专题2.3 直线的交点坐标与距离公式重点题型 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录 考点1 两直线的交点问题 1 题型1 求直线的交点坐标 1 题型2 由直线交点求参 2 题型3 经过直线交点的直线方程 3 题型4 三线是否能围成三角形 4 考点2 两点间的距离公式 6 题型5 两点间距离公式的应用 6 题型6 两点间距离的最值 7 题型7 两点间距离的新定义 10 考点3 点到直线的距离公式 13 题型8 点到直线距离的应用 13 题型9 根据点到直线距离求参 14 题型10 点到直线距离的最值 17 考点4 两条平行直线间的距离 19 题型11 两平行直线间距离公式的应用 19 题型12 两平行直线间距离的最值 20 考点1 两直线的交点问题 直线 与的交点方程组的解 1 方程组有一组解 两直线相交，解为交点坐标． 2 方程组无解 3 方程组有无数解与重合 中点坐标：设，则的中点的坐标为（ 题型1 求直线的交点坐标 1．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【详解】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由垂直求得直线的方程，列方程组求得B点的坐标. 【详解】∵△ABC的高CD所在直线方程为，∴直线AB的斜率． 又△ABC的顶点，∴直线AB的方程为，即． 又∠ABC的平分线BE所在直线方程为， ∴联立得∴B点坐标为． 故答案为：. 题型2 由直线交点求参 1．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 3．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 题型3 经过直线交点的直线方程 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【分析】设与平行的直线方程为，求出两直线交点的坐标并代入即可求得结果. 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 故答案为： 2．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 【答案】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 题型4 三线是否能围成三角形 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成三角形的的值． 【详解】①当三条直线交于一点时不能围成三角形，由，得到交点坐标为，由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时，不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时，不能围成三角形，则且，解得. 故选：AD. 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【详解】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 3．（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 考点2 两点间的距离公式 两点间的距离公式 设，则 题型5 两点间距离公式的应用 1．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 【答案】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 2．（25-26高二上·河北石家庄·开学考试）已知O为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用两点距离公式及同角三角函数的平方关系判断各项的正误. 【详解】A：由，对； B：由，，故不一定成立，错； C：由，，结合A分析，则，对； D：由A、C分析，易知，对. 故选：ACD 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. 题型6 两点间距离的最值 1．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值. 【详解】因为， 所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值． 如图： 因为，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以，此时． 故答案为： 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ABD 【分析】A选项，将代入，化简得到，得到最小值；B选项，求出关于直线的对称点，最小值为；C选项，结合，得到，从而得到方程，由根的判别式得到方程无解，C错误；D选项，由两点间距离公式和得到方程，由根的判别式得到方程有解，D正确. 【详解】A选项，点在直线，故， 故， 故当时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，设关于的对称点为， 则，解得， 所以，连接，与相交于点， 此时取得最小值，最小值为，B正确； C选项，， 又，故， 令得，即， 由于，方程无解，故不存在点，使得，C错误； D选项，由得， 平方化简得， 又，故， 即，，方程有解， 故存在点，使得，D正确. 故选：ABD 3．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 题型7 两点间距离的新定义 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 2．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用新定义推理判断①；举例说明判断②③. 【详解】对于①，点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，①正确； 对于②，取，则，②错误； 对于③，取，则，③错误， 所以真命题的个数为1. 故选：B 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 4．（24-25高二上·湖北·期末）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误；    对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及新定义的理解和运用问题，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别. 考点3 点到直线的距离公式 点到直线距离公式 设，，则点到直线的距离． 题型8 点到直线距离的应用 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 3．（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率． 【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率 故答案为： 题型9 根据点到直线距离求参 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 2．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 4．（河北省保定市大数据应用调研阶段性联合测评2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】化简得到，然后利用点到直线的距离公式对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，整理得， 问题可看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， ①当，此时易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及与直线平行的且距离为2.5的两条直线，符合题意，故A正确；    ②当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等， 注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， （i）作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合，即D正确；    （ii）作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，不符合，即C错误； ③当，只有两条直线使得点和到它们的距离相等， 不符合题意； 综上，AD正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：本题关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线 (不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 题型10 点到直线距离的最值 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 考点4 两条平行直线间的距离 两平行线间距离公式 ，，则的距离为． 