第二章 4.实验：用单摆测量重力加速度-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二物理选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（教科版）

4.实验：用单摆测量重力加速度 　　　　 第二章 机械振动 1.掌握用单摆测重力加速度的思路和科学探究方法。　 2.会制作单摆，并能正确进行实验，提高动手操作能力。　 3.会利用平均值法和图像法处理实验数据，提高分析问题、解决问题的能力。 素养目标 探究过程 梳理要点 1 合作交流 应用拓展 2 课时测评 3 内容索引 2 3 4 5 1 探究过程 梳理要点 返回 一、实验目的 1．理解用单摆测量重力加速度的原理和方法。 2．学会用单摆测量当地的重力加速度。 二、实验原理 单摆在偏角很小(小于5°)时，可看成简谐运动，其周期T＝2π ，可得g＝ 。据此，通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 三、实验器材 铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、停表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺。 四、实验步骤 1．做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。 2．测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝l线＋ 。 3．测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝ 。 4．变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。 六、误差分析 1．本实验系统误差的主要来源 (1)单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定。 (2)球、线是否符合要求。 (3)小球做圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等。 2．本实验偶然误差的主要来源 (1)测定摆长l时引起的误差 ①在未悬挂摆球前测定摆长或漏加摆球半径。 ②测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长。 ③悬点未固定好，摆球摆动时出现松动，使实际的摆长不断变长。 (2)测定周期时引起的误差 ①开始计时和停止计时，停表过早或过迟按下。 ②测定N次全振动的时间为t，次数N数错。 ③计算单摆的全振动次数时，未从摆球通过最低位置时开始计时。 七、注意事项 1．摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。 2．摆长要悬挂好摆球后再测，不要先测摆长再系小球，因为悬挂摆球后细绳会发生形变。 3．计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当作摆长。 返回 合作交流 应用拓展 返回 例2 一　教材原型实验 (2024·安徽黄山市高二月考)某同学用单摆测量重力加速度 的实验装置如图所示。 (1)对测量原理的理解正确的是________。 A．由g＝ 可知，T一定时，g与l成正比 B．由g＝ 可知，l一定时，g与T2成反比 C．单摆的振动周期T和摆长l可用实验测定，由g＝ 可算出当地的重力加速度 C 由单摆周期公式T＝2π ，解得g＝ ，测出单摆的摆长l与周期T，可以求出当地的重力加速度，但是重力加速度与单摆的摆长和周期无关，C正确，A、B错误。 (2)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用的器材有________。 A．长度为10 cm左右的细绳 B．长度为100 cm左右的细绳 C．直径为1.8 cm的钢球 D．直径为1.8 cm的木球 E．最小刻度为1 mm的刻度尺 F．停表、铁架台 BCEF 为减小实验误差，应选择适当长些的细绳作摆线，摆线应选择B；为减小空气阻力对实验的影响，应选择质量大而体积小的球作摆球，因此摆球应选择C；实验需要测量摆长，需要用到刻度尺；实验需要测量单摆的周期，测周期需要停表，应把单摆固定在铁架台上。因此，应当选用的实验器材是BCEF。 (3)进行以下必要的实验操作，请将横线部分内容补充完整。 ①测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到____________的距离； ②把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球在竖直面内摆动，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆振动的周期； ③适当改变摆长，测量几次，并记录相应的摆长和周期； ④根据测量数据画出图像，并根据单摆的周期公式，由图像计算重力加速度。 摆球球心 摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，测量单摆的摆长，应测量从摆线的悬点到摆球球心的距离。 (4)该同学分别在北京和厦门两地做了此实验，比较准确地 探究了单摆的周期T与摆长l的关系，然后将这两组实验数 据绘制成T2 -l图像，如图所示，在北京测得的实验结果对 应的图线是________(选填“A”或“B”)。 B 例2 某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作： (1)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径，如图甲所示，摆球直径d＝________cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测得摆线长为l0，得到 摆长表达式为L＝________； 2.07 游标卡尺是10分度的卡尺，则摆球直径为d＝20 mm＋7×0.1 mm＝ 20.7 mm＝2.07 cm 摆长表达式为L＝l0＋ 。 数到60次时，表的读数为1 min 7.4 s，则周期为T＝ ＝ ≈2.25 s。 (2)用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期T＝________s(结果保留3位有效数字)； 2.25 (3)①测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2-L图像如图丙所示，造成图线不过坐标原点的原因可能是______； A．摆球的振幅过小 B．将l0计为摆长 C．将(l0＋d)计为摆长 D．摆球质量过大 B 由T＝2π 可得T2＝ L，周期与质量和振幅都无关，不过原点的原因可能是测得的摆长偏小，即把摆线长当成了摆长，故A、C、D错误，B正确。 ②这样将使根据图像得出的g测量值_________(选填“偏大”、“偏小”或“不受影响”)。 不受影响 根据以上分析可知，图像的斜率不受影响，即g测量值不受影响。 (4)某同学通过实验测得：悬点O到小 球球心的距离为L；计时开始后，从小 球第一次通过平衡位置到第n次通过平 衡位置所用的时间为t，则重力加速度g ＝____________(用L、n、t及常数表示)。 (5)本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这是由于以下哪个系统误差造成的________。 A．小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差 B．小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差 C．单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小 C 小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B错误；单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π 可知，重力加速度的测量值偏小，故C正确。 针对练．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。 (1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)。 A．长度为1 m左右的细线 B．长度为30 cm左右的细线 C．直径为2 cm左右的塑料球 D．直径为2 cm左右的铁球 AD 长度选择1 m左右的细线，方便公式中的l取成1 m，用体积小密度大的铁球以减弱空气阻力的影响，故选AD。 乙方便测量线长，并且悬挂点固定，半径不易改变，故选乙。 (2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中________(选填“甲”或者“乙”)所示的固定方式。 乙 (3)将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是________。 A．测出摆线长作为单摆的摆长 B．把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 C．在摆球经过平衡位置时开始计时 D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用的时间并作为单摆的周期 BC 摆长为摆线长加小球半径，故A错误； 单摆在小角度摆动时可看成简谐运动，此时周期公式才成立，故B正确；摆球经过平衡位置时开始计时误差小，故C正确；测量单摆的周期测量单摆完成多次全振动的时间，再取平均值以减小误差。故D错误。 (4)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用秒表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的 重力加速度g为________________。 (5)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图3所示的图像。你认为横坐标所代表的物理量应为________(选填“l2”、“l”或“ ”)。 图像为正比例函数，根据T＝2π 可知，T与 成正比，故选填 。 例3 二　拓展创新实验 一同学为了测量当地的重力加速度，选用电动机、长条白纸、毫米刻度尺、长木板以及由装满颜料的带孔小球和细线构成的单摆等组成如图甲所示装置，把白纸固定在长木板上，实验中，电动机以0.1 m/s的速度匀速拖动长木板带动白纸运动，同时让小球垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，小球可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了小球在不同时刻的位置，如图乙所示。实验中该同学测出了细线悬挂点到小球下边缘的距离L，如图丙所示，白纸上得到的图像AB间的距离为x。通过改变L，测出对应的AB距离x，获得多组x与L数据，再以x2为纵轴、L为横轴画出函数关系图像，如图丁所示(假设整个过程中小球的重心位置不变，π＝3.14)。 (1)由图像可知，摆球的半径r＝_________ m，当地的重力加速度g＝________ m/s2(结果保留3位有效数字)。 解题引导：图像问题的定量计算，一般表达式是其原理，写出表达式，结合表达式分析图像才能有理有据。 1.0×10-2 9.86 (2)该同学测得的重力加速度值与实际的重力加速度值相比________(选填“偏大”、“偏小”或“一样”)。 一样 用x2-L关系图线的斜率求当地重力加速度值，没有系统误差，所测重力加速度一样。 例4 (2024·河南郑州高二期中)甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。 (1)甲组同学采用图甲所示的实验装置。 A．该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n 次全振动所用的时间t。请写出重力加速度的表达式g＝________(用所测物理量表示)。 B．在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)。 偏小 (2)乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示。将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，得到如图丙所示的v-t图线。 A．由图丙可知，该单摆的周期T＝________ s。 B．更换摆线长度后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2-l(周期平方—摆长)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.035。由此可以得出当地的重力加速度g＝________ m/s2(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)。 2.0 9.76 由题图丙所示的v -t图线可知该单摆的周期T＝2.0 s。根据T＝2π 得T2＝ l，根据表达式可知图线的斜率k＝ ＝4.04 s2/m，解得g≈ 9.76 m/s2。 针对练1.在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材： A．1.2 m的细绳 B．2 m的弹性绳 C．带孔的小铁球 D．带孔的软木球 E．光电门传感器 (1)应选用哪种绳________，应选用哪种球________，光电门的摆放位置为________(选填“最高点”或“最低点”)。 A C 最低点 为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细绳作为摆线，绳选择A；为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，球应选C；应从摆球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点。 (2)如图为光电门传感器电流强度I与t的图像，则周期为 ________。 A．t1 　　　 B．t2－t1 C．t3－t1 　　　 D．t4－t1 C 一个周期内单摆两次经过最低点，由题图所示图线可知，单摆周期T＝t3－t1，故C正确。 (3)甲同学用停表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是___________________________________。 开始计时时，停表过早按下(合理即可) 如果开始计时时，停表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大。 针对练2.在“用单摆测量重力加速度”实验中： (1)该实验中用于测量时间的工具是________； B 该实验中由于测量时间需要停表，所以B正确，A、C错误。 (2)如图甲所示，小明用游标卡尺测量小球的直径为________ mm。 14.4 游标卡尺的读数为：主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝14 mm＋4×0.1 mm＝14.4 mm。 (3)为了减小测量误差，下列操作正确的是________。 A．摆线的长度应适当长些 B．单摆的摆角应尽量大些 C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置 D．测量周期时，测量摆球30～50次全振动的时间算出周期 AD 摆线的长度应适当长些，减小测量长度时的误差，所以A正确；单摆的摆角不能过大，需要满足最大摆角θ<5°，所以B错误；测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；测量周期时，测量摆球30～50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确。 (4)手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙所示，小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示，某次实验测得单摆4次全振动的时间为7.203 s，已知单摆摆长为0.8 m，可以计算出当地的重力加速度为________ m/s2。(结果保留3位有效数字) 9.73 返回 课 时 测 评 返回 1．(2024·江苏苏州高二期中)在用单摆测量重力加速度的实验中，以下叙述正确的是 A．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大 B．用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长 C．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 D．用秒表测量周期时，应取摆球摆至最高点时开始计时，记下50次全振动的时间t，则单摆周期T＝ √ 摆的周期与摆角无关，且要求偏角要小于5°；摆线长度与摆球半径之和是摆长；为了减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些的；测周期时应从摆球经过平衡位置时开始计时。故选C。 2 3 4 5 1 2．(10分)(2024·山东泰安高二上期中)在“用单摆测重力加速度”的实验中，某同学的操作步骤为： a．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上； b．用米尺量得细线长度l； c．从摆线偏离竖直方向5°位置释放小球； d．用停表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝ ； e．用公式g＝ 计算重力加速度。 (1)在该实验中，有利于减小实验误差的做法是________。 A．测量摆线长度时多测几次取平均值 B．质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的 C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大 D．为计时方便，测量单摆振动周期时从摆球经过最大位移处时开始计时 AC 2 3 4 5 1 测量摆线长度时多测几次取平均值，有利于减小实验的偶然误差，选项A正确；质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小空气阻力的影响，选项B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，否则单摆的振动就不是简谐运动，选项C正确；为计时方便，测量单摆振动周期时应从摆球经过最低点时开始计时，选项D错误。 2 3 4 5 1 (2)按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比________(选填“偏大”、“相同”或“偏小”)。 偏小 摆长应该是摆线长与摆球的半径之和，按上述方法计算的摆长没有包括摆球半径，则摆长相对实际值偏小，根据T＝2π ，可知得出的重力加速度值与实际值相比偏小。 2 3 4 5 1 (3)该同学为了减少误差，利用上述方法测量出的多组实验数据作出了图像，该图像对应________图。 B 2 3 4 5 1 3．(10分)(2024·四川绵阳南山中学高二月考)在“用单摆测量重力加速度”的实验中： 　 (1)用游标卡尺测得小球的直径如图1所示，则d＝________ mm。 19.80 小球的直径d＝19 mm＋16×0.05 mm＝19.80 mm。 2 3 4 5 1 (2)实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是________。 A．实验室处在高山上，距离海面太高 B．单摆所用的摆球质量太大了 C．实际测出n次全振动的时间t，误作为(n＋1)次全振动的时间 D．以摆线长作为摆长来计算 C 2 3 4 5 1 海拔越高，重力加速度越小，故A错误；摆的周期与摆球的质量无关，故B错误；若将n次全振动的时间误认为是(n＋1)次全振动的时间，则所测摆的周期偏小，将会导致重力加速度测量值偏大，故C正确；以摆线长作为摆长会导致摆长变短，因此测得的重力加速度偏小，故D错误。 2 3 4 5 1 (3)甲同学选择了合理的实验装置后，测量出几组不同摆长l和周期T的数值，画出如图2中的实线OM，并算出图线的斜率为k，则当地的重力加速度g＝ ________。 2 3 4 5 1 (4)乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学作出的图像为图2中的________。 A．虚线①，不平行OM B．虚线②，平行OM C．虚线③，平行OM D．虚线④，不平行OM B 2 3 4 5 1 当l为摆线长度时，设小球的半径为r，则单摆的周期为T＝2π ，化简可得T2＝ ＋ ，由此可知图线斜率和计算小球半径时的斜率相同，纵截距为正，故B正确，A、C、D错误。 