1.4 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版）

*1.4　数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，培养逻辑推理的核心素养. 任务一　数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题时，可采用下面两个步骤进行： (1)证明n＝n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道：对任何从n0开始的所有正整数n，命题成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)和(2)可知， 对于一切n∈N＋等式成立. 　　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项. 对点练1.用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N＋). 证明：(1)当n＝1时， 左边＝＝， 右边＝＝.左边＝右边， 所以等式成立.(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)和(2)可知，对于一切n∈N＋等式都成立. 任务二　用数学归纳法证明不等式问题 已知n∈N＋，n≥2. 求证：＋＋＋…＋＞(n≥2，n∈N＋). 证明：(1)当n＝2时，＋＋＋＞，不等式成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立， 即＋＋…＋＞. 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＋＋－＞＋＋＋－＞＋3×－＝. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立. 1.对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口. 学生用书⬇第35页 2.常用的放缩技巧 (1)＜n＜； (2)＜＜(n∈N*，n＞1)； (3)＞＝2(－)； (4)＜＝2(－)(k∈N*，k＞1). 对点练2.数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并用数学归纳法证明＋＋…＋＞. 解：(1)证明：因为an＋1＝， 所以＝，化简得＝2＋，即－＝2， 故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)，知Sn＝n2， 当n＝1时，＝1，＝，不等式显然成立. 假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即＋＋…＋＞， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＞＋， 又＋－＝1－＋－1＋＝－＝＞0， 所以＋＋…＋＋＞， 综上，原不等式成立. 任务三　归纳—猜想—证明 已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：S1＝＝； S2＝＋＝； S3＝＋＝； S4＝＋＝. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1. 于是可以猜想Sn＝. 下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当n＝1时，左边＝S1＝， 右边＝＝＝， 猜想成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立.即 ＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋ ＋ ＝＋＝ ＝ ＝， 所以当n＝k＋1时猜想也成立. 由(1)和(2)可知，猜想对任意n∈N＋都成立. 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节 2.“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单的命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. 对点练3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N＋). (1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式. 解析：(1)因为a1＝1，Sn＝n2an，所以S1＝a1＝1； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝； 当n＝4时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝.猜想Sn＝. (2)下面用数学归纳法证明猜想成立. ①当n＝1时，猜想显然成立. ②假设当n＝k(k∈N＋)时，猜想成立.即Sk＝， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)， 所以(k2＋2k)Sk＋1＝(k＋1)2Sk＝(k＋1)2·， 所以Sk＋1＝. 故当n＝k＋1时，猜想也成立. 由①和②可知，对于任意的n∈N＋，都有Sn＝. 故猜想成立. 因为Sn＝n2an，所以an＝＝＝. 学生用书⬇第36页 1.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 答案：D 解析：要注意末项与首项，因为f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 2.某个命题与正整数n有关.如果当n＝k＋1(k∈N＋)时命题成立，那么可推得当n＝k时命题也成立.现已知当n＝2 019时该命题不成立.那么可推得(　　) A.当n＝2 020时该命题不成立 B.当n＝2 020时该命题成立 C.当n＝2 018时该命题不成立 D.当n＝2 018时该命题成立 答案：A 解析：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝2 019不成立，P(n)对n＝2 020也不成立.否则，n＝2 020成立.由已知推得n＝2 019也成立.与当n＝2 019时该命题不成立矛盾. 3.用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N＋)，则从n＝k到n＝k＋1时左边应添加的项为　　　　　　　　　　　. 答案：(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3 解析：因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋n3＝(n∈N＋)时， 当n＝1时，左边所得的项是1， 假设n＝k时，命题成立，左端为1＋2＋3＋…＋k3，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋…＋(k＋1)3， 所以由n＝k到n＝k＋1时需增添的项是(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3. 4.数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明. 解：因为a2＝，且an＋1＝(n≥2)， 所以a3＝＝＝，a4＝＝＝. 猜想：an＝(n∈N＋). 下面用数学归纳法证明猜想成立. (1)当n＝1时，易知猜想成立. (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时猜想成立. 即ak＝. 当n＝k＋1时， ak＋1＝＝＝ ＝＝＝＝， 所以n＝k＋1时猜想也成立. 由(1)和(2)可知，猜想对任意n∈N＋都成立. 课时测评14　数学归纳法 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步应验证(　　) A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4 答案：C 解析：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立.因为n≥3，n∈N＋，所以第一步应验证n＝3.故选C. 2.设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N＋)，若f(n)能被m(m∈N＋)整除，则m的最大值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 答案：C 解析：f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8. 3.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立.那么a，b，c的值为(　　) A.a＝，b＝c＝ B.a＝b＝c＝ C.a＝0，b＝c＝ D.不存在这样的a，b，c 答案：A 解析：令n＝1，2，3， 得 即 解得a＝，b＝，c＝. 4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，依次计算a2，a3，a4归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为a1＝2，所以a2＝＝，a3＝，a4＝， 所以猜出an＝.故选B. 5.若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立.现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有(　　) A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D.以上说法都不正确 答案：C 解析：由数学归纳法可知，当n＝n0时命题成立，且命题在n＝k，n＝k＋1时成立，则当n≥n0时命题成立，小于n0时不确定. 6.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝　　　　时，命题亦真. 答案：2k＋1 解析：因为n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，所以需证n＝2k＋1时，命题成立. 7.用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是　　　　　　　　　　. 答案：＋＋…＋＋＋＞－ 解析：观察不等式中各项的分母变化，知n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＞－. 8.若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法验证关于f(n)的命题时，第一步计算f(1)＝　　　　；第二步“从n＝k到n＝k＋1时”，f(k＋1)＝f(k)＋　　　　　　　. 答案：　＋＋ 解析：f(1)＝1＋＝； 假设当n＝k时，f(k)＝1＋＋＋…＋， 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋， f(k＋1)＝f(k)＋＋＋. 9.(10分)用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋n·1＝n·(n＋1)·(n＋2)，n∈N＋. 证明：①当n＝1时，等式左边＝1，右边＝×1×2×3＝1，所以等式成立. ②假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立， 即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1＝k·(k＋1)·(k＋2)， 则当n＝k＋1时， 1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋k·2＋(k＋1)·1 ＝(1·k＋1)＋[2·(k－1)＋2]＋[3·(k－2)＋3]＋…＋(k·1＋k)＋(k＋1)·1 ＝1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)] ＝k·(k＋1)·(k＋2)＋ ＝(k＋1)·(k＋2)· ＝(k＋1)·(k＋2)·(k＋3). 所以当n＝k＋1时，等式也成立.根据①②知，对任意n∈N＋，等式成立. 10.(10分)用数学归纳法证明对一切n∈N＋，1＋＋＋…＋. 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝＝1，不等式成立. (2)假设当n＝k时，不等式成立， 即1＋＋＋…＋， 则当n＝k＋1时， 要证1＋＋＋…＋＋， 只需证＋. 因为－ ＝－ ＝ ＝≤0， 所以＋， 即1＋＋＋…＋＋， 所以当n＝k＋1时不等式成立. 由(1)(2)知，不等式对一切n∈N＋都成立. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总有f(k＋1)≥k＋2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f(1)＜2成立，则f(10)＜11成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C.若f(2)＜3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 答案：D 解析：根据题意，若f(4)≥5成立，则f(n0＋1)≥n0＋2(n0≥4，n0∈N＋)成立，即f(k)≥k＋1(k≥5)成立，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立.故选D. 12.(多选)如果命题p(n)对n＝k(k∈N＋)成立，则它对n＝k＋2也成立.则下列结论正确的是(　　) A.若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正整数都成立 B.若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有正偶数都成立 C.若p(n)对n＝1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D.若p(n)对n＝2成立，则p(n)对所有自然数都成立 答案：BC 解析：由题意可知，若p(n)对n＝1成立，则p(n)对n＝1，3，5，7…所有正奇数都成立；若p(n)对n＝2成立，则p(n)对n＝2，4，6，8…所有正偶数都成立. 13.已知Sn＝＋＋＋…＋，n∈N＋，则S1＝　　　　，S2＝　　　　，S3＝　　　　，S4＝　　　　，猜想Sn＝　　　　. 答案：　　　　 解析：当n＝1时，S1＝； 当n＝2时，S2＝； 当n＝3时，S3＝； 当n＝4时，S4＝. 观察猜想得Sn＝. 14.(13分)设a1＝1，an＋1＝＋b，n∈N＋. (1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式； (2)若b＝－1，问：是否存在实数c，使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋均成立？证明你的结论. 解：(1)方法一：当b＝1时，an＋1＝＋1，故a2＝2，a3＝＋1. 由已知可得(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1. 从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1. 方法二：a2＝2，a3＝＋1， 可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1，…，因此猜想an＝＋1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当n＝1时，结论显然成立. 假设当n＝k(k∈N＋)时结论成立，即ak＝＋1， 则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝＋1. 这就是说，当n＝k＋1时结论成立. 综上可知，an＝＋1. (2)当b＝－1时，an＋1＝－1，设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)， 当－1＝x时得x＝. 计算得a2＝0，a3＝－1，发现0≤a2＜＜a3＜1. 猜测存在c＝ ，使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立. 下面用数学归纳法证明0≤a2n＜＜a2n＋1＜1. 当n＝1时已经验证结论成立. 假设当n＝k时，0≤a2k＜＜a2k＋1＜1(k≥1，k∈N)成立，则由f(x)＝－1在[0，1)上单调递减可知f(0)≥f(a2k)＞f＞f(a2k＋1)＞f(1)， 所以1＞－1≥a2k＋1＞＞a2k＋2＞0. 再由f(x)＝－1在[0，1)上单调递减可知，f(1)＜f()＜f(a2k＋2)＜f(0)， 所以0＜＜a2k＋3＜－1＜1，所以0＜a2k＋2＜＜a2k＋3＜1，所以当n＝k＋1时结论成立. 由数学归纳法可知0≤a2n＜＜a2n＋1＜1对任意n∈N＋成立. 所以符合条件的c存在，其中的一个值为. 15.(5分)现有命题“1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1，n∈N＋”，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是(　　) A.不能用数学归纳法判断此命题真假 B.此命题一定为真命题 C.此命题加上条件n≤9后才是真命题，否则为假命题 D.存在一个很大的常数m，当n＞m时，此命题为假命题 答案：B 解析：①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，即n＝1时，等式成立； ②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1k ＝＋(－1)k＋1， 则当n＝k＋1时， 1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)k＋1k＋(－1)k＋2(k＋1) ＝＋(－1)k＋1·＋(－1)k＋2(k＋1) ＝＋(－1)k＋2· ＝＋(－1)k＋2， 即当n＝k＋1时，等式成立. 综上，对任意n∈N＋，等式1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1n＝＋(－1)n＋1恒成立，故选B. 16.(17分)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋. (1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明. 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1， 所以f(1)＝g(1)； 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝， 所以f(2)＜g(2)； 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝， 所以f(3)＜g(3). (2)由(1)猜想f(n)≤g(n). 下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝1，2，3时，不等式显然成立， ②假设当n＝k(k≥3，k∈N＋)时不等式成立， 即1＋＋＋＋…＋＜－. 那么，当n＝k＋1时， f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋. 因为f(k＋1)－g(k＋1)＜－＋－＝－ ＝－＝＜0， 所以f(k＋1)＜g(k＋1). 由①②可知，对一切n∈N＋，都有f(n)≤g(n)成立. 学科网（北京）股份有限公司 $