题型11 两平行直线间距离公式的应用 1．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）两直线，之间的距离等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据平行线之间的距离公式求值. 【详解】根据平行线之间的距离公式得两直线之间的距离为： . 故选：C 2．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意可知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大，求得，即可得出答案. 【详解】因为两平行线分别经过点， 易知当两平行线与两点所在直线垂直时，两平行线间的距离最大， 即，所以， 故距离可能等于. 故选：AB. 3．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式计算可得结论. 【详解】点到直线的距离为， 直线与直线之间的距离为， 所以. 故选：B. 4．（河北省保定市大数据应用调研阶段性联合测评2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题）若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案为：. 题型12 两平行直线间距离的最值 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解． 【详解】 直线，， 直线，即，， ，显然两直线不重合， ，即最小值即为两直线间的距离， 由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1． 故选：B． 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点确定最大距离，进而求出值. 【详解】直线， 由，得，则直线过定点， 直线， 由，得，则直线过定点， 因此直线之间的距离最大为， 此时，而直线斜率， 则，所以. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录 考点1 两直线的交点问题 1 题型1 求直线的交点坐标 1 题型2 由直线交点求参 2 题型3 经过直线交点的直线方程 3 题型4 三线是否能围成三角形 4 考点2 两点间的距离公式 6 题型5 两点间距离公式的应用 6 题型6 两点间距离的最值 7 题型7 两点间距离的新定义 10 考点3 点到直线的距离公式 13 题型8 点到直线距离的应用 13 题型9 根据点到直线距离求参 14 题型10 点到直线距离的最值 17 考点4 两条平行直线间的距离 19 题型11 两平行直线间距离公式的应用 19 题型12 两平行直线间距离的最值 20 考点1 两直线的交点问题 直线 与的交点方程组的解 1 方程组有一组解 两直线相交，解为交点坐标． 2 方程组无解 3 方程组有无数解与重合 中点坐标：设，则的中点的坐标为（ 题型1 求直线的交点坐标 1．（2025高二·全国·专题练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 题型2 由直线交点求参 1．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 3．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3 经过直线交点的直线方程 1．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 2．（2025高二上·上海·专题练习）直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 题型4 三线是否能围成三角形 1．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 . 3．（24-25高二上·福建·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 考点2 两点间的距离公式 两点间的距离公式 设，则 题型5 两点间距离公式的应用 1．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 2．（25-26高二上·河北石家庄·开学考试）已知O为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 题型6 两点间距离的最值 1．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）函数的最大值为 ． 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 3．（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型7 两点间距离的新定义 1．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）“曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为 ． 4．（24-25高二上·湖北·期末）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 考点3 点到直线的距离公式 点到直线距离公式 设，，则点到直线的距离． 题型8 点到直线距离的应用 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 3．（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 题型9 根据点到直线距离求参 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 3．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 4．（河北省保定市大数据应用调研阶段性联合测评2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题）已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（   ） A． B． C． D． 题型10 点到直线距离的最值 1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点4 两条平行直线间的距离 两平行线间距离公式 ，，则的距离为． 题型11 两平行直线间距离公式的应用 1．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）两直线，之间的距离等于（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26高二上·云南文山·阶段练习）若两平行线分别经过点，则两平行线之间的距离可能等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）设点到直线的距离为，直线与直线之间的距离为，则与之间的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（河北省保定市大数据应用调研阶段性联合测评2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题）若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ． 题型12 两平行直线间距离的最值 1．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知两条平行直线，，当之间的距离最大时，（   ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $