3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及其性质的应用-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的核心应用，涵盖直线与抛物线的位置关系、弦长问题及焦点弦常用结论，通过典例引入、规律方法提炼与对点练巩固，构建前后衔接的学习支架，帮助学生逐步掌握相关知识。 其亮点在于采用一题多解（如焦点弦问题两种解法）和系统规律总结，结合数学思维（推理）与数学语言（表达），例如通过联立方程推理位置关系、用韦达定理表达弦长公式。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助随堂及课时测评高效开展教学。

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第2课时　抛物线的标准方程及其性质的应用 　 第1章　3.3　抛物线 学习目标 1.掌握直线与抛物线的位置关系. 2.会解决与抛物线有关的焦点弦、中点弦问题. 3.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦和中点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养. 应用一　直线与抛物线的位置关系 1 应用二　弦长问题 2 应用三　抛物线焦点弦的常用结论的应用 3 课时测评 5 内容索引 随堂评价 4 应用一　直线与抛物线的位置关系 返回 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点. 解：联立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝， 所以直线l与C只有一个公共点， 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程， 典例1 Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； ②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点； 当k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k＞1时，l与C没有公共点. 规律方法 直线与抛物线的位置关系的判断方法 　　设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. 1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 2.若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点. 对点练1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________. [－1，1] 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1.因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]. 返回 应用二　弦长问题 返回 已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且｜AB｜＝p，求AB所在的直线方程. 解：由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则｜AB｜＝2p≠p，不满足题意. 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 典例2 由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2. 所以｜AB｜＝ ＝·＝2pp， 解得k＝±2. 所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0. 变式探究　 若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离. 解：如图，过A，B，M分别作准线x＝－的垂线交准 线于点C，D，E. 由定义知｜AC｜＋｜BD｜＝p， 则梯形ABDC的中位线｜ME｜＝p， 所以点M到y轴的距离为p－p. 规律方法 求弦长问题的方法 1.一般弦长：｜AB｜＝｜x1－x2｜，或｜AB｜＝｜y1 －y2｜. 2.焦点弦长：设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则｜AB｜＝x1＋x2＋p.注意点：(1)x1·x2＝.(2)y1·y2＝－p2.(3)｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角).(4)＋为定值(F是抛物线的焦点). 对点练2．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点. (1)若｜AB｜＝10，求实数m的值； 解：由 得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m＞0，得m＜2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. 因为｜AB｜＝· ＝·＝10， 所以m＝，经检验符合题意. (2)若OA⊥OB，求实数m的值. 解：由 得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m＞0，得m＜2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， 解得m＝－8或m＝0(舍去). 所以m＝－8，经检验符合题意. 返回 应用三　抛物线焦点弦的常用结论的应用 返回 抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常用结论 　　 如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦， A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾斜角 为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准线l的垂线 AC，BD，垂足分别为C，D.连接AN，BN，CF，DF， AO，BO. 则有：(1)｜AF｜＝x1＋，｜BF｜＝x2＋，｜AB｜＝x1＋x2＋p＝. (2)＋. (3)S△AOB＝. (4)以AB为直径的圆与准线l相切，以AF、BF为直径的 圆与y轴相切. (5)∠CFD＝90°. (6)y1y2＝－p2，x1x2＝. (1)(一题多解)已知抛物线y2＝8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝6，则｜BF｜＝ A.1 B.2 C.3 D.4 典例3 法一：由题意知p＝4.因为抛物线过焦点的弦满足＋，又｜AF｜＝6，所以｜BF｜＝3.故选C. 法二：由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2.因为｜AF｜＝6，所以xA＝4.不妨设点A在第一象限，则yA＝4，所以kAF＝＝2，故直线AB的方程为y＝2x－4.联立整理得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，所以xB＝1，所以｜BF｜＝xB＋2＝3.故选C. √ (2)已知抛物线C的方程为y2＝2px，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且＝3，则直线l的倾斜角为_____. 如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别 作AM，BN垂直于m，作BE⊥AM.因为， ，且＝3，所以＝3， 则＝4，－＝3｜BF｜－ ｜BF｜＝2.在△ABE中，所以cos∠BAE＝ ，则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°. 60° 对点练3．(多选)已知抛物线y2＝2px经过点M，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A，B，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是 A.p＝2 B.≥4 C.·＝－4 D.k1k2＝－4 因为抛物线y2＝2px经过点M，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F，设直线l：x＝my＋ 1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0， √ √ √ 则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝m2y1y2＋m＋1＝1.所以＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；对于C，所以，，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；对于D，k1k2＝·＝－4，故D正确.故选ABD. 返回 随堂评价 返回 1.动点P(x，y)到点F(3，0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，则动点的轨迹是 A.椭圆　　　　　　　　　 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 √ 依题意可知动点P(x，y)在直线x＋4＝0的右侧， 设P到直线x＋4＝0的距离为d，则｜PF｜＝d－1， 所以动点P到F(3，0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线. 2.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 √ 当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切. 3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_______. 由 得x2－8x＋4＝0，Δ＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4， 故线段AB的中点坐标为(4，2). (4，2) 4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝______. 0或1 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0， 由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0， 所以k＝1. 综上，k＝0或1. 返回 课时测评 返回 1.顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是 A.y2＝x B.y2＝3x C.y2＝6x D.y2＝－6x 顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p＞0)，由题意知，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝ A.5　　　　 B.6　　　　 C.8　　　　 D.10 √ 抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2＋2＝8.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为 A.2x－y＋3＝0 B.2x－y－3＝0 C.2x－y＋1＝0 D.2x－y－1＝0 √ 设切线方程为2x－y＋m＝0，联立得x2－2x－m＝0.由Δ ＝4＋4m＝0，得m＝－1，所以切线方程为2x－y－1＝0.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为 将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于A，B两点，则｜AB｜＝ A.5p B.10p C.11p D.12p √ 将直线方程代入抛物线方程， 可得x2－4px－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p. 因为直线过抛物线的焦点， 所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝10p. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________. (3，2) 将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0. 由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3， 所以＝2. 所以所求点的坐标为(3，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为____. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4. 因为A，B在抛物线上， 所以相减得 －＝2(x1－x2)， 即. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是_________. 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 所以＝3，即p＝6. 又抛物线上的点到准线距离的最小值为， 所以抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞). [3，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(10分)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程. 解：由于抛物线的焦点F， 故可设直线AB的方程为x＝my＋. 由得y2－2pmy－p2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2， 所以－p2＝－4，由p＞0，可得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(13分)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程. 解：设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，则｜y1｜＋｜y2｜＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 11.已知F是抛物线C：y2＝2px的焦点，x＝－3是抛物线C的准线，点N(0，t)(t≠0)，连接FN交抛物线C于M点，＋＝0，则△OFN的面积为 A.4 B.9 C.4 D.9 由直线x＝－3是抛物线C的准线，可得－＝－3，即p＝6， 所以抛物线的方程为C：y2＝12x， 其焦点为F(3，0)， 因为＋＝0，可得＝－， 故M，N，F三点共线，且M为NF的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又因为F(3，0)，N(0，t)，所以M(，)， 将点M(，)代入抛物线y2＝12x， 可得t＝±6， 所以△OFN的面积为S＝·×3×6＝9. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 12.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且｜MF｜＝3｜OF｜，△MFO的面积为16，则抛物线的方程为 A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝20x 设M(x0，y0)，由｜MF｜＝3｜OF｜可得x0＋，解得x0＝p，所以M(p，±p)，所以，S△MFO＝××p＝16，解得p＝±8.因为p＞0，所以p＝8.所以抛物线的方程为y2＝16x.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若｜AB｜＝4，则AB的中点的纵坐 标为___. 设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A'，Q，B'.由题意得｜AA'｜＋｜BB'｜＝｜AB｜＝4，｜PQ｜＝ ＝2.又｜PQ｜＝y0＋，所以y0＋＝2，解得y0＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.(15分)已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点. (1)求证：l与C必有两交点. 解：证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0， 所以Δ＝k2＋8＞0，所以l与C必有两交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，① 因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①， 得2k＋＝1，② 由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－， 代入②得k＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(17分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B 两点. (1)若l的斜率为2，求｜AB｜； 解：依题意得F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1). 设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去y整理得x2－3x＋1＝0， 所以Δ＝9－4＝5＞0，x1＋x2＝3，x1x2＝1. 所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求证：·是一个定值. 解：证明：根据题意设直线l的方程为x＝ky＋1，直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去x整理得y2－4ky－4＝0， Δ＝16k2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4k，y1y2＝－4. 因为·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3， 所以·是一个定值. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 3.3　抛物线 返回 $