2.4.1 圆的标准方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

2.4.1　圆的标准方程 　 第二章　直线和圆的方程 　　[单元整体设计]　本单元主要内容是圆的两类方程：标准方程和一般方程.圆是学生熟悉的基本平面曲线，也是最简单的封闭曲线.在平面直角坐标系中，我们借助直线的几何要素建立了直线方程，通过直线方程解决直线的位置关系、交点以及距离等问题.类比直线的研究方式研究圆，根据确定圆的几何要素建立圆的方程，掌握圆的标准方程及一般方程.学习计划2课时. 本单元内容重点是圆的标准方程和一般方程，难点是圆的方程的应用.在研究的过程中，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌 握圆的标准方程，培养逻辑推理的核心素养. 2.能根据所给条件求圆的标准方程，提升数学运算的核心 素养. 3.能够判断点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升直观 想象、数学运算的核心素养. 任务一　圆的标准方程 1 任务二　点与圆的位置关系 2 任务三　求圆的标准方程 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　圆的标准方程 返回 问题导思 (阅读教材P82，完成探究问题1、2) 问题1.圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2.已知圆心为A(a，b)，半径为r，M(x，y)为圆上任 意一点，你能得到x，y的关系吗？ 提示：｜MA｜＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 新知构建 1.圆的定义 圆是平面上到定点的距离__________的点的集合，定点称为圆的______，______称为圆的半径.☉A的圆心为A，半径为r，M为圆上任意一点，☉A用集合表示为P＝{M｜_____________}. 等于定长 圆心 定长 ｜MA｜＝r 2.圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2 微提醒 圆的标准方程的特征 微思考 只要圆是相同的，那么圆的标准方程就是相同的，对吗？ 提示：不对.相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 由题意得，圆心坐标为(1，－3)，半径为＝，所以以线段AB为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (1)已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为__________________. 典例 1 (x－1)2＋(y＋3)2＝29 (2)已知圆C1的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5，0)，则圆C2的标准方程为_____________________. (x＋3)2＋(y－2)2＝68 由题意得，圆C2的圆心C2(－3，2)，则半径r＝｜C2A｜＝＝2，所以圆C2的标准方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68. 规律方法 1.利用(x－a)2＋(y－b)2＝r2可以直接写出圆心和半径，但要注意，如果r是参数，则半径为｜r｜，且r≠0. 2.用直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 规律方法 3.几种特殊位置的圆 条件 方程形式 过原点(圆心(a，b)，半径r＝) (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 圆心在原点(即a＝0，b＝0，半径为r，r＞0) x2＋y2＝r2 圆心在x轴上(即b＝0，半径为r，r＞0) (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上(即a＝0，半径为r，r＞0) x2＋(y－b)2＝r2 对点练1.求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； 解：r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解：设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 返回 任务二　点与圆的位置关系 返回 问题导思 (阅读教材P83，完成探究问题3) 问题3.平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为在圆内、在圆外及在圆上三种位置关系，可以根据点到圆心的距离与半径的大小关系来判定. 新知构建 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点 P(x0，y0)， 设d＝｜PC｜＝ . 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆上 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 ＞ ＞ ＝ ＝ ＜ ＜ (链教材P83例1)已知圆心是点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系. 解：因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点， 所以圆的半径r＝＝5， 所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因为｜P1C｜＝＝2＜5， 所以P1(－1，0)在圆内； 因为｜P2C｜＝＝5， 所以P2(1，－1)在圆上； 因为｜P3C｜＝＝6＞5， 所以P3(3，－4)在圆外. 典例 2 规律方法 判断点与圆的位置关系的两种方法 1.几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. 2.代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. √ 对点练2.(1)已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝18，则点A(1，6)在 A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.不确定 由题意知，圆C的圆心为(－1，3)，半径为3，因为＝＜3，所以点A(1，6)在圆内.故选A. (2)(双空题)已知点P(2，1)和圆C：(x＋)2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝__________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________________________. －2或－6 {a｜ a＜－6，或a＞－2} 已知圆C：(x＋)2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，由(2＋)2＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6.当点P在圆C外时，由(2＋)2＋(1－1)2＞1，解得a＜－6或a＞－2. 返回 任务三　求圆的标准方程 返回 (链教材P84例3)求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程. 解：法一(待定系数法)： 设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ①－②，得 (1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④ 化简、整理，得3a－b－5＝0.⑤ 联立③⑤解得 代入①，得r2＝5. 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5(如图①). 典例 3 法二(几何法)： 如图②，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆 心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点.线段AB的垂直 平分线的方程为3x－y－5＝0. 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 即圆心C的坐标为(2，1). 又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 变式探究　(变条件)如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？ 解：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长 最小， 即所求圆以线段AB的中点为圆心，｜AB｜＝为半径， 所以所求圆的标准方程为＋＝. 规律方法 求圆的标准方程的两种方法 1.几何法：利用平面几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. 2.待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 对点练3.根据下列条件，求圆的标准方程： (1)经过点A，B，圆心在x轴上； 解：设圆的方程为＋y2＝r2， 所以所求圆的标准方程为＋y2＝4. 由题意得 (2)经过直线2x＋y＋1＝0与x－2y＋3＝0的交点，圆心为点C. 解：联立 所以交点为，则圆的半径为＝1， 所以所求圆的标准方程为(＋＝1. 返回 课堂小结 任务再现 1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系 方法提炼 直接法、几何法、待定系数法 易错警示 几何法求圆的标准方程容易出现漏解情况 随堂评价 返回 √ 1.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为 A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16 以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.故选C. 对于A，(0－1)2＋(2＋2)2＜25，点(0，2)在圆内；对于B，(3－1)2＋(3＋2)2＞25，点(3，3)在圆外；对于C，(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，点(－2，2)在圆上；对于D，(4－1)2＋(1＋2)2＜25，点(4，1)在圆内.故选ACD. √ √ √ 2.(多选)下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是 A.(0，2) B.(3，3) C.(－2，2) D.(4，1) 因为点P在圆x2＋y2＝m上，所以将点P坐标代入，得＋＝m，即m＝4. 3.若点P在圆x2＋y2＝m上，则实数m＝____. 4 返回 因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设点M为(a，1－2a).又因为点(3，0)和(0，1)均在☉M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以＝＝R，a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，所以M(1，－1)，R＝.所以☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 4.(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为__________________. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 课时分层评价 返回 圆x2＋y2＝24的圆心为O，半径r＝2，＝＝＜r，故点P在圆内.故选B. √ 1.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是 A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.若直线x＋y＋a＝0过圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的圆心，则实数a的值为 A.－1 B.0 C.1 D.2 由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝2，可得圆心坐标为(1，－2).因为直线x＋y＋a＝0过圆心(1，－2)，所以1－2＋a＝0，解得a＝1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.若点A在圆C：＋＝m外，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 由点A在圆C：＋＝m外，得m＜12＋(3－1)2＝5，而m＞0，所以实数m的取值范围是.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝5，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D. √ 4.以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是 A.(x－1)2＋(y－2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100 C.(x－1)2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.曲线y＝与x轴所围成区域的面积为 A. B.π C.2π D.4π 由y＝可得，＋y2＝2，y≥0，所以曲线 y＝＋y2＝2，y≥0的部分，如图 所示.因为圆心坐标为(1，0)，所以圆＋y2＝2关于x 轴对称，所以曲线y＝与x轴所围成区域的面积为πr2＝π×2＝π.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选)若圆上的点关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是 A.x2＋y2＝5 B.＋y2＝5 C.x2＋＝5 D.＋＝5 因为圆上的点关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，所以圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为，则由＋＝5，解得a＝0或a＝1，所以圆的标准方程为＋＝5，或x2＋y2＝5.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题可知圆心C在直线2x－y－4＝0上，不妨取x＝2，y＝0，则当圆心C为(2，0)时，圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝1. 7.(开放题)(2025·云南昆明高二月考)已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出一个满足题意的圆C的标准方程_______________________. (x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，则｜AP｜的最小值是___. 圆C：x2＋y2＝25的圆心为C(0，0)，半径r＝5，因为｜AC｜＝＝10＞5，所以点A在圆外，所以｜AP｜的最小值为｜AC｜－r＝10－5＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.直角三角形ABC的顶点A，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上.圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为______________. 由于点C在x轴上，设点C.又∠ABC为直角，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得x＝4，即C.由于△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则M.又圆M的半径为＝｜1－(－2)｜＝3，因此圆M的标准方程为＋y2＝9. ＋y2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由. 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， 所以点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， 所以M，N，P，Q四点不共圆. 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是 A.－＜k＜－1 B.－＜k＜1 C.－＜k＜1 D.－2＜k＜2 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2.由则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点为(k－1，3k－1).依题意得(k－1)2＋(3k－1)2＜4，解得－＜k＜1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 12.(多选)设有一组圆Ck：＋＝4，下列命题正确 的是 A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点 C.经过点的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 由题意可知：圆Ck：＋＝4的圆心C，半径r＝2.对于A，不论k如何变化，圆心C始终在直线y＝x上，故A 正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，令＋＝4，整理得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝－4×2×5＝－4＜0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点，故B正确；对于C，令＋＝4，整理得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝－4×1×2＝8＞0，可知方程有两个不同的解，所以经过点的圆Ck有且只有两个，故C错误；对于D，因为半径r＝2，所以所有圆的面积均为π×22＝4π，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0.当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是__________________. (x－1)2＋(y－)2＝ 当m＝0时，l1：y＝0，l2：x＝2，易知P(2，0).当m≠0时，l1过定点O(0，0)，斜率＝m，直线l2的方程可化为m(y－1)＋x－2＝0，因此l2过定点A(2，1)，斜率＝－，则·＝－1，所以直线l1与l2互相垂直，故PO⊥PA.连接OA，则直线l1与直线l2的交点P必在以线段AO为直径的圆上，且圆心为线段AO的中点C(1，)，半径r＝｜OA｜＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝.易知(2，0)在此圆上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知△ABC中，点A，AC边上中线所在直线l1的方程为8x＋y－12＝0，AB边上的高线所在直线l2的方程为x－3y＋6＝0. (1)求点B和点C的坐标； 解：因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x－3y＋6＝0，且直线l2的斜率为， 则kAB＝－3，故直线AB的方程为y－5＝－3(x＋1)，即3x＋y－2＝0， 联立直线AB和直线l1的方程可得即点B， 设点C(，则线段AC的中点为D(，)， 由题意可得解得m＝n＝3，即点C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以M为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程. 解：因为＝＝， ＝ ＝， ＝＝， 则＜＜， 故圆M的半径为＝，所以圆M的方程为＋y2＝17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新情境)大约2 000多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给出的圆的定义要早100年.已知O是坐标原点，＝4，若M，则线段PM长的最大值是___. 5 已知O是坐标原点，＝4，则点P在以原点为圆心，4为半径的圆上，＝＝1，点M在圆内，当O，P，M三点共线，且P，M在O点两侧时，线段PM的长最大，此时＝＋＝4＋1＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m) (1)求每条直道的长度； 解：由题意知，一个半圆弧的长为36π m. 所以每条直道的长度为(400－2×36π)÷2＝(200－36π)m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 (2)建立平面直角坐标系Oxy，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式. 解：如图所示，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O， 以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(18π－100，0)，B(100－18π，0)， 所以圆A的方程为(x－18π＋100)2＋y2＝1 296， 圆B的方程为(x＋18π－100)2＋y2＝1 296， 所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为 y＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.4.1　圆的标准方程 返回 $