2 3 4 5 1 4．(10分)(2024·北京一零一中学期末)在“用单摆测量重力加速度”的实验中： (1)实验中待小钢球摆动稳定后，测量小钢球运动的周期。 甲同学从小钢球某次通过平衡位置时开始计时，数出以后小钢球通过平衡位置的次数n，用停表记下所用的时间t； 乙同学从小钢球某次通过平衡位置时开始计时，并将这次通过平衡位置时记为1，将小钢球第二次沿同一方向通过平衡位置时记为2，第三次沿同一方向通过平衡位置时记为3，以此类推，一直数到n′，同时按下停表，停表的显示时间为t′。 甲、乙两位同学的实验方法对应的单摆的周期表达式分别为________、 ________。 2 3 4 5 1 甲同学：小钢球n次经过平衡位置，完成 次全振动，用时t，则周期为 。 乙同学：小钢球n′次沿同一方向通过平衡位置，完成(n′－1)次全振动，用时t′，则周期为 。 2 3 4 5 1 (2)如图所示，某同学用一块外形不规则的长条状的大理石块 代替了摆球，N为石块上端。先使O、N间尼龙线长度为某个 值，测出周期T1；后使O、N间尼龙线长度比原来长ΔL，再 测出周期T2。那么重力加速度的值可以表示为________(用 T1、T2、ΔL表示)。 2 3 4 5 1 5．(14分)科技小组在实验室设计了一个用单摆测定当地重力加速度g的实验。如图甲，用光控门计时器代替停表，设置光控门，使小球第一次通过光控门时开始计时和计数，当小球第60次通过光控门时计时和计数同时停止，即可从时间显示仪上读出小球60次通过光控门所经历的时间。实验步骤是： 2 3 4 5 1 (1)用刻度尺和三角尺测出单摆悬点到摆球下端的距离L，如图乙所示。用游标卡尺测得摆球直径d，如图丙所示，则此时单摆摆长l1＝______ cm(保留4位有效数字)。 由题图乙知，悬点到摆球下端距离L＝88.97 cm，题图丙显示小球直径d＝8 mm＋0.1 mm×9＝8.9 mm＝0.89 cm，则摆长l1＝L－ ＝88.53 cm。 88.53 2 3 4 5 1 (2)将摆球拉离平衡位置使得摆线偏离竖直方向一个小角度α(α<5°)，接通光控门计时器电源，由静止释放摆球，通过时间显示仪读出摆球挡光时间t1＝55.58 s，则此单摆的振动周期T1＝________ s(保留4位有效数字)。 1.884 2 3 4 5 1 从摆球第一次通过光控门开始计时，每隔 经过平衡位置一次，因此摆球的周期T1＝ ＝ s＝1.884 s。 2 3 4 5 1 (3)改变摆线长度，测量多组摆长l与对应的周期T，一同学根据l、T的值作出如图丁所示T2-l图像，出现这种图像的原因可能是________。 A．单摆周期计算正确，而将摆长计算为l＝L＋ B．单摆摆长计算正确，而将周期计算为T＝ C．单摆周期计算正确，而将测得的L当作摆长l D．单摆摆长计算正确，而将周期计算为T＝ AC 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 (4)根据你的理解，由图丁________(选填“能”或“不能”)求得当地重力加速度，若能，则重力加速度g＝_________(用图丁中a、b坐标值表示)。 能 返回 2 3 4 5 1 谢 谢 观 看 ！ 第二章 机械振动 2 3 4 5 1 五、数据处理 1．公式法：根据公式g＝，将每次实验的l、N、t数值代入，计算重力加速度g，然后取平均值。 2．图像法：作出T2 -l图像，由T2＝可知T2-l图线是一条过原点的直线，如图所示，其斜率k＝ ，求出k，可得g＝。 根据T＝2π可得T2＝l，图像的斜率k＝，则g＝，图像的斜率越小，重力加速度越大，由于北京的重力加速度大于厦门的重力加速度，则在北京所做实验作出的T2 -l图像的斜率小于在厦门所做实验作出的T2 -l图像的斜率，在北京测得的实验结果对应的图线是B。 l0＋ L 由题意可得周期为T＝＝ 则由T＝2π 可得g＝L＝L。 由＝2π得g＝。 AB距离为x，表示5个周期，则有x＝0.1×5T，解得T＝2x，根据T＝2π，可得T2＝(L－r)，所以4x2＝(L－r)，即x2＝(L－r)，根据题图丁知，当L＝0时，r＝0.01，图像的斜率k＝＝1 s2/m，可得重力加速度g＝π2≈9.86 m/s2，r＝0.01 m。 根据单摆周期公式T＝2π，因为单摆完成n次全振动所用的时间为t，所以可得T＝，联立可得g＝；测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，则摆长的测量值偏小，由g＝可知测得的重力加速度偏小。 根据单摆的周期公式T＝2π，T＝，可得g＝＝ m/s2≈9.73 m/s2。 根据T＝2π＝2π，解得T2＝l＋，则T2-l图像为B图。 当l为摆长时，由单摆的周期公式T＝2π可得T2＝，结合图像的特点可知k＝，因此g＝。 设两次实验中摆线长分别为L1、L2，对应的周期分别为T1、T2，大理石块重心到N点的距离为x，则T1＝2π，T2＝2π 联立解得g＝＝。 由单摆周期公式T＝2π可得T2＝(L－)，若以L或L＋为摆长，则每个测定的周期值对应的“摆长”比实际摆长要大或d，与题图丁相符；若将周期计算错误，摆长计算正确，则T2-l图像为一条过原点的倾斜直线，与题图丁不符。故选AC。 4π2 当摆长计算错误时，图线将向右平移，斜率不变，由T2＝，可知＝，因此能计算重力加速度，且重力加速度g＝4π2。 $