5.3.1 3.2 组合数及其性质-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§3　组合问题 3.1　组合　3.2　组合数及其性质 学习目标 1.通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系，培养数学抽象的核心素养.　2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数公式和组合数的性质，培养数学抽象的核心素养.　3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　组合的概念 问题1.张兵同学要在甲、乙、丙3所大学选2所大学作为自己的奋斗目标，共有几种不同的选择方式？ 提示：甲乙、甲丙、乙丙三种方式. 问题2.经过三年的努力奋斗，张兵梦想成真，准备从甲、乙、丙3所大学选2所大学为第一志愿与第二志愿，有多少种报考方法？ 提示：甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙六种方式. 1.组合及组合问题 组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合问题 有关求组合的个数的问题 2.排列与组合的异同点 相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题 不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序，即只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合 [微提醒]　(1)组合中取出的元素没有顺序.(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 解：(1)4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题. (2)选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题. (3)已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题. (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题. 学生用书⬇第135页 排列与组合问题辨析切入点 1.组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个不同的元素即可. 2.只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合. 3.判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 对点练1.(多选题)以下四个问题，属于组合问题的是(　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.从1，2，3，…，9中任取出两个数求积 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 答案：BC 解析：从1，2，3，…，9中任取两个数求积，因为乘法满足交换律，与顺序无关，是组合问题；从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A、D均与顺序有关.故选BC. 任务二　组合数、组合数公式 问题3.我们知道表示从4个不同元素中选3个元素的排列数，不用列举法，怎么求从4个不同元素中选3个元素的组合数呢？ 提示：可设从4个不同元素中选3个元素的组合数为x，则x＝，即x＝. 组合数、组合数公式 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数，用符号表示 公式 乘积式 ＝＝ 阶乘式 ＝ 规定 ＝1 [微提醒]　(1)m≤n，m，n∈N＋. (2)＝＝常用于计算. (3)＝常用于证明. (链教材P172例1)(1)求值：3－2； (2)求值：＋； (3)证明：＝. 解：(1)3－2＝3×－2×＝148. (2)因为所以9.5≤n≤10.5. 因为n∈N＋，所以n＝10， 所以＋＝＋＝＋＝466. (3)证明：右边＝＝·＝＝＝左边. 所以原式成立. 1.两个组合数公式在使用中的用途有所区别. 2.在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去. 对点练2.(1)计算：－·； (2)证明：m＝n. 解：(1)原式＝－＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：m＝m· ＝ ＝n·＝n. 学生用书⬇第136页 任务三　组合数的性质 问题4.某班有篮球运动员8人(含体育委员)，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示：上场的方案有种，不上场的方案有种；＝＝56(种). 问题5.从问题4中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有种选法；当体育委员未入选时，有种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示：一样，＝＋. 组合数的性质 性质1：＝. 性质2：＝＋. [微提醒]　(1)性质1两边下标相同，上标之和等于下标，体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想.(2)性质2下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数，体现了“含”与“不含”的分类思想. 利用组合数的性质进行计算(结果保留数字的形式)： (1)已知＝，则x＝　　　； (2)＋＋＋…＋＝　　　. 答案：(1)3或5　(2)165 解析：(1)当2x＝15－x时，原等式成立，解得x＝5，检验符合；当18－2x＝15－x时，原等式也成立，解得x＝3，检验符合；则x的值是3或5. (2)由组合数的性质＝＋可知，＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝＝165. 1.性质“＝”的意义及作用 2.性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形＝－，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用. 对点练3.(1)若＝，则＝(　　) A.90 B.42 C.12 D.10 (2)若＋＋＋＋…＋＝，则m＝　　　. 答案：(1)A　(2)4或16 解析：(1)根据＝，且＝，所以n＝3＋7＝10，＝＝10×9＝90﹒故选A. (2)因为＝，所以＋＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋，又＋＝，所以＋＋＋…＋＝＝，所以m＝4或m＝16. 任务四　组合的简单应用 某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的. (1)三人共有多少种不同的课程选择种数？ (2)求三位同学选择的课程互不相同的选法； (3)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数？ 解：(1)因为每位同学都有四种不同的选择，所以选课种数为43＝64. (2)三位同学选择的课程互不相同的选课种数为＝4×3×2＝24. (3)恰有两位同学选择《数学建模》，另一位同学在其它三门选一门，故选课种数为·＝9， 三位同学都选择《数学建模》的选课种数为1，所以若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有10种不同的选课种数. 学生用书⬇第137页 解简单的组合应用问题的策略 1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. 2.要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 注意：在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏. 对点练4.(1)某单位为了解该公司员工家庭情况，用分层随机抽样方法作抽样调查，现从A部门和B部门共抽取3名员工，已知A部门和B部门分别有6名和3名员工，则不同的抽样结果共有(　　) A.45种 B.18种 C.9种 D.90种 (2)学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二(1)班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为　　　　. 答案：(1)A　(2)30 解析：(1)抽样比为6∶3＝2∶1，所以可以先从A部门抽取2名员工，再从B部门抽取1名员工，不同的抽样结果共有＝15×3＝45种.故选A. (2)法一：若高二(1)班有家长发言，共有种，若高二(1)班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有＋＝30种. 法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二(1)班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有－＝30种. 任务再现 1.组合与组合数的定义.2.排列与组合的区别与联系.3.组合数、组合数公式.4.组合数的两个性质.5.组合数在实际问题中的应用 方法提炼 枚举法、分类讨论、间接法 易错警示 分不清“排列”还是“组合”；不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质 1.下列四个问题属于组合问题的是(　　) A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 答案：C 解析：对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选C. 2.“k＝2”是“＝”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：＝，故k＝2k－2或k＋2k－2＝7，解得k＝2或3，故“k＝2”是“＝”的充分不必要条件.故选A. 3.化简：＋＋＋…＋＝(　　) A. B. C.－1 D.－1 答案：D 解析：由题意，＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1＝＋＋＋…＋－1＝＋＋…＋－1＝－1.故选D. 4.某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯饮料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有　　　种.(用数字作答) 答案：60 解析：先从5种主食选2种，有＝10种选法，再从4中饮料中选2种，有＝6种选法，所以共有10×6＝60种不同的搭配. 课时分层评价34　组合　组合数及其性质 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.已知－＝，则n＝(　　) A.11 B.10 C.9 D.8 答案：B 解析：因为－＝，所以＝＋，又＋＝，所以＝，所以n＋1＝5＋6，解得n＝10.故选B. 2.＋＋＋＋＝(　　) A.315 B.330 C.345 D.360 答案：A 解析：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋－＝－15＝330－15＝315.故选A. 3.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，且这些球标有不同的编号，从中取3个球，则不同的取法种数是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，共7个球，从中取3个球，则有种取法.故选D. 4.甲、乙两所学校从6个研学基地中各自选择3个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有2个相同的选法共有(　　) A.60种 B.90种 C.180种 D.240种 答案：C 解析：依题意，这两所学校选择的研学基地中恰好有2个相同的选法有＝180种.故选C. 5.某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是(　　) A.21 B.35 C.70 D.126 答案：A 解析：让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏，6盏灯有7个空格，从7个空格中随机的选5个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有＝＝21种.故选A. 6.(多选题)某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 答案：BC 解析：从A地前往B地，最短的路程是向右走4次，向下走3次，共走7次，要从7次中选择3次向下走，剩下的向右走或选择4次向右走，剩下的向下走，故最短的走法有种.故选BC. 7.已知有5个男生和x个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则x＝　　　. 答案：3 解析：由题意知，＝30，x＝30，x＝3. 8.已知M＝，且m∈M，n∈M，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则这样的椭圆共有　　　　个. 答案：6 解析：从集合M＝中任取两个元素，按小的赋给m，大的赋给n即可得焦点在y轴上的椭圆，所以不同椭圆个数是＝6. 9.某校开展劳动技能比赛，高三(1)班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女都有，则不同的选派方案共有　　　　种. 答案：65 解析：从8名同学中任选4名，有种方法，其中全是女生的选法有种，所以不同的选派方案共有－＝70－5＝65(种). 10.(15分)为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者. (1)共有多少种选法？(用组合数表示) (2)如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？ 解：(1)可以分三步完成：先选下午组的志愿者，有种选法；再选上午组的志愿者，有种选法；最后选晚上组的志愿者，因为可以与上午组的重复，所以有种选法，因此，共有··种选法. (2)当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，至少剩有3名，则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有＝3种选法. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知x，y满足组合数方程＝(x，y∈N)，则xy的最大值是(　　) A.64 B.32 C.28 D.16 答案：B 解析：由＝(x，y∈N)，得y＝2x或2x＋y＝8，x≤4，x∈N，当y＝2x，x≤4，x∈N时，xy＝2x2≤32，当且仅当x＝4时取等号，当2x＋y＝8，x≤4，x∈N时，xy＝x(8－2x)＝－2(x－2)2＋8≤8，当且仅当x＝2时取等号，而8＜32，所以xy的最大值是32.故选B. 12.(多选题)已知＝＋＋＋＋…＋，则n的值可能为(　　) A.2 B.4 C.7 D.9 答案：BC 解析：由于＋＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝，所以＝＝，＝，得n＝4或7.故选BC. 13.已知集合P＝，若集合A中有且仅有三个元素，A⊆P，且集合A中不含相邻的整数，则所有满足条件的集合A的个数为　　　　　　　. 答案：56 解析：由题意，从集合P中取三个元素：若三个元素都相邻，则有“1，2，3”，“2，3，4”，“3，4，5”，…，“8，9，10”，共8种取法；若有且仅有两个元素相邻，则在取到“1，2”或“9，10”的情况下，共有2＝14种取法；在取到“2，3”或“3，4”或“4，5”或“5，6”或“6，7”或“7，8”或“8，9”的情况下，共有7＝42种取法；所以三个元素不相邻的取法有－8－14－42＝56种. 14.(15分)有12名翻译人员，其中3人只能翻译英语，4人只能翻译法语，其余5人既能翻译英语，也能翻译法语.从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有多少种不同的选法？ 解：由题意得，这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，可以分为下面4种情况： ①只会英语的3人都去翻译英语，有·＝84种； ②只会英语的2人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取1人去翻译英语，有··＝840种； ③只会英语的1人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取2人去翻译英语，有··＝1 050种； ④只会英语的没有人去翻译英语，既能翻译英语，也能翻译法语的人中选取3人去翻译英语，有··＝200种； 共有：84＋840＋1 050＋200＝2 174种. 综上：从这12名翻译人员中任选6人，其中3人翻译英语，3人翻译法语，有2 174种不同的选法. (15、16，每小题5分，共10分) 15.(创新题)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai，若a1＜a2＜a3，a3＞a4＞a5，a5＜a6＜a7，则这样的数列共有(　　) A.70个 B.71个 C.80个 D.81个 答案：B 解析：若a5＝1，则这样的数列有＝45个；若a5＝2，则这样的数列有＝20个；若a5＝3，则这样的数列有＝6个，所以满足条件的数列共有45＋20＋6＝71个.故选B. 16.(原创题)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽n件做检查，请计算当N＝16，M＝8时，＋＋＝　　　　；若N＝2n，M＝n，请计算()2＋＋＋…＋＝　　　　.(用组合数表示) 答案：　 解析：＋＋可以理解为从16件产品中抽取3件，以不合格产品数为分类标准得到的结果，而从16件产品中抽取3件共有种方法，所以＋＋＋＝；同理，对于＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋可以理解为从2n件产品中抽取n件，以不合格产品数为分类标准得到的结果，而从2n件产品中抽取n件共有种方法，因此能得到＋＋＋…＋＝. 学生用书⬇第138页 学科网（北京）股份有限公司 $