专题8 导数的概念及其运算 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题8：导数的概念及其运算 知识点一 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点二 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 考点一 导数的定义及应用 【例1】设函数在处存在导数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式1-1】已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【变式1-2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图知：，即.故选：A 考点二 求函数的导数 【例2】（多选题）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD【解析】对于A选项，，A错；对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错；对于D选项，，D对.故选：BD. 【变式2-1】已知函数的导函数为，且满足，则（ C ） A．1 B． C． D．4 【变式2-2】求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3) (4)； (5) (6)； (7)． (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 考点三 “在”曲线上一点的切线 【例3】曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以，所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C 【变式3-1】函数在处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为，则，又，则， 所以函数在处的切线方程为，即.故答案为： 【变式3-2】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为，所以 ，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即．故答案为：. 考点四 “过”曲线上一点的切线 【例4】若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为 . 【答案】或【解析】由题意，可设切点坐标为，由，得， 切线斜，由点斜式可得切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或. 故答案为：或 【变式4】过点与曲线相切的直线方程为 ． 【答案】【解析】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上，所以，即又，所以，令，，当时，，所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为.即切点坐标为，故所求切线方程为，即.故答案为： 考点五 根据切线求参数 【例5】若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________． 【答案】e2　【解析】、设切点A(x0，ex0)，由(ex)′＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，所以解得 【变式5-1】已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________． 设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有从而有bx0＋lnx0＝kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝＝. 【变式5-2】 若函数为奇函数，其图象的一条切线方程为，则b的值为 -3 ．   【答案】．【解析】因为f(x)是奇函数，所以a=0，f(x)＝x3+bx．设f(x)在点(x0，y0)处的切线为：，得，解得b＝－3 考点六 与切线有关的最值问题 【例6】曲线上的点到直线的距离的最小值为 【答案】 【解析】的定义域为，求导得，令，解得，则，故切点坐标为，故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离， 即为. 【变式6】若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为 【答案】【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时， 此时两点距离的最小值为点到直线的距离， 因为，所以，即得， ， 所以点到直线的距离为， 所以两点距离的最小值为． 1.曲线在处的切线方程为（       ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 【详解】解：因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．故选：B. 2.曲线在处的切线的倾斜角为，则（       ） A．- B． C．1 D．-1 【详解】由题意，函数，可得，则，即曲线在处的切线的斜率为，即，因为，所以，所以.故选：A. 3.已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　D　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 【解析】　(1)y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴ 切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵ 切线方程为y＝2x＋b，∴ 即a＝e－1，b＝－1.故选D. 4.已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（       ） A．0 B． C．3 D．或3 【详解】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或， 故选：D 5.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为， 由，则，令，解得或（舍去）， 故点P的坐标为，故点P到直线的最小值为：.故选：A. 6.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为________． 【答案】 　解法1 由题意，切点坐标为，因为y′＝－，所以切线l的斜率k＝－，故切线l的方程为y－＝－(x－1)，即l：mx＋4y－3m＝0，则点(2，－1)到直线l的距离d＝＝＝＝，又因为m>0，所以m＋≥2＝8(当且仅当m＝4时取等号)，则d≤，故点(2，－1)到直线l的距离的最大值为.解法2 由题意，切点坐标为，因为y′＝－，所以切线l的斜率k＝－，故切线l的方程为y－＝－(x－1)，则直线l：m(x－3)＋4y＝0恒过定点(3，0)，故当直线l与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l的距离的最大，且为. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题8：导数的概念及其运算 知识点一 导数的概念 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3、函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点二 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 一、求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 考点一 导数的定义及应用 【例1】设函数在处存在导数为，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 【变式1-2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D． 考点二 求函数的导数 【例2】（多选题）下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A．1 B． C． D．4 【变式2-2】求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3) (4)； (5) (6)； (7)． 考点三 “在”曲线上一点的切线 【例3】曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数在处的切线方程为 ． 【变式3-2】曲线在点处的切线方程为 ． 考点四 “过”曲线上一点的切线 【例4】若曲线的一条切线经过点，则此切线的斜率为 . 【变式4】过点与曲线相切的直线方程为 ． 考点五 根据切线求参数 【例5】若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________． 【变式5-1】已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为_______． 【变式5-2】 若函数为奇函数，其图象的一条切线方程为，则b的值为 ．    考点六 与切线有关的最值问题 【例6】曲线上的点到直线的距离的最小值为 【变式6】若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为 1.曲线在处的切线方程为（       ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 2.曲线在处的切线的倾斜角为，则（       ） A．- B． C．1 D．-1 3.已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　 　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 4.已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（       ） A．0 B． C．3 D．或3 5.若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ） A． B． C． D． 6.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为，则点(2，－1) 到直线的距离的最大值为_______． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $