有理数的乘方及混合运算 讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方及混合运算核心知识点，系统梳理乘方定义（n个相同因数积的运算）、符号法则（正数任次幂为正，负数奇次幂负偶次幂正等）、混合运算顺序（先乘方再乘除后加减等），作为有理数加减乘除运算的延伸，为后续代数学习搭建递进式基础支架。 资料特色在于融入二进制转换、拉面拉伸等实际案例，培养学生用数学眼光观察现实世界，分类型例题（概念辨析、符号规律等）提升运算能力与推理意识，综合训练兼顾课中教学与课后巩固，助力教师高效授课，学生精准查漏补缺，用数学语言解决实际问题。

有理数的乘方及混合运算讲义2025-2026学年 人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识点二：乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点三：有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数乘方的概念 【典型例题】 例1.表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【巩固训练】 1.比较与，下列说法正确的是（　　） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 C．它们底数相同，但指数不相同 D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同 2.式子表示(    ) A．乘 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 3.把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __． 类型二：有理数乘方运算的符号规律 【典型例题】 例2.当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【巩固训练】 1.若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 2.如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 3.如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 类型三：有理数乘方的运算 【典型例题】 例3.计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【巩固训练】 1.的相反数是（    ） A．－1 B．1 C．－2025 D．2025 2.下面各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 类型四：有理数的混合运算 【典型例题】 例4.计算： (1)(2) 【巩固训练】 1.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.计算所得结果是（  ） A． B． C． D． 3.计算： (1)；(2)； (3)；(4)； (5)． 类型五：乘方的实际应用 【典型例题】 例5.二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 【巩固训练】 1.一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 3.中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【综合训练】 1．代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 2．的相反数为（    ） A． B．3 C． D．9 3.下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______． 5．若是正数，则的值是______数填“正”或“负”． 6.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是______． 7．计算： (1)；(2)． (3)；(4)． 【答案】 有理数的乘方及混合运算讲义2025-2026学年 人教版七年级上册 【知识梳理】 知识点一：有理数的乘方 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 要点诠释： （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 知识点二：乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 要点诠释： (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 知识点三：有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释： (1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用． 【典型例题与巩固练习】 类型一：有理数乘方的概念 【典型例题】 例1.表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】A 【巩固训练】 1.比较与，下列说法正确的是（　　） A．它们的底数相同，指数也相同 B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同 C．它们底数相同，但指数不相同 D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同 【答案】D 2.式子表示(    ) A．乘 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】B 3.把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __． 【答案】 类型二：有理数乘方运算的符号规律 【典型例题】 例2.当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【巩固训练】 1.若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2.如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 3.如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【答案】D 类型三：有理数乘方的运算 【典型例题】 例3.计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【巩固训练】 1.的相反数是（    ） A．－1 B．1 C．－2025 D．2025 【答案】B 2.下面各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 类型四：有理数的混合运算 【典型例题】 例4.计算： (1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【巩固训练】 1.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.计算所得结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 3.计算： (1)；(2)； (3)；(4)； (5)． 【答案】(1)(2) (3)(4) (5) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 类型五：乘方的实际应用 【典型例题】 例5.二进制记数法是指只使用数字0，1，进行计数，计数的进位方法是“逢二进一”，如：二进制数1101记为11012，11012通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将二进制数110002转换为十进制数是（　　） A．48 B．24 C．64 D．66 【答案】B 【巩固训练】 1.一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 2.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成 根细面条． 【答案】64 3.中国的5G技术领先世界，技术中的数学原理之一是香农公式：，其中表示最大信息传送速率，为信道带宽，为信道内所传信号的平均功率，为信道内部的高斯噪声功率，叫作信噪比．已知某次信息传送的信道带宽为200，信噪比为15，则这次信息传送的最大速率是 ． 【答案】800 【综合训练】 1．代数式可以表示为（    ） A． B． C． D．n2 【答案】C 2．的相反数为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 3.下列各组数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 4．已知|m＋3|与(n－2)2互为相反数，那么mn等于_______． 【答案】9 5．若是正数，则的值是______数填“正”或“负”． 【答案】负 6.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是______． 【答案】466 7．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $