奇数， ∴从到的奇数的个数为：， ∵， ∴， ∴奇数是从开始的第个奇数， ∵， ∴第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个， ∴， 故选：B． 8．对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，根据题中所给“归位变换”的定义，依次对所给说法进行判断即可，理解题中所给“归位变换”的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由题知当时， ，，， ∴第一次“归位变换”后，得到的数字为， ∴，，， ∴第二次“归位变换”后，得到的数字为，故正确； 对于一个正整数，当时，且， ∴，，都是一位整数 ∴进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数，故正确； 当为四位正整数时，有以下五种情况 第一种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第二种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第三种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第四种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第五种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 所以对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值，且这个定值为，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数，根据单项式中数字因数是单项式的系数进行作答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为： 10．若单项式是关于的九次单项式，那么 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 11．整式按升幂排列的结果是 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题主要考查了多项式，多项式是几个单项式的和.先分清各项，按照a的升幂排列，就是把每一项按照a的指数从低到高排列，注意检查符号和是否漏项. 【详解】解：按升幂排列：. 故答案为. 12．观察下列单项式：，，，，，… 按此规律，第个单项式是 ，第个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字因数和字母的指数的变化特点，写出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数和字母的指数的变化特点，即可写出第n个单项式，从而可以写出第2025个单项式． 【详解】解：∵一列单项式：，，，，，… ∴第n个单项式为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：，． 13．计算： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了分数中的规律问题，熟练掌握拆项法找规律计算是解题的关键．先确定，分数的变化规律，后整理计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．指出下列各单项式的系数和次数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的系数是，次数是2 (2)的系数是，次数是4 (3)的系数是2，次数是1 (4)的系数是，次数是3 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此求解即可． 【详解】（1）解：的系数是，次数是； （2）解：的系数是，次数是； （3）解：的系数是2，次数是1； （4）解：的系数是，次数是． 15．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为________； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的式子表示）； (3)利用上述规律，直接写出结果：______． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，用代数式表示数、图形的规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出则，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第6个等式为 即 第10个等式为， 即． （2）解：根据（1）以及题干过程得出第n个等式：， （3）解：依题意， ∵ ∴ 同理可得 ， ……， ， ∴ ． 16．根据多项式的有关概念填写下列表格． 多项式 次数最高的项 次数最高项的系数 次数 几次几项式 【答案】见解析 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，各单项式的字母因数是每一项的系数，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据定义作答即可. 【详解】解：填表如下． 多项式 次数最高的项 次数最高项的系数 7 1 次数 1 4 3 几次几项式 一次二项式 四次二项式 三次四项式 17．观察下列各式： …………① …………② …………③ …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： ； (2)试写出第n个等式： ； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，善于思考总结规律是解题的关键． （1）观察题目中的规律可知第五个等式为； （2）根据得出规律写出第n个等式即可； （3）将原式变为，再根据化简即可解答． 【详解】（1）解：∵……………① ……………② ……………③ …… ∴第个等式是； 故答案为： （2）解：∵……………① ……………② ……………③ …… ∴第n个等式为：； 故答案为： （3）解： ． 18．花卉市场为了扩大花卉销售量，举行花卉展销活动，将花摆成下表中所示的各种图案，以吸引顾客，并把每盆花的单价标在图案下面（每种图案的花一次性出售）． 图案                … 每盆的价格（单位：元） 5 4.8 4.6 4.4 4.2 … 请你根据以上表中的规律，解答下列问题： (1)填表： 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 …… …… (2)第n种花每盆的价格是多少元？（用含n的代数式表示） (3)第18种花的总价是多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)元 (3)元 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用等知识，找到规律是解题的关键． （1）分别求出第1种到第5种图案需要的花卉的盆数，即可求解； （2）分别求出第1种到第5种图案中每盆花卉的价格，即可求解； （3）根据（1）（2）所求得到规律，即可求解． 【详解】（1） 解：第1种图案需要花卉的盆数为， 第2种图案需要花卉的盆数为， 第3种图案需要花卉的盆数为， 第4种图案需要花卉的盆数为， 第5种图案需要花卉的盆数为， …… 第8种图案需要花卉的盆数为， 第n种图案需要花卉的盆数为， 故填表如下∶ 图案 第1种 第2种 第3种 第4种 第5种 …… 第8种 …… 第n种 盆数 1 4 7 10 13 …… 22 …… （2）解：第1种每盆花卉的价格是5元 第2种每盆花卉的价格是（元） 第3种每盆花卉的价格是（元） 第4种每盆花卉的价格是（元） 第5种每盆花卉的价格是（元） …… 第n种每盆花卉的价格是元； （3）解：当时，需要花卉的盆数为，每盆花卉的价格元， ∴第18种花的总价是元． 19．（1）活动一： ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______ A． B． C． D． ②一机器人从原点开始，第次向左跳个单位，紧接着第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，第次向右跳个单位，，依此规律跳，当它跳次时，落在数轴上的点表示的数是______． （2）活动二： ①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； ②若数轴上，两点之间的距离为点在的左侧，且折痕与折痕相同，且，两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． （3）活动三：一条数轴上有点，，，其中点，表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点，且点与点两点之间的距离为，求点表示的数． 【答案】（1）①D；②；（2）①；②；；（3）或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数字类规律探索、数轴上的翻折 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠与平移，理解题意，灵活应用所学知识是解题的关键． （1） ①以原点为标准，向左移动为负数，向右移动为正数，即可得出答案；②根据前边几次跳动得出规律计算可得； （2） ①根据表示的点与表示的点重合，可得出翻折的点在1处，根据此规律即可求出答案；②根据折痕处的点为对折后重合两端点的中点，由中点到两端点的距离相等可计算求解； （3）由，分两种情况分别推出对应的数，再结合翻折点的规律即可求出答案． 【详解】（1）①根据移动过程可得：， 故答案为：D； ②如果向左为“”，向右为“”， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当机器人跳次时，落在数轴上的点表示的数是； 故答案为：； （2）①若折叠纸条，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， ， 表示的点与表示的点重合； 故答案为：； 数轴上、两点之间的距离为， A、两点到折痕处的距离都是， 点表示数为，点表示的数为； 故答案为：，； （3）当点在的左侧时， ，点表示的数为， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：； 当点在的右侧时， ，点表示的数为， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：； 综上所述：点表示的数或． 20．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 A 夯基础 八大题型提分练 B 抓核心 四大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $