专题5 指数运算与指数函数（知识梳理+满分技巧+考点突破+课后巩固）讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习 专题5：指数运算与指数函数 知识点一 根式与指数幂 1. 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：① ②当是奇数时， 当是偶数时， 2.正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg ，. ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 知识点二 指数函数及其性质 1、指数函数的概念 一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 性质 定点 过定点（0,1） 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于轴对称 3、指数函数的常用技巧 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 EG:函数的图象如图所示： 一、指数幂运算 指数幂运算的一般原则 （1） 有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算。 （2）负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数为负数先确定符号；底数为小数先化成分数；底数是带分数的先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，用幂的形式表示。 （5）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 二、指数函数的定义域和值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 三、利用指数函数的单调性解指数不等式的方法 1、解指数不等式时，若，则； 若，则. 如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化为同底的指数值，再利用指数函数的单调性转化为一般不等式求解； 2、解形如（为常数）的不等式，将常数转化为带有函数符号“”的函数值，然后根据函数的单调性脱去，将问题转化为具体的指数不等式求解。 考点一 指数幂的运算 【例1】计算： （1） . （2）; 【变式1】计算. 考点二 指数函数 【例2-1】下列函数中是指数函数的是________. ①；②；③；④；⑤；⑥. 【例2-2】函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【例2-3】若指数函数且在上的最大值为，则 . 【例2-4】已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【变式2-1】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______． 【变式2-3】函数的单调递增区间为________． 考点三 指数型复合函数的值域 【例3-1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】函数且的值域是，则实数 ____. 【变式3-1】已知函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数，，则函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若，使成立，求a的取值范围． 1.函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 2.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．24 3.已知函数，则（       ） A．是偶函数，且在是单调递增 B．是偶函数，且在是单调递减 C．是奇函数，且在是单调递增 D．是奇函数，且在是单调递减 4.（多选题）已知函数，则（    ） A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 5.已知函数，，则其值域为_______． 6.不等式的解集是_____________. 7.设函数，是定义域为R的奇函数 (1)确定的值 (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习 专题5：指数运算与指数函数 知识点一 根式与指数幂 1. 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 负数没有偶次方根；的任何次方根都是. 注意：① ②当是奇数时， 当是偶数时， 2.正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) Eg ，. ② 正数的正分数指数幂的意义： ③ 的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 知识点二 指数函数及其性质 1、指数函数的概念 一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 性质 定点 过定点（0,1） 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于轴对称 3、指数函数的常用技巧 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 EG:函数的图象如图所示： 一、指数幂运算 指数幂运算的一般原则 （1） 有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算。 （2）负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数为负数先确定符号；底数为小数先化成分数；底数是带分数的先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，用幂的形式表示。 （5）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 二、指数函数的定义域和值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 三、利用指数函数的单调性解指数不等式的方法 1、解指数不等式时，若，则； 若，则. 如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化为同底的指数值，再利用指数函数的单调性转化为一般不等式求解； 2、解形如（为常数）的不等式，将常数转化为带有函数符号“”的函数值，然后根据函数的单调性脱去，将问题转化为具体的指数不等式求解。 考点一 指数幂的运算 【例1】计算： （1） . （2）; 【解析】（1）＝ ＝ ＝ ＝ （2）原式= ===. 【变式1】计算. 【解析】 ； 考点二 指数函数 【例2-1】下列函数中是指数函数的是________. ①；②；③；④；⑤；⑥. 【答案】①④因为形如的函数为指数函数，所以函数符合指数函数的定义，是指数函数；符合指数函数的定义，是指数函数；其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数，故答案为：①④. 【例2-2】函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【例2-3】若指数函数且在上的最大值为，则 . 【答案】或【解析】若，则在上为增函数，所以，即.若，则在上为减函数，所以，即.综上或.故答案为：或. 【例2-4】已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【答案】D因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D. 【变式2-1】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项； 分析可知 【变式2-2】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______． 试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于. 【变式2-3】函数的单调递增区间为________． 【答案】 【解析】因为复合函数是由与复合而得，而在上单调递减， 所以的单调减区间即为的单调增区间，因为开口向下，对称轴为，所以的单调减区间.则答案为： 考点三 指数型复合函数的值域 【例3-1】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：令，可得， 可得函数的对称轴为：，故函数在上单调递增， 当时，，故函数的值域为， 【例3-2】函数且的值域是，则实数 ____. 【答案】或 当时，函数且是增函数， 值域是， ；当时，函数且是减函数，值域是， .综上所述，可得实数或. 【变式3-1】已知函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A解：因为,所以 所以函数的值域是 【变式3-2】已知函数，，则函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 依题意，函数，，令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为. 【变式3-3】已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若，使成立，求a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据参数的值求解出函数的解析式，再根据复合函数的性质求解值域即可； （2）先将函数看成关于的一次函数，运用不等式恒成立问题的处理方法将问题转化为只含一个变量的函数问题，再运用存在性问题的处理方法求解参数的取值范围． 【详解】（1）解：，时，， 令，，， 可写出关于的二次函数， 根据二次函数的性质可得， 所以当，时，函数的值域为． （2）解：，可看成关于的一次函数，且函数单调递减， ,不等式成立，成立， 又,，成立，,使得不等式成立， 令,，又，，问题转化为函数最大值不小于4． ①，,时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 当且仅当时等号成立，故恒成立，又，，所以， 此时函数的最大值为，，解得； ②，,时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，此时函数的最大值为， ，解得， 综上，的取值范围为． 1.函数是指数函数，则（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得. 2.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．24 【答案】A【解析】因为函数图象恒过定点又点A的坐标满足关于，的方程，所以，即所以，当且仅当即时取等号；所以的最小值为4．故选：A． 3.已知函数，则（       ） A．是偶函数，且在是单调递增 B．是偶函数，且在是单调递减 C．是奇函数，且在是单调递增 D．是奇函数，且在是单调递减 解：定义域为，且，所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：C 4.（多选题）已知函数，则（    ） A．函数是增函数 B．曲线关于对称 C．函数的值域为 D．曲线有且仅有两条斜率为的切线 【答案】AB【解析】根据题意可得，易知是减函数， 所以是增函数，即A正确；由题意可得，所以，即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；由指数函数值域可得，所以，即， 所以函数的值域为，所以C错误；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因为，即，所以，即，因此； 即关于的一元二次方程无实数根；所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；故选：AB 5.已知函数，，则其值域为_______． 【答案】【解析】令，∵，∴，∴， 又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即， .故答案为：. 6.不等式的解集是_____________. 【答案】 由，得，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为： 7.设函数，是定义域为R的奇函数 (1)确定的值 (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. (1)因是定义域为的奇函数，则，而，解得，所以的值是2. (2)由（1）得，是定义域为的奇函数，而，则，即，又，解得，则函数在上单调递增，，，，因，则，，于是得，即，所以函数在定义域上单调递增. (3)当时，，， ，而函数在上单调递增，， 于是得，令，函数在上单调递减，当，即时，，因此，，解得，所以的范围是. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $