第三章 重点突破 4 离心率的计算-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦圆锥曲线离心率这一核心知识点，系统梳理直接法（求a,c代入e=c/a）、定义法（利用椭圆双曲线定义列方程）、几何法（借助焦点三角形等图形关系）、齐次式法（建立a,b,c齐次方程）及最值范围问题（几何或代数方法）的解题思路，搭建从基础计算到综合应用的学习支架。 资料以“例题解析-方法总结-对点练习”闭环设计，强化直观想象（如几何法中焦点三角形边角关系）、逻辑推理（定义法中定义与方程转化）和数学运算（齐次式法代数变形）。例如几何法通过相似三角形推导离心率，课时分层评价助力课后查漏补缺，课中辅助教师高效授课，提升学生解题能力与核心素养。

学习目标 1.掌握圆锥曲线的离心率求法. 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 3.借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　直接法求离心率 已知椭圆C：＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为(　　 ) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意可知4a＝16，即a＝4，c＝＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.故选D. 　　根据已知条件求出a和c的值，代入e＝，即可求出离心率. 对点练1.已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若｜AB｜＝10，则C的离心率为(　　 ) A.2 B. C.4 D.6 答案：B 解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，所以焦点F(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝＝b＝.由－＝1，令x＝c，得－＝1，则y2＝5＝5×＝＝，所以y＝±，所以｜AB｜＝＝10，a＝1，所以c＝＝，所以e＝＝.故选B. 题型二　定义法求离心率 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过F1(－c，0)的直线与圆x2＋y2＝相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为　　　　. 答案： 解析：如图所示，设过F1(－c，0)的直线与圆x2＋y2＝相切于点Q，则OQ⊥PF1，由于｜OQ｜＝｜OF1｜，所以∠PF1F2＝30°，因为PF2垂直于x轴，所以tan∠PF1F2＝＝＝，所以｜PF2｜＝，则｜PF1｜＝，因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以＋＝2a，化简得a＝c，所以离心率e＝＝＝. 　　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 对点练2.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若∶∶＝1∶2∶2，则C的离心率为　　　　　. 答案： 解析：如图所示，因为M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线C的左支于点N，若｜NF1｜∶｜MN｜∶｜MF2｜＝1∶2∶2，由双曲线的定义，可得2a＝｜MF1｜－｜MF2｜＝｜NF1｜＋｜MN｜－｜MF2｜＝｜NF1｜，｜NF2｜－｜NF1｜＝2a，则｜NF2｜＝2a＋｜NF1｜＝4a.所以｜MN｜＝｜MF2｜＝2｜NF1｜＝4a＝｜NF2｜，故△MNF2为等边三角形，则∠F1MF2＝.在△MF1F2中，｜MF1｜＝6a，｜MF2｜＝4a，∠F1MF2＝，由余弦定理可得2c＝｜F1F2｜＝＝＝2a，因此双曲线C的离心率为e＝＝. 题型三　几何法求离心率 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与y轴相交于M点，与双曲线C在第一象限的交点为P，若＝2，·＝0，则双曲线C的离心率为(　　) A. B. C. D.＋1 答案：D 解析：因为＝2，所以｜F1M｜＝｜F1P｜.又因为·＝0，所以PF1⊥PF2.如图所示，易知△F1MO∽△F1F2P，所以＝，所以＝， 所以｜F1P｜＝c.在△F1F2P中，cos∠PF1F2＝＝＝，所以∠PF1F2＝30°，所以｜PF2｜＝c.由双曲线的定义知2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝c－c.所以e＝＝＝＋1.故选D. 　　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值. 对点练3.设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点.若｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　　　　. 答案： 解析：根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则又因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜最小.在△PF1F2中，由余弦定理，得＝cos 30°，所以2ac＝3a2＋c2.等式两边同除以a2，得e2－2e＋3＝0，解得e＝. 学生用书⬇第126页 题型四　齐次式法求离心率 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若｜AB｜＝2b，则C的离心率为　　　　　　　. 答案：＋2 解析：如图所示，设直线方程为y＝，与双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)联立，解得x＝，y＝－.因为｜AB｜＝2b，所以2×＝2b，所以b2＝2ac，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋2. 　　根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可.此时要注意椭圆的离心率e满足0＜e＜1，双曲线的离心率e满足e＞1. 对点练4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交点为A，若cos∠AOF＝，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案：D 解析：如图所示，由题意可知cos∠AOF＝，且∠AOF为锐角，故sin∠AOF＝＝.而｜OA｜＝｜OF｜＝c，故A(c，c).将A(c，c)代入C：－＝1(a＞0，b＞0)中，得－＝1，结合b2＝c2－a2整理得13c4－98a2c2＋49a4＝0，即13e4－98e2＋49＝0，解得e2＝7，或e2＝，由于双曲线离心率e＞1，故舍去e2＝，故e＝.故选D. 题型五　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　) A.[，＋∞) B.[，＋∞) C.(1， ] D.(1， ] (2)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，所以a，解得e≤.又e＞1，所以1＜e≤.故选D. (2)由题意得，2c＝＝4.所以c＝2，2a＝＋，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值.设点A(－2，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A'(x，y)， 则所以A'(－3，1).则2a＝＋＝＝，如图所示.所以当a＝时，椭圆有最大离心率，此时e＝＝＝.故选B. 求离心率范围的常用思路 1.通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围. 2.通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围. 对点练5.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为(　　) A. B. C.(1， ] D. 答案：A 解析：设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则｜QF1｜＝｜QF2｜，如图所示，所以∠QF1F2＝∠QF2F1.因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，所以∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故｜PQ｜＝｜PF2｜.而｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，故｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF1｜－｜PQ｜＝｜QF1｜＝2a.在Rt△QOF1中，｜QF1｜＞｜OF1｜，即2a＞c，故e＝＜2.由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2＜＝45°，则cos∠PF1F2＝＞cos45°，即＞，即e＝＞，所以C的离心率的取值范围为.故选A. 1.(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为(　　 ) A. B. C. D. 答案：AB 解析：若双曲线的焦点在x轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，所以e＝＝＝；若双曲线的焦点在y轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，所以e＝＝ ＝.故选AB. 2.已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：圆C：(x－3)2＋y2＝4的圆心C(3，0)，半径r＝2.设双曲线D的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则其渐近线方程为bx±ay＝0，于是＝2，即＝.所以双曲线D的离心率e＝＝＝.故选C. 3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是(　　 ) A. B. C. D. 答案：C 解析：设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM.代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，所以e＝＝.故选C. 4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的角平分线与x轴的交点，若｜QF2｜＝2｜OQ｜，则椭圆离心率的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为｜QF2｜＝2｜OQ｜，所以｜QF2｜＝c，｜QF1｜＝c.因为PQ是∠F1PF2的角平分线，所以＝＝2，则｜PF1｜＝2｜PF2｜.所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜＝2a，解得｜PF2｜＝.由a－c＜＜a＋c，可得e＝＞.又0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是. 课时分层评价32　离心率的计算 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.如果椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为(　　 ) A. B. C. D.2 答案：A 解析：由椭圆的离心率为，得＝，所以a2＝4b2.所以在双曲线中，e2＝＝＝.所以双曲线的离心率e＝.故选A. 2.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则该双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 答案：D 解析：由双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，得渐近线为y＝±x.因为其中一条渐近线与直线x－2y＋1＝0垂直，则·＝－1，得＝2，所以e＝＝.故选D. 3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于(　　 ) A. B. C. D. 答案：D 解析：设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c(c＞0)，如图所示.在△F1AF2中，cos∠F1AF2＝＝，即1－2e2＝，解得e＝.故选D. 4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案：A 解析：由题意得，在双曲线C： －＝1(a＞0，b＞0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，所以F(c，0)，B，N(c，).因为M是BF中点，则M，可得＝，＝.又O，M，N三点共线，则∥，如图所示.可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝. 故选A. 5.椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的焦点F1，F2，记椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，则下列关系式一定正确的是(　　) A.e1e2＝1 B.e2＝2e1 C.－＝1 D.＋＝2 答案：D 解析：由椭圆与双曲线焦点相同，即参数c相同，而＝，＝，又－4＝c2＝＋4.由＋＝＋＝＋＝2，所以＋＝2.当e1e2＝1，则＋＝2，此时e1＝e2＝1不合要求；当e2＝2e1，则5＝8⇒＝，＝，不一定成立，不合要求；当－＝1，则2＋1＝2＋2⇒＝，＝1＋，不一定成立；综上A不成立，B、C不一定成立，D一定成立.故选D. 6.(多选)已知双曲线－＝1(m＞0)，则(　　 ) A.离心率的最小值为4 B.当m＝1时，离心率最小 C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0 答案：CD 解析：由题意得，e2＝＝＝m＋，因为m＞0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号，此时双曲线的标准方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0.故选CD. 7.椭圆C：＋＝1(b＞0)其中一个顶点坐标为(－2，0)，则椭圆C的离心率为　　　　. 答案： 解析：由题意得，＋＝1(b＞0)，则b2＝1，a2＝4b2＝4，所以c2＝a2－b2＝3，则e＝＝＝. 8.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为椭圆上一点，∠F1MF2＝60°，若点F2到直线MF1的距离为a，则椭圆的离心率为　　　　　. 答案： 解析：如图所示，＝a.因为∠F1MF2＝60°，所以＝，｜MF2｜＝a.因为＋＝2a，所以｜MF1｜＝2a－｜MF2｜＝a，进而＝｜MF1｜－｜MH｜＝a－a＝a，又因为＋＝，即a2＋＝4c2，化简得a2＝3c2，所以e＝. 9.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线的离心率为　　　　. 答案：＋1 解析：法一：令双曲线的左焦点为F1，连接QF，QF1，图略，由题意可知，焦点三角形QF1F是∠QF1F＝的直角三角形，令｜QF｜＝1，则｜FF1｜＝2，｜QF1｜＝，e＝＝＝＋1. 法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意，直线PQ的方程为y＝x，代入双曲线方程并化简，得x2＝，y2＝3x2＝.因为x1＋x2＝0，所以x1x2＝，y1y2＝3x1x2＝.设焦点坐标为F(c，0)，由于以线段PQ为直径的圆经过点F，故·＝0，即(x1－c，y1)(x2－c，y2)＝0，即4x1x2＋c2＝0，所以4×(－)＋c2＝0，所以c4－8a2c2＋4a4＝0，所以e4－8e2＋4＝0，所以e2＝4＋2，所以e＝＋1. 10.(13分)已知M是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若－＝2. (1)求双曲线C的离心率； (2)当·＜0时，求y0的取值范围. 解：(1)如图所示，由－＝2，可得2a＝2，所以a＝， 故c＝＝2，离心率为＝＝. (2)因为F1(－2，0)，F2，M， 所以·＝·＝(－2－x0)·＋＝＋－4. 由于－＝1，所以＝3＋3. 所以·＝＋－4＝3＋－1＝4－1＜0，即＜， 解得－＜y0＜. 所以y0的取值范围为(－，). (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2024·九省适应性测试)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，＝2，·＝4a2，则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案：D 解析：由双曲线的对称性可知＝，＝，则四边形AF1BF2为平行四边形，如图所示.令＝＝m，则＝＝2m.由双曲线定义可知－＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即＝＝m＝2a，＝＝4a.所以·＝·cos∠AF2B＝4a×2acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝.则在△F1BF2中，有cos∠F2BF1＝＝＝－，即＝－，即－＝－，则e2＝7.由e＞1，故e＝.故选D. 12.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若｜AF｜＋｜BF｜＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 答案：A 解析：设左焦点为F0，如图所示，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.因为｜AF｜＋｜BF｜＝4，所以｜AF｜＋｜AF0｜＝4，所以2a＝4，即a＝2.设M(0，b)，则≥，所以1≤b＜2.所以离心率e＝＝＝＝∈.故选A. 13.设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为　　　　. 答案： 解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，由双曲线的对称性不妨令｜PF1｜＞｜PF2｜，则根据椭圆及双曲线的定义得＋＝2a1，－＝2a2，＝a1＋a2，＝a1－a2.设＝2c，∠F1PF2＝60°，则在△PF1F2中由余弦定理得＝＋－2·cos ∠F1PF2，即4c2＝＋－2·cos60°，化简得＋3＝4c2，所以＋＝4(0＜e1＜1，e2＞1)，又因为双曲线的离心率为e2＝，所以椭圆的离心率为e1＝. 14.(15分)如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围. 解：由题意可知A，B， 则直线AB方程为＋＝1，整理得bx＋ay－ab＝0. 若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2， 则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB有公共点， 即O点到直线AB的距离d≤＝＝c， 所以≤c，即a2b2≤a2c2＋c2b2. 又b2＝a2－c2， 所以a2≤a2c2＋c2， 整理得≤a2c2，即a2－c2≤ac. 又由e＝且0＜e＜1可得e2＋e－1≥0， 解得e∈. 15.(5分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　 ) A. B. C. D. 答案：A 解析：椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，设左焦点为F'.所以｜AF'｜＋｜AF｜＝2a，根据对称关系知四边形AF'BF为矩形，所以｜AB｜＝｜FF'｜＝2c.由于AF⊥BF，∠ABF＝α，所以｜AF｜＝2csin α，｜AF'｜＝2ccos α，所以2csin α＋2ccos α＝2a，所以e＝＝＝.由于α∈，故α＋∈，所以＜sin＜1，所以＜＜－1，即离心率的取值范围是.故选A. 16.(17分)已知椭圆C1：＋＝1与双曲线C2：－＝1有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且＝4，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2－e1的取值范围. 解：设＝m，＝n，＝2c. 由椭圆的定义可得m＋n＝2a1，由双曲线的定义可得m－n＝2a2， 解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2. 由＝4，可得n＝c，即a1－a2＝c. 由e1＝，e2＝，可得－＝－＝＝. 由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2， 则e2－e1＝e2－＝. 设2＋e2＝t， 则＝＝t＋－4，由于函数f＝t＋－4在上单调递增， 所以f∈， 即e2－e1的取值范围为. 学生用书⬇第127页 学科网（北京）股份有限公司 $