专题7 函数的方程与零点（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题7：函数的方程与零点 知识点一 函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2、函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 知识点二 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0， 这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2、两个重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 知识点三 二分法的定义 1、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 一、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 二、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 三、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 考点一 函数零点所在区间问题 【例1】在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ） A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4） 【变式1】已知函数f(x)＝lnx－的零点为x0，则x0所在的区间是( ) A. (0，1)　　　　　 B. (1，2)　　　　　　 C. (2，3)　　　　 D. (3，4) 考点二 求函数的零点 【例2】函数的零点为（ ） A．2，3 B．2 C． D． 【变式2-1】函数的零点为 ． 【变式2-2】已知函数，则函数的零点为 . 考点三 函数零点个数的判断 【例3】函数的零点个数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】已知，方程的实根个数为 ． 考点四 已知零点个数求参数 【例4】（多选题）已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论正确的为（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．不等式的解集为 【变式4-1】已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是 ． 考点五 复合函数的零点问题 【例5】设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为 ． 【变式5】已知函数，则函数的零点个数为 . 1.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 2.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 3.已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　　　） A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 4.已知函数，若方程有三个不等的实数根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.函数的零点个数为___________. 6.若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________. 7.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则 8.设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为 ． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题7：函数的方程与零点 知识点一 函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． 2、函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标， 也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 知识点二 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0， 这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2、两个重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 知识点三 二分法的定义 1、二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点； 一、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正且在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 二、零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 三、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 考点一 函数零点所在区间问题 【例1】在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ） A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4） 【答案】A【解析】由连续函数在定义域上单调递减，，且，故函数的零点所在区间为.故选：A． 【变式1】已知函数f(x)＝lnx－的零点为x0，则x0所在的区间是( C ) A. (0，1)　　　　　 B. (1，2)　　　　　　 C. (2，3)　　　　 D. (3，4) 考点二 求函数的零点 【例2】函数的零点为（ ） A．2，3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由，得，即或，解得或， 所以函数的零点为2，3.故选：A 【变式2-1】函数的零点为 ． 【答案】4【解析】依题意有，所以.故答案为：4. 【变式2-2】已知函数，则函数的零点为 . 【答案】和2 【解析】令，得，当时，令，得；当时，， 因为都是增函数，所以在区间上单调递增，又，所以， 故函数的零点为和．故答案为：和． 考点三 函数零点个数的判断 【例3】函数的零点个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】由可得，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象的交点个数为，故函数的零点个数为.故选：C. 【变式3-1】已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数， 因为函数的定义域为， 所以当时，函数与的图象没有交点， 当时，， 所以当时，． 又函数的周期为2，所以． 当时，， 所以当时，函数与的图象没有交点， 作函数和函数在区间上的图象， 观察图象可得两函数图象有5个交点, 所以函数的零点个数为5.故选：C. 【变式3-2】已知，方程的实根个数为 ． 【答案】2 【解析】由，则，则令，， 分别作出它们的图象如下图所示， 由图可知，有两个交点， 所以方程的实根个数为2．故答案为：2． 考点四 已知零点个数求参数 【例4】（多选题）已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论正确的为（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．不等式的解集为 【详解】方程的争即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数的图象和直线，如图，由图可知：，，，A正确； 由于，∴，B错误；由得，∴，∴，C正确； 由，时，，，时，，， 综上，D正确．故选：ACD． 【变式4-1】已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知， 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A 【变式4-2】已知函数是定义在R上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数有6个零点，等价于曲线与直线有6个交点. 当时，，当时，，， 令，解得：；令，解得：，当时，递增，当时，递减，的极大值为：， 作出函数的图象如下图，    与的图象有6个交点，则， 故实数m的取值范围是.故答案为： 考点五 复合函数的零点问题 【例5】设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为 ． 【答案】． 【解析】函数的零点即为方程的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数的图象， 由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应．由方程组有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个，一个， 结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求， 综上，实数a的取值范围为．故答案为： 【变式5】已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】2【解析】先由函数画出草图如图，函数的零点为，令，得， 函数的零点个数就是方程解的个数，也就是函数的 图像与直线交点的个数，由图可知函数的图像与直线有两个不同的交点，， 的零点个数为2，故答案为：2 1.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 2.已知，，，则（       ） A． B． C． D． 【详解】设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知．；设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即.故选:A． 3.已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　　　） A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞） 【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图： 当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C． 4.已知函数，若方程有三个不等的实数根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】∵函数，方程有三个不等的实数根∴作出函数和图象，如图所示： 设，根据函数对称性可得.令，得，所以，则的取值范围为.故选：D. 5.函数的零点个数为___________. 【详解】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增，又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点.故答案为：2. 6.若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________. 【答案】：1【解析】令x＋log2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2).依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解.又2x＋2－(x＋2)≥2＝1.当且仅当x＝－1时，等号成立.∴a≥1，故a的最小值为1. 7.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则 解：定义在R上的奇函数，所以，，又，所以，8是函数的一个周期，所以，所以是函数的一条对称轴，函数的对称轴是，根据以上性质画出函数的大致图像: 有图像知，，所以，故答案为： 8.设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为 ． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $